Równania różniczkowe Mariusz: Podaj typ równania oraz sposób rozwiązania

	y		1
(a) y'=		+
	x		y

	xy
(b) y'=
	(x2+y2)

(c) y'=x²+2xy+y² (d) yy''=2(y')²

	y2
(e) y'=(1+x)
	x2

(f) x²y'+xy+y²=0 (g) xy'=y(1−ln(x)+ln(y)) (h) (x+y²)+2(y²+y+x−1)y'=0 (i) −xy'+y=xy² y(1)=1 (j) y''−(1+x)⁻²(y')²=0 y(0)=y'(0)=1 (k) 2xyy'+y²−x²=0 (l) y''=(y')²e^−y (m) y'=|y−x|

	y
(n) xy'=y+xe
	x

	x4−3x2y2−y3
(o) y'=
	2x3y+3y2x

(p) (x²+y²)y'=xy y(e)=e (q) y''+2y'y=0 y(0)=y'(0)=−1 (r) x²y''+xy'−y=3x² y(1)=y(2)=1

	1
(s) y3(y')2y''=−		y(0)=y'(0)=1
	2

(t) xy'=y+√xy (u) (xy)y'+yln(y)=2xy (v) (xsin(y)+e^y)y'=cos(y) (w) (x+y²x)y'+x²y³=0 y(1)=1 (x) (x−1)(x−2)y'+y=2 y(0)=1

	1
(y) y'=
	x+ey

(z) xy'+y=y²x⁴

Kacper: Całą książkę przepisałeś?

Mariusz: Te są łatwiejsze Mam też trudniejsze tylko obawiam się że byś sobie z nimi nie poradził

Kacper: W takim razie tych zapewne też nie umiem Poza tym powodzenia żebyś znalazł kogoś kto będzie siedział cały dzień i robił to

J: @Kacper ... .te zadania nie są tutaj po to , aby je ktoś rozwiązał ...

Mariusz: Stwierdzenie typu aż tak dużo czasu nie zajmuje . Napisanie sposobu rozwiązywania też jakoś dużo czasu nie zajmuje Poza tym jak nie chce ci się rozwiązywać wszystkich to możesz wybrać jedno czy dwa równania a pozostali by dokończyli Ostatnio J: czy ICSP rozwiązywali takie równania to mogą sobie poćwiczyć Mnie określenie typu nie zajęło dużo czasu Nie rozwiązywałem bo nie mam papieru pod ręką Niektóre równania można rozwiązywać więcej niż jednym sposobem i ciekawy jestem waszych pomysłów

Mariusz: Jeśli ktoś ma ochotę to może rozwiązać

Mariusz: Tutaj nie powinienem mieć problemów z rozwiązaniem tych równań Jakiś czas temu też dałem kilka równań https://matematykaszkolna.pl/forum/296323.html Tylko z dwoma miałem problemy Po podstawieniu szeregu dostałem równanie różnicowe które nie wiem jak rozwiązać J: ciekawe czemu nie chcesz rozwiązać albo przynajmniej podać typ i sposób rozwiązania Widziałem jak innym rozwiązywałeś równania pierwszego rzędu więc nie powinieneś mieć z nimi problemu Temu kolesiowi jakoś rozwiązywałeś https://matematykaszkolna.pl/forum/296237.html

5-latek: Mariusz może dlatego https://matematykaszkolna.pl/forum/296509.html

J: Cześć 5−latek Spływa to po mnie ... nie dyskutuję z ludźmi o tak niskiej kulturze :

Mariusz: Ano wtedy uparcie twierdził że dobrze rozwiązał równanie skoro mu wskazałem błędy 5−latek jak rozwiązywać równania różnicowe ? Tutaj jeden przykład może nie wystarczyć bo różne wychodzą np c_n+2=R₁(n)c_n+1+R₂(n)c_n ale pojawiają się także inne Wzór ogólny ciągu może zawierać funkcje specjalne takie jak Γ

5-latek: Witaj Dostalem wczoraj ksiazeczke o równaniach różniczkowych (pewnie za 2 lata z niej skorzystam tam sa takie równania y=xy'+f(y') równanie różniczkowe Clairauta Rownanie clairauta jest szczególnym przypadkiem równania y=xf(y')+g(y') zwanego równaniem Lagrange'a Jeszcze takie ciekawe równanie różniczkowe pierwszego stopnia niedające się rozwiazac w ogolnym przypadku Rownanie to ma postac y'=f(x)y²+g(x)y+h(x) zwane równaniem Riccatiego gdzie f(x) g(x) i h(x) sa funkcjami określonymi w pewnym wspólnym przedziale

J: No chyba nie zaczniesz przygody z równaniami różniczkowymi od takich równań

5-latek: J Pewnie ze nie Najpierw to pochodne i calki (zwłaszcza calki

5-latek: Mariusz podaj które to równanie i jakie ono jest Może znajde cos na temat jego rozwiązania w ksiazce

J: Z pochodnymi chyba nie masz problemów

Mariusz: 5−latek ja te równania już rozwiązywałem Przyjrzyjmy się bliżej równaniu Riccatiego Gdy całka szczególna jest podana lub łatwo ją zgadnąć to możemy je sprowadzić do równania Bernoullego lub liniowego Ciekawszy jest przypadek gdy nie mamy całki szczególnej

5-latek: proste to tak Bardziej zlozone sa problemy (to jednak dużo lat uplynelo

5-latek: Potem zobaczę czy cos pisza . na forum jest Vax i Godzio może oni co napiszą

Mariusz:

	1
yw''+(1−y)w'+		yw=0
	4

x²y''+yln²(x)=0 W obydwu udało mi się uzyskać równanie różnicowe ale nie wiem co dalej (W tym drugim dodatkowo użyłem zamiany zmiennych t=ln(x) )

Mariusz: 5−latek http://mariuszm2011.republika.pl/mm1.pdf Pomysł tego kolesia który mi to przesłał jest dobry jednak jego talent pedagogiczny kiepski

52: w przykładzie (h) chyba brakuje y" ...

Mariusz: 1.

	1
∑(n+2)(n+1)cn+2yn+1+∑(n+1)cn+1yn−∑(n+1)cn+1yn+1+∑		cnyn+1=0
	4

∑(n+2)(n+1)c_n+2yⁿ⁺¹+c₁+∑(n+2)c_n+2yⁿ⁺¹−

	1
∑(n+1)cn+1yn+1+∑		cnyn+1=0
	4

	1
c1+∑[(n+2)2cn+2−(n+1)cn+1+		cn]yn+1
	4

	1
(n+2)2cn+2−(n+1)cn+1+		cn=0
	4

	1
(n+2)2cn+2=(n+1)cn+1−		cn
	4

	1   (n+1)cn+1− cn   4
cn+2=
	(n+2)2

c₀∊R c₁=0

	1   (n+1)cn+1− cn   4
cn+2=
	(n+2)2

2. x²y''+yln²(x)=0 t=ln(x) x=e^t

dx
	=et
dt

dt
	=e−t
dx

dy		dy	dt		dy
	=			=		e−t
dx		dt	dx		dt

d2y		d		dy
	=		(		e−t)
dx2		dx		dt

d2y		d		dy		dt
	=		(		e−t)
dx2		dt		dt		dx

d2y		d		dy
	=		(		e−t)e−t
dx2		dt		dt

d2y		d2y		dy
	=(		e−t−		e−t)e−t
dx2		dt2		dt

d2y		d2y		dy
	=e−2t(		−		)
dx2		dt2		dt

d2y
	+t2y=0
dt2

∑(n+2)(n+1)c_n+2tⁿ+∑c_ntⁿ⁺²=0 2c₂+6c₃t+∑(n+4)(n+3)c_n+4tⁿ⁺²+∑c_ntⁿ⁺²=0 2c₂+6c₃t+∑[(n+4)(n+3)c_n+4+c_n]tⁿ⁺²=0 (n+4)(n+3)c_n+4+c_n=0

	cn
cn+4=−
	(n+4)(n+3)

c₀∊R c₁∊R c₂=0 c₃=0

	cn
cn+4=−
	(n+4)(n+3)

Mariusz: To były dość łatwe równania pierwsze równania pierwszego rzędu Tak na rozgrzewkę

Mariusz: @52 wcześniej dałem 16 równań drugiego rzędu i ostały się tylko dwa

Mariusz: Jeżeli chodzi o (h) to istnieje czynnik całkujący o rozdzielonych zmiennych Chyba że masz lepszy pomysł

52: Szczerze to nie myślałem na sposobem rozwiązania tych zadań... Może jak będę się nudził to coś porobię, ale chyba zajmę się materiałem ze szkoły średniej.

ICSP: Dlaczego mamy funkcję y(x) a nie x(t) ?

Mariusz: Mógłbym podać typy ale popsułbym zabawę tym którzy ćwiczą Równania od Niedoby 1. (2xy²−y)dx+xdy=0 2. xy'+y=xy²ln(x)=0 3. x²(y+1)dx+(x³−1)(y−1)dy=0 4. (1+y²)(e^2xdx−e^ydy)−(1+y)dy=0

	2x−1
5. y'−y		=1
	x2

6. ye^y=(y³+2xe^y)y' 7. y'+ycos(x)=sin(x)cos(x) 8. (x²y−x²+y−1)dx+(xy+2x−3y−6)dy=0

	y−1
9. y'=(1−		)2
	2x

10. xy³dx=(x²y+2)dy

	x		y
11. 2dx+√		dy−√		dx=0
	y		x

12. e^ydx+(xe^y−2y)dy=0 13. y=2xy'+√1+(y')² 14. y'(x+sin(y))=1

	y
15. y'=		(1+ln(y)−ln(x))
	x

16. (2e^x+y⁴)dy−ye^xdx=0 17. x²(y')²+3xyy'+2y²=0 18. xy(xy²+1)dy−dx=0 19. xy(y')²−(x²+y²)y'+xy=0 20. (3x²+2xy−y²)dx+(x²−2xy−3y²)dy=0 ICSP w kilku przykładach możesz mieć funkcję x(y) i nawet tak będzie wygodniej

lolo: sam piszesz − sam sobie odpowiadasz − radziłbym się zastanowić nad zdrowiem...

Mariusz: Za to ty spamerze jesteś zdrowy gdzie sobie odpowiedziałem ?