bumbum Pełcio: Dobry wieczór 1.Wykaż, że jeżeli a, b, c są takimi liczbami nieujemnymi, że:

	a		b		c		3
a+b+c=3, to		+		+		≤
	a+1		b+1		c+1		2

2. Wyznacz wszystkie wartości wymierne parametru a, dla którego funkcja f(x)=ax²+(a+1)x+a−1 ma wszystkie miejsca zerowe całkowite.

	1		1		7
3. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n, liczba		n5+		n3+		n jest
	5		3		15

całkowita. − myślę że trzeba sprowadzić do 15 i poszukać w liczniku rozkładu, żeby było podzielne przez 3 i 5, ale nie wiem jak taki rozkład uczynić

relaa: 1. Z nierówności między średnimi

3		a + 1 + b + 1 + c + 1		6
	≤		=
1   1   1   + + a + 1   b + 1   c + 1		3		3

1		2
	≤
1   1   1   + + a + 1   b + 1   c + 1		3

1		1		1		3
	+		+		≥
a + 1		b + 1		c + 1		2

1		1		1		3
	− 1 +		− 1 +		− 1 ≥		− 3
a + 1		b + 1		c + 1		2

	a		b		c		3
−(		+		+		) ≥ −
	a + 1		b + 1		c + 1		2

a		b		c		3
	+		+		≤		.
a + 1		b + 1		c + 1		2

Adamm:

1		1		7		3n5+5n3+7n
	n5+		n3+		n=
5		3		15		15

1. 3+5+7=15 2. 3n⁵+5n³+7n=15k_n 3. 3(n+1)⁵+5(n+1)³+7(n+1)=3n⁵+15n⁴+35n³+45n²+37n+15= =15k_n+15n⁴+30n³+45n²+30n+15=15k_n+1 na mocy indukcji liczba ta jest podzielna przez 15

Adamm: dla n≥1, a ponieważ dla n≥1 jest podzielna, to ponieważ funkcja jest nieparzysta, to dla n≤−1 też jest, dla n=0 mamy po prostu 0

Pełcio: Też tak próbowałem, ale nie wpadłem, żeby odjąć te jedynki od każdego Dziękuję bardzo relaa. Adamm... poczytam o tej indukcji.. a jeśli miałby ktoś bardziej elementarny sposób to prosiłbym o pokazanie (chyba, że to jest bardzo elementarny sposób, ale nie znam indukcji)

Pełcio: Tobie też oczywiście dzięki Adamm, spróbuję to przeanalizować z wikipedią.

relaa: To proszę następne zadanie. Znaleźć wszystkie liczby całkowite a, b, c, d spełniające warunek: a + b + c + d = ab + bc + ca + d² − d = abc − d³ = −1.

Adamm: indukcja jest bardzo często stosowana jest to tkzw. dowód indukcyjny, wykazuje się w nim że coś działa dla każdej liczby poczynając od jakiegoś przypadku wykazujesz że dla najmniejszego przypadku coś działa, zakładasz że działa dla n−tego przypadku, i wykazujesz że z tego że działa dla n−tego przypadku, wynika że działa dla (n+1)−szego np. za pomocą indukcji można wykazać że 2ⁿ≥n² dla n≥4 1. sprawdzam pierwszy krok, 16≥16 2. zakładam że 2ⁿ≥n² 3. 2ⁿ⁺¹=2*2ⁿ≥2n²≥(n+1)² (skorzystałem z tego że n≥4)

Mila:

n*(3n4+5n2+7)		n*(3n4+5n2−8+15)
	=		=
15		15

	n*[(3n2+8)(n2−1)+15]
=		= myśl dalej
	15

Eta: 3n⁵+5n³+7n=(3n⁵−3n)+(5n³−5n)+15n= 3n((n−1)(n+1)(n²+1)+5n(n−1)(n+1)+15n= .........=15k

jc: (x−1)² ≥ 0 (x+1)² ≥ 4x

x		x + 1
	≥		dla x ≥ 0
x+1		4

Podstawiamy za x liczby a,b,c i dodajemy.

a		b		c		a+b+c+3		3
	+		+		≥		=
a+1		b+1		c+1		4		2

Pełcio: Ok, Adamm. Zrozumiałem, dzięki, w sumie to nie takie skomplikowane, może się jeszcze kiedyś przydać relaa zaraz pomyślę nad tym Milu, przez 3 już mamy, a przez 5 wydaje mi się, że można np. z kongruencji ?

Eta: Zad2/ 1) dla a=0 f(x)= x−1 ⇒ x=1 −− całkowite miejsce zerowe 2) dla a ≠0 ze wzorów Viete^'a

	a+1		a−1
x1+x2= −		i x1*x1=
	a		a

odejmując x₁*x₁−(x₁+x₂)= ....=2 / +1 x₁x₂−x₁−x₂+1=2 (x₁−1)(x₂−1)=3 = 1*3= (−1)*(−3) x₁−1=1 i x₂−1=3 lub x₁−1=−1 i x₂−1= −3

	a−1
i oblicz x1*x2=		⇒ a=..... lub a=.....
	a

relaa: Chochlik, ale i tak ładne rozwiązanie.

x		x + 1
	≤		dla x ≥ 0
x + 1		4

Metis: Nie rozwiązuje mu tych zadań Chłopak się nic nie nauczy − tylko wskazówki

Pełcio: jc bardzo fajne, dziękuję Eta ale fajny rozkład...

Metis: *rozwiązujcie

Eta:

relaa: W ramach rekompensaty dam nierówność do udowodnienia. a + b + c = 1 oraz a, b, c > 0 Udowodnić: (ab)^1/_n + (bc)^1/_n + (ca)^1/_n ≤ (3ⁿ − 2)^1/_n Panie Metis człowiek też i uczy się na rozwiązaniach, tylko się wydaje, ale jeżeli ktoś będzie analizował i chciał zrozumieć rozwiązania co z czego się wzieło, na pewno się czegoś nauczy. Takie jest moje zadnie, na ten temat.

relaa: Zjadłem część swojej wypowiedzi " ... tylko się wydaje, że nic się nie nauczy, ale ... ".

Eta:

Mila: Pełcio, wzoruj się na wcześniejszym przekształceniu oraz rozkładzie Ety i doprowadź w mojej podpowiedzi do iloczynu 5 kolejnych liczb całkowitych.

Pełcio: Metis, chciałbym wiedzieć jak się najlepiej nauczyć. Ale spokojnie, nic nie muszę, traktuję to jako zabawę, co się nauczę to moje Jestem w 2kl liceum i tak naprawdę maturka najważniejsza, to traktuję jako czystą rozrywkę

Pełcio: relaa to zadanie to dla mnie tak? chwilka bo nie nadążam za wszystkim, zaraz pooglądam Mila, już próbuję co da się zrobić.

relaa: Tak, napisałem Panu dwa zadania.

Pełcio: Dzięki, każda pomoc dobra, zaraz popróbuję. Mila hmm

n[((3n2−12+20)(n+1)(n−1)+15]		n[((3(n−2)(n+2)+20)(n+1)(n−1)+15]
	=
15		15

coś chyba nie tak

Eta: Dobrze teraz wymnóż .......... 3(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)+....... +15n

Mila: Dobrze, pisz nawiasy kwadratowe, to nic nie zgubisz.

3*(n−2)*(n−1)*n*(n+1)*(n+2)+20*(n−1)*n*(n+1)+15
15

Pełcio: ale to 20 w środku

Eta: (n−1)n(n+1) −−− podzielna przez 6

Pełcio: aaaaa, i koniec

Eta: Na koniec .....

Pełcio: również dla Was, dziękuję

Pełcio: Teraz dopatrzyłem też 2 zadanie, wszystko jasne..to dopisywanie obustronnie czegoś żeby się udało potem zwinąć w nawiasy muszę zapamiętać

Eta:

Pełcio: Wy jesteście uczniami/ studentami/ matematykami czy innymi jeszcze? Relaa, próbuję coś zdziałać właśnie.

Metis: Pełcio z konkursem AGH'u próbuj już teraz Warto

Pełcio: Metis, któregoś tam stycznia mam II etap AGH−u. Ale przystawi mi, bo nie znam teorii jeszcze.

jc:

n5		n3		7		n5−n		n3 − n
	+		+		n =		+		+ n
5		3		15		5		3

i dla niektórych jest jasne, że mamy liczbę całkowitą.

Pełcio: (ab)^1/n + (bc)^1/n + (ca)^1/n ≤ (3ⁿ⁻²)^1/n (ab)^1/n + (bc)^1/n + (ca)^1/n≤ 3¹*3^−2/n

(ab)1/n + (bc)1/n + (ca)1/n
	≤ 3−2/n
3

(ab)1/n + (bc)1/n + (ca)1/n		1
	≤		2/n
3		3

A≥G a+b≥2√ab i b+c≥2√bc i a+c≥2√ac, czyli 2a+2b+2c≥ 2√ab+ 2√bc+ 2√ac/2 a+b+c≥√ab+√bc+√ac 1≥√ab+√bc+√ac kurcze tam jest do potęgi 2/n czyli by pasowało jak się podstawi bo pierwiastki znikną, ale czy tak można?

Pełcio: a i właśnie relaa, mam nadzieję że tam w nawiasie było (3ⁿ⁻²) a nie (3ⁿ−2), bo jeśli ta druga opcja to nie mam pojęcia

Pełcio: n∊C

(n−1)n(n+1)
	∊C
3

(n−1)n(n+1)(n2+1)		(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)+5
	=		∊C
5		5

no działa jc, ale jak rozpisujesz te liczby to to rzeczywiście tylko niektórzy wiedzą

relaa: Oczywiście 3^{n − 2}, przepraszam.

relaa: Za pewno chodziło Panu jc, że niektórzy widzą, bo znają " Małe twierdzenie Fermata ".

Pełcio: wiem, wiem, czułem że coś jest na rzeczy... ale zrobiłem po swojemu i też całkiem całkiem

Pełcio: no przecież! można to podzielić przez 3 co mi wyszło i podnieść do tej 2/n i jest dobrze, tak?

relaa: Tak, ale nie pokazuje Pan jeszcze udowodnienia tej nierówności przecież. Zapisze Pan jak to dalej by zrobił.

Eta: @relaa Na forum zwracamy się do siebie po nicku "Panowie" są w ............ Sejmie

Adamm: Eta, nie widzę sensu zabraniać komuś mówić do innych per Pan

relaa: Przepraszam jeżeli kogoś tym uraziłem, a jeżeli tak to będę musiał napisać do Pana prezydenta pismo o ułaskawienie w takim razie.

Eta: Tak Panie Adammie

Eta: https://matematykaszkolna.pl/forum/342127.html

Eta: I przez to mi podpadasz P.. A...

Adamm: za szczerość

Eta: Masz szczęście,że nie jesteś moim uczniem bo szybko zostałbyś sprowadzony na "ziemię" !

Pełcio: Ja też chyba mam coś z głową, poddaje się Panie relaa, nie wiem jak skończyć.

Pełcio: Eta, czyli uczysz! Na jakim poziomie?

relaa:

	n
Podpowiem, że należy wykorzystać średnią potęgową stopnia		.
	2

relaa: Zatem dokończyć zostało te zadanie o 22 : 33, zacząć z godziny 22 : 01, a teraz dam kolejne.

a1		an		nS
	+ ... +		≥		, gdzie
1 − a1		1 − an		n − S

n ∊ N₊, 0 < a_i < 1, i = 1, 2, 3, ..., S = a₁ + a₂ + ... + a_n

Pełcio: A no właśnie, ostatnio zadałem pytanie o średnie potegowe, bo nie za bardzo wiem co to jest.

Eta: https://pl.wikipedia.org/wiki/%C5%9Arednia_pot%C4%99gowa

relaa: Co dokładnie w niej nie jest zrozumiane? Czytane coś było o niej?

relaa: Właśnie dziękuję za podlinkowanie.

Eta:

Pełcio: Właśnie pierwszy raz ją spotkałem z tydzień temu przy rozwiązaniu oczywiście Twoim, Eto I od wtedy wiem, że taka istnieje.

Pełcio: ale nie wiem jak się ma w stosunku do innych średnich

Eta: https://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B3wno%C5%9Bci_mi%C4%99dzy_%C5%9Brednimi

relaa: Zauważyć należy, że średnia potęgowa rzędu 2 to średnia kwadratowa, a jak ona ma się w stosunku do inny średnich?

Pełcio: Eta, co ja bym bez Ciebie zrobił...

Eta: pierwsza potęgowa ≥ kwadratowa ≥ ..... itd

Pełcio: Kraków≥A≥G≥H

Eta: Jak to co? .... korzystałbyś z rady: " cioci Wiki" i "wujka Google"

Adamm: maksimum≥...≥wyższe≥kwadratowa≥arytmetyczna≥geometryczna≥harmoniczna≥niższe≥...≥minimum

Pełcio: A cóż to za maksimum Adamie?

Adamm: maksimum, największa wartość z danych

relaa: Tak samo średnia potęgowa rzędu 1 to średnia arytmetyczna, więc łatwo możesz wyciągnąć wnioski jak mają się do siebie te średnie.

jc:

	x
f(x)=		jest funkcją wypukłą w dół, więc
	1−x

∑ f(ai)		∑ai
	≥ f(		)
n		n

Mnożymy obie strony przez n i mamy nierówność z godziny 0:29.

Eta: Dobrej nocy

jc: Dobranoc

Pełcio: tak, teraz już to widzę, ale nadal nie wiem jak zastosować

Adamm: https://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B3wno%C5%9B%C4%87_Jensena to o czym mówi jc funkcja wypukła w dól znaczy funkcja wklęsła znaczy to tyle że sieczna funkcji jest ponad wykresem funkcji

relaa: jc zapewne Pełcio nie słyszał o nierówności Jensena. Dobranoc Eta.

Pełcio: Dobra ja też muszę iść, bo jutro mam laboratorium z chemii. Pewnie wieczorkiem będę w domu gdzieś to jeszcze do tych zadań wrócę Panie relaa Dziękuję wszystkim za poświęcony czas i dobranoc

relaa: Masz już

	1		√ab + √bc + √ac
(		)2/n ≥ (		)2/n
	3		3

oraz

	1		(ab)1/n + (bc)1/n + (ac)1/n
(		)2/n ≥
	3		3

Musisz jakość powiązać ze sobą nierówności.

relaa: Dobrze w takim razie dobranoc wszystkim, bo i ja się zbieram.

Pełcio: Tego Jensena to tak średnio rozumiem... Ciężko mi sobie wyobrazić co to jest ta wklęsła i wypukła funkcja.

Pełcio: relaa.. z tych nierówności nie można po prostu napisać, że

(√ab+√bc+√ac)2/n		(ab)1/n + (bc)1/n + (ac)1/n
	=
3		3

Adamm: zauważyłem że pomyliła mi się funkcja wklęsła z wypukłą nie musisz zajmować się czymś takim najpierw dowiedz się chociaż co to jest granica funkcji

KKrzysiek: Z tą wklęsłością i wypukłością jest różnie, zależy od prowadzącego/szkoły.

jc: Tak by było, gdybyś miał powyżej równości, a masz nierówności.

KKrzysiek: Uważam, że za daleko wybiegacie. Przed g. funkcji wypadałoby żeby poznał granice ciągów.

jc: Adamm, wypukłość wydaje się prostszym pojęciem niż granica.

aWe: nie zbada wypukłości bez pochodnych

Pełcio: Nie rozpędzajcie się tak przyjaciele...

relaa: Pełcio, ale przecież to nieprawda. To tak jakby mówić, że (a + b + c)² = a² + b² + c²?

Pełcio: Widzę, widzę, to głupota, myślę dalej..... myślę też nad tym pierwszym

jc: aWe, czy na prawdę potrzeba pochodnych, aby zobaczyć, że prosta funkcja np. y=x² jest wypukła? Tu mieliśmy y=x/(1−x), 0<x<1.

relaa:

	(ab)1/n + (bc)1/n + (ac)1/n
Co to za średnia		?
	3

aWe: nie, ale to nie jest lek na wszystko, skoro ma badać wypukłości to już solidnie

Pełcio: no właśnie te potęgi mi już wymieszały te średnie.. ale to jest arytmetyczna

relaa:

	n
W porządku, a jak będzie z tych liczb wyglądała średnia potęgowa stopnia		?
	2

jc: Wypukłość funkcji daje nam mnóstwo nierówności, choćby nierówność pomiędzy średnimi.

x		x+1
	≤		, x>0, to też wniosek z wypukłości.
x+1		4

Pełcio: Pierwszy raz w życiu tworzę średnią potegową, także nie zabardzo wiem, ale coś koło tego, tylko pierwiastek ma być stopnia 2/n?

√(ab)1/2 + (bc)1/2 + (ac)1/2
3

relaa:

	2
Tak pierwiastek jest stopnia		.
	n

Pełcio: Czyli teraz potęgowa>arytmetyczna?

relaa: ≥

Pełcio: Relaa poddaje się... co zrobić jeśli mamy pierwiastek o tak brzydkim stopniu i to wcale z niczym się nie chce skracać? ... albo chce, ale nie widzę

relaa: Napisz co już masz. Chodzi mi o te nierówności, które otrzymałeś.

Pełcio:

	(ab)1/2+(bc)1/2+(ac)1/2		(ab)1/n+(bc)1/n+(ac)1/n
√		≥
	3		3

	2
ten pierwszy pierwiastek ma stopień
	n

Pełcio: Tamto wielkie równanie też nie mogę wymyślić. Próbowałem tak, że podniosłem do kwadratu sumę a+b+c+d, drugie pomnożyłem razy 2 i układ tych równań dodałem stronami, ale dalej nie ma jak wykorzystać do tego trzeciego równania. Potem próbowałem wyznaczyć d z pierwszego i wpakować do drugiego, też bez większych skutków. Będę myślał jeszcze.

jc: Funkcja f(x)^1/n jest wypukła w górę, więc

x1/n + y1/n + z1/n		x+y+z
	≤ (		)1/n
3		3

x=ab, y=bc, z=ca (a+b+c)² ≥ 3(ab+bc+ca) (z.t.s.) Jeśli więc a+b+c = 1, to ab+bc+ca ≤ 1/3. Poza tym to liczba nieujemna. I już prawie mamy wynik naszą nierówność ...

jc: Przepraszam, jeśli zepsułem zabawę Proszę to potraktować, jako reklamę wypukłości.

jc: Oczywiście miałem na myśli funkcję f(x)=x^1/n.

Pełcio: Spróbuję ogarnąć tą wypuklość. Dziękuję i dobrej nocy.

Pełcio: relaa miałem teraz chwilkę czasu, ale nie wymyślę chyba nic z tym układem równości, jakaś podpowiedź?

relaa: Zaraz idę, ale zdążę Ci jeszcze dać podpowiedź. Zapisz sobie a + b + c + d = ab + bc + ca + d² − d = abc − d³ = −1 jako a + b + c = −(d + 1) ab + bc + ca = −(d² − d + 1) abc = d³ − 1.

relaa: Przemnóż przez siebie dwa równania i może coś będziesz widział. Będę później jak coś, ale może ktoś Ci pomoże jak mnie nie będzie, albo samemu dasz sobie radę.

Pełcio: a+b+c= −(d+1) <−−− 1. ab+bc+ca= −(d²−d+1) <−−− 2. abc= d³−1 <−−− 3. 1*2: (a+b+c)(ab+bc+ac)= (d+1)(d²−d+1) (a+b+c)(ab+bc+ac)= d³+1 1*2−3: (a+b+c)(ab+bc+ac)−abc= 2 aczkolwiek dalej nic z tego

Pełcio: Czy ktoś widzi co z tym można zrobić?

relaa: Wystarczy skorzystać z tego, że (a + b + c)(ab + bc + ac) − abc = (a + b)(b + c)(a + c).

Pełcio: Kurcze, jak do tego dojść z tej postaci? No czyli teraz naliczyłem 9 przypadków.

relaa: Udowodnij sobie, a zapamiętasz to i wejdzie Ci do głowy.

Pełcio: ale jak udowodnić? da się udowodnić inaczej niż na to wpaść?

relaa: Parę przypadków masz tylko do sprawdzenia, i należy jeszcze sprawdzić, czy dla tych a, b, c będzie istniało d spełniające wyjściowe równania. Oczywiście mówimy tylko o liczbach całkowitych.

relaa: Dojdź z lewej strony do prawej albo z prawej do lewej.

Pełcio: Teraz już z prawej na lewą łatwo dojść, ale właśnie długo próbowałem to: (a + b + c)(ab + bc + ac) − abc zamienić na postać iloczynową i mi się nie udało, ale spróbuję jeszcze

Pełcio: 1. a+b=1 b+c=1 a+c=2 2. a+b=1 b+c=2 a+c=1 3. a+b=2 b+c=1 a+c=1 4. a+b=−1 b+c=−1 a+c=2 5. a+b=−1 b+c=2 a+c=−1 6. a+b=2 b+c=−1 a+c=−1 7. a+b=−2 b+c=−1 a+c=1 8. a+b=−1 b+c=−2 a+c=−1 9. a+b=−1 b+c=1 a+c=−2 Wypisałem wszystkie możliwości?

relaa: W 8. układzie równań jest chochlik.

jc: Jakie zadanie teraz rozwiązujecie? Ładna tożsamość (a + b + c)(ab + bc + ac) − abc = (a + b)(b + c)(a + c) Po każdej stronie mamy 2 wyrazy abc oraz po jednym wyrazie typu a²b, więc faktycznie zachodzi równość.

relaa: 13 stycznia 22 : 01

Pełcio: jc, pierwszy raz się z tym spotkałem ale teraz to zapamiętam, choć dalej nie doszedłem algebraicznie ze strony lewej do prawej, taki pomysł to jak już to by mi wpadł do głowy bo trzeba było mieć jakiś iloczyn

relaa: Aż tak trudno tego się nie dowodzi jak napisał jc. L = (a + b + c)(ab + bc + ac) − abc = a²b + abc + a²c + ab² + b²c + abc + abc + bc² + ac² − abc = c²(a + b) + bc(a + b) + ac(a + b) + ab(a + b) = (a + b)(c² + bc + ac + ab) = (a + b)[c(b + c) + a(b + c)] = (a + b)(b + c)(a + c)

Pełcio: Racja relaa, jedna jedynka ma być bez minusa Dzięki, fajne zadanka masz Idę spać, ale wiem jak skończyć, z każdych z tych 9 układów wyznaczyć a,b,c a potem do każdego sprawdzić czy istnieje całkowite d. Dobranoc i dziękuję

Pełcio: Kwestia dobrego poukładania tych wyrazów i wyciągnięcia dobrych literek naprzód. ale lekcja na dziś, że (a + b + c)(ab + bc + ac) − abc da się złożyć w ładny iloczyn

jc: relaa, wyrażenie po prawej i lewej stronie jest symetryczne, więc nie musisz porównywać wszystkich iloczynów. Wystarczyło spojrzeć na abc, a²b, i a³ (takich wyrazów nie ma). Innych wyrazów nie będzie, bo mamy wielomian jednorodny stopnia 3. Co w tym trudnego? (a+b+c)³ − (a+b)³ − (b+c)³ + (c+a)³ − a³ − b³ − c³ = ?

relaa: Trzymaj kolejne. Dany jest wielomian W(x) = x³ + bx + c o pierwiastkach x₁, x₂, x₃. Wykaż, że suma sześcianów tych pierwiastków nie zależy od b. Tutaj też jest bardzo ciekawe wyprowadzenie wzoru, który się używa do zadania " Udowodnij nierówność dla nieujemnych liczb a, b, c

a + b + c
	≥ √abc ".
3

relaa: Oczywiście pierwiastek jest stopnia 3.

relaa: jc chciałem pokazać, aby Pełcio widział.

relaa: Bardzo łatwo 1^o a + b = 1 2^o b + c = 1 3^o a + c = 2 3^o − 2^o a − b = 1 1^o + (3^o − 2^o) 2a = 2 ⇒ a = 1 ∧ b = 0 ∧ c = 1. I sprawdzasz, czy działa.

relaa: Widzę już sam śpię i czytam między wierszami. Dobranoc.

Pełcio: (a+b+c)³≥27abc a³+b³+c³ + 3(a+b)(b+c)(a+c)≥27abc a³+b³+c³+3(a+b)(b+c)(a+c)−27abc≥ (a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ac)+3(a+b)(b+c)(a+c)−24abc≥0 (a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ac)+3(a²b+ab²+b²c+bc²+a^c+ac²+2abc−8abc)≥0 (a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ac)+3(a²b−abc+ab²−abc+b²c−abc+bc²−abc+a²c−abc+ac²−abc)≥0 (a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ac)+3[b(a²−ac)+a(b²−bc)+c(b²−ab)+b(c²−ac)+c(a²−ab)+a(c²−bc)≥0 (a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ac)+3[b(a²−2ac+c²)+a(b²−2bc+c²)+c(b²−2ab+a²)]≥0 (a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ac)+3[b(a−c)²+a(b−c)²+c(b−a)²]≥0 i teraz: a+b+c≥0 bo liczby a,b,c są nieujemne a²+b²+c²≥ab+bc+ac → łatwo udowodnić mnożąc przez 2, robi się potem suma trzech kwadratów b(a−c)²≥0 nieujemna liczba pomnożona przez kwadrat jakiejś liczby, czyli musi być nieujemna a(b−c)²≥0 nieujemna liczba pomnożona przez kwadrat jakiejś liczby, czyli musi być nieujemna c(b−a)²≥0 nieujemna liczba pomnożona przez kwadrat jakiejś liczby, czyli musi być nieujemna 3[b(a−c)²+a(b−c)²+c(b−a)²]≥0 suma liczb nieujemnych pomnożona przez 3 czyli liczbę dodatnią jest na pewno nieujemna udowodniliśmy więc, że: (a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ac)+3[b(a−c)²+a(b−c)²+c(b−a)²]≥0 tym samym dowiedliśmy nierówności początkowej, bo była przekształcana równoważnie mam nadzieję, że dobrze bo chwilę nad tym spędziłem

jc: Gratuluję samodzielnego dowodu nierówności pomiędzy średnimi

relaa: Widzę, że sam doszedłeś do a³ + b³ + c³ = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ac) + 3abc, a tutaj to załatwia całą sprawę. Niech a = x³, b = y³, c = z³, wtedy mamy nierówność postaci

x3 + y3 + z3
	≥ xyz
3

x³ + y³ + z³ ≥ 3xyz i teraz z wykorzystaniem wcześniejszej równości zapisujemy (x + y + z)(x² + y² + z² − xy − yz − xz) + 3xyz ≥ 3xyz (x + y + z)(x² + y² + z² − xy − yz − xz) ≥ 0. Również gratuluję.

Pełcio: Wiedziałem, że coś za długo mi to idzie Rzeczywiście podstawienie ułatwia sprawę Później jeszcze spróbuję to z wielomianem.

Pełcio: Dany jest wielomian W(x) = x³ + bx + c o pierwiastkach x₁, x₂, x₃. Wykaż, że suma sześcianów tych pierwiastków nie zależy od b. x₁+x₂+x₃= 0 x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃= b x₁x₂x₃= −c x₁³+x₂³+x₃³= (x₁+x₂+x₃)(x₁²+x₂²+x₃²−x₁x₂−x₁x₃−x₂x₃)+3x₁x₂x₃ = 0*(−3b)−3c= −3c → więc nie zależy od b To wszystko może być bujda, bo pierwszy raz robię zadanie z wielomianem. Tyle co przeczytałem dopiero coś o tym

relaa: Jak masz ten wzór to zadanie jest banalne.

Pełcio: Ale to jest dobrze? Bo nie wiem czy te wzory są ok.

relaa: Które wzory? Chodzi o wzory Viete'a?

Adamm: https://pl.wikipedia.org/wiki/Wzory_Vi%C3%A8te%E2%80%99a

relaa: Możesz nawet samemu dla siebie je wyprowadzić.

Pełcio: Zanim zacząłem to zadanie to sprawdzałem czy wgl są wzory Viete'a na wielomiany Czyli wszystko gra, racja Adamm. Skończyły mi się zadania Panie relaa

relaa: Masz jeszcze zadanie z 14 stycznia 0 : 29.

Pełcio: Toż to jakiś ciąg jest, pomyślę nad tym jutro, teraz mam ferie to można coś popsztykać Ale najpierw muszę poznać podstawowe własności ciągu geometrycznego, bo chyba o coś takiego się tu rozchodzi A na teraz.. dobrej nocy

relaa: Na razie nic nie będę podpowiadał. Dobranoc.

Pełcio: Okej, jednak bez podpowiedzi się nie obejdzie. Nie zbyt wiem jak się do tego zabrać.

relaa: Próbuj wszystkiego co przyjdzie Ci do głowy.

Pełcio:

1−a1		1−an		n−S
	+...+		≤
a1		an		nS

można tak?

relaa:

	1		1
A czy odwrotność liczby		+		jest równe 2 + 3?
	2		3

relaa: Masz tutaj zadanie 342646.

Pełcio: Nic sensownego raczej tam nie wymyślę, nie robiłem takich zadań jeszcze.

Adamm: przecież już jest rozwiązane

	|x|+|y|		x+y
dla x≠0, y≠0, mamy √(x2+y2)/2≥		≥		z nierówności między średnimi
	2		2

	|x|√2		|x|		x		x+y
dla y=0 mamy √(x2+y2)/2=√x2/2=		≥		≥		=
	2		2		2		2

Pełcio: Tam, to znaczy tu

a1		an		nS
	+...+		≥
1−a1		1−an		n−S

n ∊ N+, 0 < a_i < 1, i = 1, 2, 3, ..., S = a₁ + a₂ + ... + a_n

Adamm: uwierz mi lub nie, ale udało mi się wykazać to poprzez indukcję matematyczną ale może pomyśl nad innym rozwiązaniem

relaa: Przecież to zadanie na wykorzystanie średnich, więc jak nie robiłeś takich zadań.

Pełcio: Nie wiem, nie pasuje mi tu nic, kompletnie brak jakiegoś powiązania lewej strony z prawą.

jc: To jest rozwiązane: 14 sty 2017 00:47.

Pełcio: jc za wysokie progi jak to jest jedyne rozwiązanie to tak średnio

Adamm: Pełcio, powiedziałem ci że udało mi się wykazać to indukcyjnie co prawda obliczenia potworne, ale jednak

Pełcio: Spróbuję Adamm

Adamm: nie, lepiej nie próbuj, uwierz mi

relaa: Widzę, że przeceniłem Twoje możliwości. Z wykorzystaniem nierówności między średnimi

n		1 − a1 + ... + 1 − an		n − S
	≤		=
1   1   + ... + 1 − a1   1 − an		n		n

1		n − S
	≤
1   1   + ... + 1 − a1   1 − an		n2

1		1		n2		nS
	+ ... +		≥		= n +
1 − a1		1 − an		n − S		n − S

1		1		nS
	+ ... +		− n ≥
1 − a1		1 − an		n − S

1		1		nS
	− 1 + ... +		− 1 ≥
1 − a1		1 − an		n − S

a1		an		nS
	+ ... +		≥
1 − a1		1 − an		n − S

Pełcio: No to już jest trudne dla mnie Możesz mi wytłumaczyć pierwszą linijkę?

Adamm: pierwsza linijka to nierówność między średnią harmoniczną a arytmetyczną w drugiej relaa podniósł obustronnie do potęgi −1 i tak dalej

relaa: Czego nie rozumiesz w pierwszej linijce? Chodzi o całą, czy jakaś część jest niezrozumiała?

Pełcio: ja myśłałem że w harmonicznej na górze zawsze jest 1 ....... w sumie nie wiem dlaczego tak sobie zakodowałem, przecież wtedy te nierówności nie mają sensu..

Pełcio: już jasne, dziękuję

jc: Dowód nierówności pomiędzy średnimi jest taki sam, jak dowód nierówności Jensena. Nie wiem skąd takie opory przed wypukłością. A dowód wypukłości f(x)=x/(1−x) czyli nierówność

f(a) + f(b)		a+b
	≥ f(		)
2		2

jest zupełnie prosty.

Pełcio: nie wiem jc dlaczego, nie podchodzi mi to, wszystko jest trudne zanim będzie łatwe, więc może jeszcze nie czas na to

qwe: daj spokoj sobie z wypuklosciami, on sam sobie nie moze tego wyobrazic jc, ty już stary koń, a on ma umysł 14 latka

jc: Dobrze wcześnie poznać trochę pojęć. Po prostu później jest trudno, bo wydaje się, że posiadane narzędzia są wystarczające. Mam tak z geometrią. Stosuję właściwie tylko Talesa, Pitagorasa i dodawanie kątów. A przecież są jeszcze inne pomysły. Nie raz błądzę, przeliczam coś na wiele sposobów i próbuję podobnie jak Ty.

Pełcio: No tak, tak, zgadzam się, że im więcej fajnych rzeczy tym lepiej. Ale jak coś kompletnie nie podchodzi to chyba nie ma co.. tymbardziej, że jeszcze co najmniej 1,5roku mi się to nie przyda, a i potem nie wiadomo.

jc: A gdzie mogłoby Ci się to przydać? Na jakimś szkolnym konkursie, bo na studiach raczej nie, chyba że to będzie matematyka i też niekoniecznie.

Adamm: Pełcio, lepiej uczyć się za młodu, potem będzie ciężko się nauczyć czegokolwiek

Pełcio: No pewnie macie racje, ale nie ma co przesadzać. Jeszcze nie wiadomo czy wgl będę miał matematykę na studiach Narazie to mi dajcie jakąś nierówność logarytmiczną, bo to mi się może przydać na II etapie AGHu

Adamm: udowodnij że jedyne funkcje ciągłe spełniające równanie f(xy)=f(x)+f(y) niebędące tożsamościowe równe zeru to funkcje logarytmiczne

Adamm: stój, nie wiesz co to jest funkcja ciągła...

Mila: Pełcio załóż nowy wątek, bo długo się przewija. Jaki to konkurs na AGH− Diamentowy indeks?

Pełcio: Tak jest Milu. Ok, jak będę miał coś do zapytania to już założę nowy

Mila: Zaraz popatrzę co to za zadania dali.

Pełcio: Masz na myśli pierwszą część? Bo pierwsza jest wysyłkowa, a druga dopiero samemu

Metis: Założ nowy wątek Pełcio