Kombinatoryka Ana: Liczba sposobów, w jaki można rozmieścić: a) 5 ponumerowanych kul w 2 identycznych pudełkach, tak, aby żadne nie zostało puste b) 6 identycznych kul w 5 ponumerowanych pudełkach c) 6 ponumerowanych kul w 3 ponumerowanych pudełkach tak, aby w każdym pudełku znajdą się 2 kule Ogólnie kiedy mam wiedzieć czy to jest wariacja/kombinacja z/bez powtórzeń?

PW: a) policzyć liczbę zdarzeń przeciwnych (na ile sposobów można rozmieścić 5 ponumerowanych kul w jednym pudełku) i odjąć od liczby wszystkich rozmieszczeń. Uwaga: pudełka są identyczne, czyli inaczej mówiąc nie nadajemy im kolejności.

Ana: nie rozumiem...

J: masz tylko dwie możliwości; w jednym pudełku 4 i w drugim jedna , albo: w jednym pudełku 3 w drugim 2.

	5 4		5 3
=		+		... ( drugie pudełko zapełnia sie automatycznie )

Ana: czyli 15

	6 2
a w c) będzie tak: w jednym pudełku mam		(co daje 15), a że 3 pudełka to 3*15=45 ?

J:

	6 2		4 2		2 2
c) =		*		*

Ana: no tak, bo jak włożę 2 kule do pudełka, to już ich nie ma i nie da się ich wylosować. a b)?

J: b) są to 6 −cio elementowe wariacje z powtórzeniami zbioru 5 − cio elementowego: = 5⁶

J: do b) A B C D E F − kule 1 1 3 5 4 2 − pudełka 5 5 5 5 5 5 − wszystke trafiły do 5 pudełka 1 4 4 4 4 4 − jedna do 1 i pięć do 4 pude łka itd...

Ana: Znalazłam taki podział i zaczęłam próbować dopasować wzory (kule k urny n) I kule rozróżnialne i urny rozróżnialne a) wszystkie urny zajęte b) mogą być puste n^k II kule rozróżnialne i urny nierozróżnialne a) wszystkie urny zajęte b) mogą być puste III kule nierozróżnialne i urny rozróżnialne a) wszystkie urny zajęte

	n+k−1 k
b) mogą być puste

IV kule nierozróżnialne i urny nierozróżnialne a) wszystkie urny zajęte b) mogą być puste jak można to dalej uzupełnić?

Ana: Zaczęłam przeglądać inne zadania na losowanie kul i na kilku forach znalazłam pkt b i tam odpowiedź była 210 oraz c 20. To które odpowiedzi są poprawne? I dlaczego?

Mila: b) zadanie jest równoważne z obliczeniem liczby rozwiązań równania x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=6 w zbiorze N={0,1,2,3...} n=6 liczba kulek k=5 liczba szufladek

n+k−1 n		10 6		10!		7*8*9*10		7*9*10
	=		=		=		=		=210
				6!*4!		2*3*4		3

	6 2		4 2
c)		*

Ana: Okej, a mógłby mi ktoś powiedzieć dlaczego jest użyty taki a nie inny wzór w kombinatoryce?

Mila: Studia, czy LO?

Sss: studia

Ana: Studia. Absurdalnie robiłam podobne w liceum, ale teraz nie pamiętam jak a nie mam już książek

Mila: https://pl.wikipedia.org/wiki/Kombinacja_z_powt%C3%B3rzeniami https://matematykaszkolna.pl/forum/228696.html https://matematykaszkolna.pl/forum/228523.html

Mila: Kombinacje z powtórzeniami w LO raczej nie obowiązują, na profilu z rozszerzoną matematyką jednak niektórzy nauczyciele wyjaśniają.

Ana: teorię niby znam, wzory też, tylko nie wiem kiedy co trzeba stosować. Dzięki za linki, doczytam

Ana: A jaka jest liczba sposobów, w jaki można rozmieścić 6 identycznych kul w 5 nieponumerowanych pudełkach?

PW: Liczbę 6 przedstawić w postaci sumy: − jednego składnika (wszystkie kule lądują w jednym pudełku) − dwóch składników (kule trafiają do dwóch pudełek) − trzech składników − czterech składników − pięciu składników dodatnich naturalnych nie zwracając uwagi na kolejność składników. Po prostu wypisać.

Ana: czyli mogę mieć ponumerowane kule i/lub ponumerowane pudełka. W jakim przypadku " Kolejność elementów jest istotna" w kulach czy pudełkach?

Ana: ale jakby chcieć to nazwać to będzie to wariacja/permutacja/kombinacja? Albo ich sumy?

PW: Pytałaś o sytuację, gdy wszystkie koty są czarne i siedzą w "bezładnej kupie pudełek", czyli nie potrafię odróżnić rozkładanych elementów ani pojemników. Ważne jest tylko ile pudełek jest pustych i jak są rozłożone (ilościowo, na sztuki) koty w pozostałych. Inna sytuacja to nierozróżnialne kule, ale pojemniki są np. ustawione w rzędzie (widzimy, który jest pierwszy, który drugi itd.). Jeszcze inne jest rozumowanie dla rozróżnialnych kul i rozróżnialnych pudełek (wtedy są to znane ze szkoły wariacje).

Ana: czyli rozróżnialne kule i rozróżnialne pudełka −> wariacje

	n+k−1 k
rozróżnialne kule i nierozróżnialne pudełka −>		, n to kulki ?

nierozróżnialne kule i nierozróżnialne pudełka −> suma, ale nie wiem czego właściwie ?

Ana: 11 to jest do"A jaka jest liczba sposobów, w jaki można rozmieścić 6 identycznych kul w 5 nieponumerowanych pudełkach?" tak? Ale czemu? Już chyba wszystko mi się myli...

Ana: yyy... przed chwilą był post z samą liczbą 11, teraz już go nie ma...

Ana: czyli mamy n kul. Na ile sposobów można je włożyć do k pudełek, jeśli: a) kule, pudełka są rozróżnialne b) kule są nierozróżnialne, a pudełka tak

	n+k−1 k
c) kule są rozróżnialne, a pudełka nie −>

d) kule i pudełka są nierozróżnialne −> wypisać wszystkie możliwe opcje i dodać (a można to jakoś wzorem)?

Mila: Jaka jest liczba sposobów, w jaki można rozmieścić 6 identycznych kul w 5 nieponumerowanych pudełkach? ( nierozróżnialnych) 1)6=6 2)6=5+1, 6=4+2, 6=3+3 3)6=1+1+4,6=1+2+3,6=2+2+2 4)6=1+1+1+3, 6=1+1+2+2, 5) 6=1+1+1+1+2 Chyba to wszystko. Tak masz?

Ana: tak domyśliłam się o który przykład chodzi

PW: Drugi wiersz: Nierozróżnialne kule i rozróżnialne pudełka. Rozróżnialne kule i nierozróżnialne pudełka to pewnie będą tzw. podziały (patrz liczby Stirlinga drugiego rodzaju). Trzeci wiersz: Nie suma, ale liczba możliwych przedstawień liczby n w postaci sumy 1, 2, ..., k składników (n − liczba kul, k − liczba pojemników).

Mila: Jednakowe talerzyki masz na stole i rozkładasz na różne sposoby jednakowe śliwki. Dla jednej osoby albo dla dwóch (sprawiedliwie lub nie), itd Liczysz sposoby. To właśnie masz przedstawione 22:01. Na piechotę. Nie ma zbiorczego wzoru. Chyba,że na wykładzie miałaś coś o rekurencji?

Mila: b) Nierozróżnialne kule(n) i rozróżnialne pudełka (k). kombinacje z powtórzeniami:

	n+k−1 n