planimetria Eta: Zadania z "ukochanej " planimetrii dla Jack zad1/ W trójkącie prostokątnym ABC o przyprostokątnej |BC|=a i przeciwprostokątnej |AB|=c poprowadzono dwusieczną kąta B .która przecięła w punkcie M prostą prostopadłą do AB i przechodzącą przez punkt A. Wykaż , że odległość punktu M od prostej AC jest równa c−a zad2/ W wycinek koła o kącie środkowym 60^o wpisano okrąg o środku w punkcie O i promieniu R Następnie wykreślono okrąg ośrodku S i promieniu r styczny zewnętrznie do pierwszego okręgu i jednocześnie styczny do ramion kąta tego wycinka. Wykaż ,że R=3r

5-latek: Witam w Nowym roku Pozdrawaim A co zrobisz jak za dwa miesiące Jack napisze do Ciebie ze kocha planimetrię ?

Jack: między miłością a nienawiścią jest bardzo cienka granica...

Jack: a tak wgl teraz jestem zajety... ucze sie metody eliminacji Gaussa

Metis: 1)

Jack: rysunek mam

Jack: x = 2 sin² α * c tylko od "a" bym teraz musial jakos...

Eta: Proponuję taki rys.

Jack: sadze ze moj jest lepsz... ; D

Metis: Z trójkąta ABM wyliczyć AM z tw cosinusów. Potrzebny jeszcze AN i jesteśmy w domu.

Eta: No i ładnie Jacuś

	a
teraz :		= cos(2α) ⇒ .......... i 2sin2α= 1−cos(2α)
	c

i..................................... mamy tezę

Jack: @Metis sadze ze tym tw. cosin. to raczej na okolo zupelnie...i jak co to odleglosc prostej od punktu jest zawsze pod katem prstym

Eta: Twoje wszystko jest "lepsze"! nawet jeśli nie jest .......

Metis: Więc Eta, dobrze piszę?

Jack: Eta a faktycznie.... że ja tego nie zauważyłem...ehh x = 2 sin² α * c

	a
cos 2α =
	c

a = c* cos 2 α = c* (1 − 2 sin²α)

	a
1 −		= 2sin2α
	c

	a
X = (1−		) * c = c − a
	c

c.n.u.

Jack: nie wszystko...tylko ten rysunek ; P

Jack: zad 2....nielogiczne zupelnie : D Wykreślono to to samo co narysowano? tak to ma wygladac?

Jack: Wiem, że

	R		r
tg 30 =		=
	a		a+b

a = √3 * R a+b = √3 * r i teraz...hmm

Jack: na tym drugim rysunku dokladnie odwrotnie zaznaczylem a,b z R'kami... ehh

pytajnik123: Jack jak doszedłeś do tego, że x = 2 sin2 α * c?

Eta: @Jack Więcej już ode mnie pomocy nie otrzymasz .....

Jack: @pytajnik 2 α + β = 90, więc 90 − β = 2α czyli ten kąt (ten zielony) wynosi 2α skoro tak, a tamten jest trojkatem prostokatnym to ten trzeci kąt jest 90 − 2α czyli tak wlasciwie β więc sin 2 α = x do jakiejś niewiadomej...oznaczylem ja jako y stąd x = y * sin 2α

	y
Nastepnie z trojkata o bokach "c, y, dwusieczna" tg α =		, więc y = c*tg α
	c

Podstawiąc

	sin α
x = c*tg α * sin 2α = c*		* 2 sinα cosα = c* 2 sin2α
	cos α

Jack: @Eta... no trudno, tego zadania i tak nie rozwiaze] baju baj

Metis: Eta 18:59

pytajnik123: Dziękuję ^^ Dobrze wytłumaczone

Jack: :(

Archeolog: @Jack jak R = 3r to koło z promieniem r będzie malutkie, a te z R będzie tym dużym. (chyba to sam zauważyłeś ale wspomnę i tak) Żeby stosunek R do r wyliczyć zrób pewien układzik równań ( S1 − środek pierwszego koła, S2− środek drugiego koła |S1S2| = r+R) Troszkę podobne do tego zadania o które ja właśnie pytam tylko bez tej części o ciągach. https://matematykaszkolna.pl/forum/310970.html

Jack: Rozpatrujac nieskonczony ciag kol

	R
sin 30 =
	R + 2r + 2r2 + ...+ 2rn

2R = R + 2r + 2r₂ + ...+ 2r_n 2R = 2(R + r + r₂+...+r_n) − R

	R
R = R + r + r2+...+rn −
	2

3
	R = R + r + r2+...+rn
2

	a1
Korzystajac ze wzory na nieskonczony ciag S =
	1−q

3		R
	R =
2		1−q

	2
1−q =
	3

	1
q =
	3

W takim razie skoro pierwszy jest R

	R
to drugi R*q =		= r
	3

Czyli R = 3r c.n.u.

Archeolog: R − promień większego koła r − mniejszego koła x = r+R y = R−r sin 30 = 1/2 = (R−r)/x x = r+R x = 2R − 2r r+R = 2R −2r R = 3r c.n.u.

Jack: @Archeolog...nie widze tego ; d

Eta: Czytanie ze zrozumieniem: okrąg wpisany w wycinek koła o kącie środkowym 60^o 2R= 2r+r+R ⇒ R=3r

Eta:

Archeolog: Rysunek trochę nie tak proporcjonalnie ale dane tak samo. Ten trójkąt jest podobny do tego z kątem 30 stopni, więc ma też kąt 30 stopni.

Jack: @Eta...a skad my wiemy ze do pierwszego okregu jest akurat 2r ?

Eta: Z własności trójkąta "ekierki" o kątach 30^o,60^o, 90^o

Jack: łe kurcze...faktycznie, ale ja głupi... Dzieki wielkie...

Eta:

Jack: i dlatego nie lubie planimetrii...zawsze czegos nie zauwaze i licze na okolo co do rozwiazania Archelogo'a to powiedzialbym ze lekko naciagane... : D aczkolwiek pewnie jak bys uzasadnil ze sa podobne i inne takie to by bylo ok...

Archeolog: trójkąt "ekierka" czyli trygonometria dla gimnazjum xP

Jack: a pan Archeolog ? która klasa? : D ide chyba zrobic cos porzadnego i poloze sie spac...

Archeolog: pan Archeolog klasa 4 i ambitnie postanowił się całego materiału w rok szkolny nauczyć, bo nie zauważył że to co robi się w szkole to jest mniej niż minimum. Póki co mamy 1 stycznia i powinienem zbiory A. Kiełbasy do końca kwietnia przerobić.

Jack: technikum ?

Jack: prawda o tym minimum...masakra...a niektorzy maja problem ze zdaniem matury z matmy podstawowej... Tylko ja mam jakieś zbiory z nowej ery tandetne ? : D

Archeolog: Czwartej klasy liceum z tego co wiem już nie ma

Jacek: podstawowka jeszcze jest

Archeolog: Ja miałem na samym początku roku 'test diagnostyczny' aka. próbną maturę i wyszło mi "całe" 40% z matmy. Wtedy miałem tylko pierwszy dział powtórzony i załamałem się tym wynikiem z podstawy. Ostatnio pisałem gdzieś w listopadzie i wtedy miałem już funkcje itd. powtórzone i 94% z próbnej, ale rozszerzenie tylko 36%, bo co przerobiłem to umiałem, a umiałem 4 zadania na 11 (ze starej podstawyta próbna była). Myślałem, że trygonometria będzie kosmosem, a okazała się nawet przyjemna (szczególnie maturalne), ale planimetria to jest kosmos jak zaczynałem ten dział to nie umiałem zadań z podstawowej w 5 minut zrobić, bo nic tych trójkątów podobnych nie widziałem.

Archeolog: Jacek jakbym pisał maturę w czwartej podstawówki to raczej bym się nie obwiniał za to, że tak w tyle z materiałem jestem

Jack: ja ponoc w przyszlym tygodniu mam miec probna z matmy...chetnie zobacze na co mnie stac... tylko zamiast niektorych zadan z planimetrii bym wolal liczyc wyznaczniki macierzy, calki nieoznaczone albo chociaz ekstrema funkcji dwoch zmiennych...czasami to jest duzo prostsze do policzenia niz jakies zadanie z trojkatami...

Archeolog: Ja bym ci Jack wysłał jakiś kontakt do mnie żeby dzielić się informacjami maturalnymi (jak liczę to zazwyczaj staram się nie wchodzić na fora, nawet matematyczne bo rozpraszają), a tutaj nie ma prywatnych wiadomości więc tymczasowy czat postawiłem http://tinychat.com/obmhoe . Wbij i tam ewentualnie mogę ci podać jakieś skype albo coś.

Jack: Na telefoniw tego nie odpale niestety ale jesli masz gg − gadu gadu to pisz śmiało 37209167

Jack: Ewentualnie team speak 3 ale.to by ktos.musiał serwer trzymac

Archeolog: gg może być

Kacper: Biorę

5-latek: Kacper No to jeszcze St Kartasinski i M Okolowicz Zbior zadań maturalnych i egzaminacyjnych Cz2 Geometria i trygonometria . Jest to jedna czesc z 7 . Lev Kurlyandchik Kącik olimpijski cz1 Geometria (Wydawnictwo Aksjomat )

Kacper: 5−latek Kurlandchik−a chyba mam, a Okołowicza poszukam w bibliotece

5-latek: Zobacz jeszcze do Antonow Sankin Zbior zadań z matematyki elelmentarnej Tam tez jest dużo zadań z planimetrii . jest tez ksiazka Waldemar Pompe W okol obrotow przewodnik po geometrii elementarnej Kupilem ja za 12 zl (wydawnictwo szkolne Omega 2014r . Stron 48 ale wiedza kosztuje

5-latek: W sumie nie wiem po co mi to potrzebne

Jack:

	a(1−4sin2α)
wykaż że |AD| =
	2sinα

Jack: podpowiedzi jakies? : D

Eta: https://matematykaszkolna.pl/forum/312460.html

Jack: dzieki

Kacper: biorę

Jack: zad 15 Prosta o równaniu y=x(a−3) + a+ 4 ...