Równania różniczkowe Mariusz: Rozwiązać równanie różniczkowe 1. xy''−y'−4x³y=0 2. (1+x²)y''+xy'+y=0 3. x²(1−x²)y''+2*(x−x³)y'−2y=0 4. y''−y'+e^4xy=0 5. 2xy''+y'+xy=0 6. x²y''−2xy'+(x²+2)y=0 7. x²y''−4xy'+(6−x²)y=0 8. (1+x²)y''+4xy'+2y=0 9. x²y''+2x²y'+(x²−2)y=0 10. xy''+y'+xy=0 11. x²y'' +yln²(x)=0 12. (2t+1)x''+4tx'−4x=0

	1
13. yw''+(1−y)w'+		yw=0
	4

14. 2y''+xy'−2y=0 15. (1−x²)y''−xy'+9y=0

	1		1
16. y'' +(−		x2−x+		)y=0
	4		2

Oto do czego udało mi się samemu dojść 1. y₁=cosh(x²) 2. y₁=cos(ln(x+√1+x²))

	3	x2−1		1+x		3
3. y1=			ln|		|+
	4	x2		1−x		2x

4. Narzuca się podstawienie t=e^x dalej nie liczyłem 5. Równanie Bessela 6. y₁=xcos(x) 7. y₁=x²cosh(x)

	1
8. y1=
	1+x2

9. y₁=x²e^−x 10. Równanie Bessela 11. Narzuca się podstawienie t=ln(x) dalej nie liczyłem 12. y₁=t 14. y₁=a₂x²+a₁x+a₀ 15. y₁=a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀ 16. y₁=(a₁x+a₀)e^b₁x2+b₀x

jakubs: Mariusz soory, że wbijam w temat, ogarniasz uwikłaną, pomożesz w jednym zadanku ?

jakubs: Już wiem, co źle robiłem.. Swoją drogą, ciekawe zadanka. Studiujesz matematykę ?

Mariusz: Nie zakończyłem naukę matematyki na szkolę średniej W czasie gdy kończyłem szkołę w średniej było dużo więcej materiału niż teraz Sam trochę doczytuje Takie zadanka są w rosyjskich zbiorach

Mariusz: Szkoda że się trochę wcześniej nie urodziłem wtedy znałbym rosyjski a matka po pierwsze nie chciała uczyć a po wtóre jest kiepską nauczycielką Nie we wszystkich zadaniach chodziło o rozwiązanie np w jednym chodziło o wyrugowanie terminu z pierwszą pochodną a w innym zadaniu chodziło o zbadanie asymptotycznego zachowania rozwiązań przy x→∞

Mariusz: Mając całkę szczególną łatwo rozwiązać np obniżając rząd równania podstawieniem y=y₁∫u Całki szczególne równań 1−3 oraz 6−9 dostałem podstawiając szereg potęgowy W 5 szereg potęgowy pomógł mi stwierdzić że jest to równanie Bessela (można je do równania Bessela sprowadzić) W 10 wystarczy zauważyć że jeśli pomnożymy równanie przez x to dostaniemy równanie Bessela W 12. całka szczególna jest dość oczywista W 14. oraz 16. na postać całki szczególnej wpadłem sam w 14. od razu a w 16. znalazłem ją metodą prób i błędów W 15. postać całki szczególnej była już dana 4. y''−y+e^4xy=0 t=e^x

dt
	=ex
dx

dt
	=t
dx

dy		dy	dt
	=
dx		dt	dx

dy		dy
	=		t
dx		dt

d2y		d		dy
	=		(		t)
dx2		dx		dt

d2y		d		dy		dt
	=		(		t)
dx2		dt		dt		dx

d2y		d2y		dy
	=(		t+		)t
dx2		dt2		dt

d2y		d2y		dy
	=		t2+		t
dx2		dt2		dt

d2y		dy		dy
	t2+		t−		t+t4y=0
dt2		dt		dt

d2y
	+t2y=0
dt2

Teraz wystarczy podstawić szereg potęgowy 11. x²y''+yln²(x)=0 t=lnx x=e^t

dt		1
	=		=e−t
dx		x

dy		dy	dt
	=
dx		dt	dx

dy		dy
	=		e−t
dx		dt

d2y		d		dy
	=		(		e−t)
dx2		dx		dt

d2y		d		dy		dt
	=		(		e−t)
dx2		dt		dt		dx

d2y		d		dy
	=		(		e−t)e−t
dx2		dt		dt

d2y		d2y		dy
	=(		e−t−		e−t)e−t
dx2		dt2		dt

d2y		d2y		dy
	=e−2t(		−		)
dx2		dt2		dt

d2y		dy
	−		+t2y=0
dt2		dt

Tutaj też wystarczy podstawić szereg Co z równaniem 13. ? Po podstawieniu szeregu otrzymałem

	1
∑(n+2)(n+1)cn+2yn+1+∑(n+1)cn+1yn−∑(n+1)cn+1yn+1+∑		cnyn+1
	4

	1
∑(n+2)(n+1)cn+2yn+1+c1+∑(n+2)cn+2yn+1−∑(n+1)cn+1yn+1+∑		cnyn+1
	4

	1
c1+∑[(n+2)2cn+2−(n+1)cn+1+		cn]yn+1
	4

c₀∊R c₁=0

	1   (n+1)cn+1− cn   4
cn+2=
	(n+2)2

Jak teraz otrzymać wzór ogólny tego ciągu Może być to iloraz iloczynów funkcji wykładniczej wielomianów oraz funkcji Γ

Mariusz: Tutaj też może jednak być problem

d2y		dy
	−		+t2y=0
dt2		dt

∑(n+2)(n+1)c_n+2tⁿ−∑(n+1)c_n+1tⁿ+∑c_ntⁿ⁺²=0 2c₂+6c₃t+∑(n+4)(n+3)c_n+4tⁿ⁺²−c₁−2c₂t−∑(n+3)c_n+3tⁿ⁺²+∑c_ntⁿ⁺²=0 (2c₂−c₁)+(6c₃−2c₂)t+∑(n+4)(n+3)c_n+4tⁿ⁺²−∑(n+3)c_n+3tⁿ⁺²+∑c_ntⁿ⁺²=0 (2c₂−c₁)+(6c₃−2c₂)t+∑[(n+4)(n+3)c_n+4−(n+3)c_n+3+c_n]tⁿ⁺² c₀∊R c₁∊R

	1
c2=		c1
	2

	1
c3=		c1
	6

	(n+3)cn+3−cn
cn+4=
	(n+4)(n+3)

lucek: dy/dx =1/x²siny

lucek: rozwiąż równanie dy/dx=1/x²siny

jc: Nie rozumiem, po co rozwiązywać abstrakcyjne równania różniczkowe. Równanie powinno opisywać jakieś zjawisko, linię lub powierzchnię spełniającą określone warunki, ... Cóż, jestem fizykiem Niestety, tylko w nielicznych rzeczywistych problemach daje się rozwiązanie wyrazić funkcją elementarną. Może 5−7 przykładów, drugie tyle, jak dopuścimy funkcje eliptyczne, Bessela, ...

jc: @Lucek, to równanie o zmiennych rozdzielonych

	dy		dx
∫		= ∫
	sin y		x2

log tg(y/2) = − 1/x + stała y = 2 arctg C e^−1/x