różniczkowe, jaki sposób? Szymon: Jakim sposobem rozwiązać te równania : Pomożecie? 1) ydx + (x² − 4x)dy = 0. zmienne rozdzielone 2)xy^, + y = y² 3)xy^, = 3y + 2x 4) y² + x²y^, = xyy^,

	1
a)y, + y tg x =
	cosx

	y		1
5) y, +		=
	x		sinx

	y		1
6)y,+		=
	x		x2

7)y^, + 2y = x² − x − 1. 8)xy^,, − y^, = 0. 9) y²y^,, = y^, 10)y^,, = 3y² a) y^,, − y^, − 2y = 0 b) y^,, + 4y^, + 4y = 0 c) y^,, + 2y^, + 5y = 0 d) y⁽⁵⁾+ 18y⁽³⁾−81y^, = 0 e) y^,,,+ y^, = 0 11) a) y^,, − 2y^, + y = xe−x b) y^,, − y = ex + sin x c) y^,,+ 4y = cos2 x d) y^,,− 2y0 + y = ex ln x 12) a) y^,, − y^, − 6y = 2, b) y^,, − 5y^, + 6y = 2e^x, c) y^,,+ 9y = 15 sin x, d) y^,, + 2y^, + y = x², e) y⁽⁴⁾ − y^,,= 4x,

Szymon: 2) i 3) podzielić przez x i skorzystać z podstawienia u=\frac{y}{x}

J:

	dy		dx
1)		= −		..... i całkujesz obustronnie
	y		x2 − 4x

J:

	1		1
2) y' +		*y =		*y2 .... równanie Bernoulliego , podstawienie: u = y−1
	x		x

J:

	y		y
3) y' = 3		+ 2 ... równanie jednorodne , podstawienie: u =
	x		x

J:

	y
4) podzielić obustronnie przez x2 .. .równanie jednorodne, podstawienie: u =
	x

J: 4a) równane liniowe niejednorodne ( np.uzmiennianie stałej )

J: 5,6,7 ... jak wyżej ( liniowe niejednorodne)

Szymon: odnośnie 1.

	dy		dx
∫		=−∫
	y		x2−4x

	dy		1		1
∫		=		ln|x|−		ln|x−4|
	y		4		4

ln|y|=ln|⁴√x|−ln|⁴√x−4|

	4√x
y=		+C
	4√x−4

odnośnie 2. Próbwałem tak

	1		1		1
y,+		y=		y2 | *(−		)
	x		x		y2

z=y^1−m gdzie m=2 z=y⁻¹

	1
z,=−		*y,
	y2

Ale to nie wychodzi bo wyrażenia z x przeszkadzają ....

Szymon: odnośnie 3. xy^,=3y+2x

	y
y,=3		+2
	x

	y
y=
	x

y=xu y^,=y+xu^, u+xu^,=3u+2

	du
x*		=2u+2
	dx

	du		dx
∫		=∫
	2u+2		x

ln|2u+2|=ln|x| x=2u+2+C

	y
x=2		+2+C ?
	x

Szymon: odnośnie 4 . Wziąłem tak jak napisałeś ,wyszedłem na coś takiego:

	y		y
(		)2+y,=		*y,
	x		x

	y
u=
	x

y^,=u+xu^, u²+u+xu^,=u²+xuu^, Co prawda u² się skrócą ale i tak coś jest źle moim zdaniem ,nie wiem jak sie za to zabrać....

J:

	1		1
2) u = y−1 u' = −		*y' ⇔		*y' = − u'
	y2		y2

dzielimy obustronnie przez y²

1

1

1

1

1

1

⇔

*y' +

*

=

⇔ − u' +

*u =

⇔

y2

x

y

x

x

x

	1		1
u' −		*u = −		... liniowe niejednorodne
	x		x

Szymon: 1) jest okej ?

	1
2) tak z moim zetem miałem podobnie tylko zaniechałem bo te		mi przeszkadzało ....
	x

J: w drugim możesz rozdzielić zmienne ...

	1		1		1		1
u' −		*u +		= 0 ⇔ u' −		(1−u) = 0 ⇔ u' =		(1−u)
	x		x		x		x

du		dx
	=
1−u		x

Mariusz: 1 zmienne rozdzielone 2 zmienne rozdzielone 3 jednorodne 4 jednorodne a) liniowe I rzędu 5 liniowe I rzędu 6 liniowe I rzędu 7 liniowe I rzędu 8 II rzędu sprowadzalne do I rzędu 9 II rzędu sprowadzalne do I rzędu 10 II rzędu sprowadzalne do I rzędu a) liniowe II rzędu b) liniowe II rzędu c) liniowe II rzędu d) liniowe V rzędu e) liniowe III rzędu Podstawiasz y=e^λt 11 y_s=Axe^−2x y_s=Axe^x+Bcos(x)+Csin(x) y_s=x(Acos(2x)+Bsin(2x)) d) uzmiennienie stałych 12 y_s=A y_s=Ae^x y_s=Acos(x)+Bsin(x) y_s=Ax²+Bx+C y_s=x²(Ax+B)

Szymon: w 2 ) wyszedłem na coś takiego (moje oznaczenia ):

	1		1		1
z,−		*		=−
	y		x		x

	1		1
z,−z *		=1
	x		x

	1
z,=−		(1+z}
	x

dz		1
	=−		dx
1+z		x

	1
ln|z|=ln|c*		|
	x

	C
z=
	x

	1		1		x
z=		=>y=		=		?
	y		z		C

Szymon: Odnośnie 4a) y^,+ytgx=0

dy
	=−ytgx
dx

	dy
∫		=−∫tgxdx
	y

ln|y|=ln|cosx|+ln|c| y=C cosx Uzmienniam stałą y^,=C^,(x)cosx−C(x)sinx Podstawiam :

	sinx		1
C,(x)cosx−C(x)sinx+C(x)cosx *		=
	cosx		cosx

	1
C,(x)cosx=
	cosx

	1
C,(x)=
	cos2x

	1
C(x)=∫		dx
	cos2x

Podstawienie uniwersalne?

J:

	1
(tgx)' =
	cos2x

Mariusz: Lepiej przez części z wykorzystaniem jedynki trygonometrycznej

	dx		cos2(x)+sin2(x)		sin(x)
∫		=∫		dx=∫dx+∫sin(x)		dx
	cos2(x)		cos2(x)		cos2(x)

	sin(x)		cos(x)
∫dx+		−∫		dx
	cos(x)		cos(x)

	sin(x)
∫dx+		−∫dx
	cos(x)

	sin(x)
=
	cos(x)

J: przecież to jest całka elementarna ... przez jakie części ... po co ?

Szymon: Faktycznie J ,dzięki za dotychczasową pomoc,Tobie też Mariusz PS.Za dużo na dzisiaj tego i już nie myśle...

Szymon: 1) 2) 3) i 4a) już jest okej ?

Mariusz: 8 xy''−y'=0 u=y' u'=y'' xu'−u=0 xu'=u

u'		1
	=
u		x

du		dx
	=
u		x

ln|u|=ln|x|+C u(x)=C₁x y'=C₁x

	C1
y=		x2+C2
	2

9 y²y''=y' y'=u(y) y''=u'(y)y' y''=u'u y²u'u=u y²u'=1

	1
u'=
	y2

	dy
du=
	y2

	1
u=−		+C1
	y

	1
y'=C1−
	y

	C1y−1
y'=
	y

ydy
	=dx
C1y−1

1	C1y−1+1
		dy=dx
C1	C1y−1

1		1	C1
	(1+			)dy=dx
C1		C1	C1y−1

1		1
	y+		ln|C1y−1|=x+C2
C1		C12

10) y''=3y² y'=u(y) y''=u'(y)y' y''=u'u u'u=3y² 2uu'=6y² u²=2y³+C₁ u=±√2y³+C₁ y'=√2y³+C₁

dy
	=dx
√2y3+C1

Tak jak myślałem masz całkę eliptyczną Możesz próbować rozwinąć w szereg z dwumianu Newtona albo całkować tak jak u Fichtenholza

Szymon: Jeszcze pytanie mam , wyznacznik Wrońskiego moge stosować do każdego równania drugiego rzędu niejednorodnego? To działa tak samo jakbym stworzył układ równań z I i II pochodną?

Mariusz: J: Ta widać że całkujesz po amerykańskiemu Po to aby nie pamiętać tylu pochodnych

J: Mariusz ...pewnie całkę: ∫x³dx też byś całkował przez podstawienie: x² = t

Mariusz: każdego liniowego Musisz rozwiązać układ równań Jeśli robisz to Cramerem to wyznacznik Wrońskiego jest niezbędny Jeśli rozwiązujesz inaczej to wyznacznik Wrońskiego jest przydatny do sprawdzania liniowej niezależności całek szczególnych równania jednorodnego

Szymon: Mariusz nie rozumiem do czego pijesz ....

	x4
∫x3dx=		+C w pamięci
	4

lub jak mniemasz .. t=x² dt=2xdx|:2 xdx=0,5dt

	1		1		t2		x4
∫x3dx=∫x*x2 dx= ∫t*0,5 dt=0,5∫t dt=		*		t2+C=		+C=		+C
	2		2		4		4

Wyszło? Wyszło ]

J: To ja napisałem do Mariusza .... nie ma powodu, aby całki elementarne liczyć jakimiś metodami ( choć jak widać można )

Szymon: Znaczy się J. Zacytowałeś Mariusza.Już ogarniam

Szymon: To poprostu przez roztargnienie, doszukuje sie pułapek i trudnych przykładów Jutro bedzie już lepiej ,jak odpoczne, dzięki za pomoc! Swoją drogą, J wykonujesz tutaj super pracę,jeszcze raz dzięki ! Mariusz też mi pomogłeś

J:

	1
Ot , co ... ∫		dx ... to całka pamięciowa
	cos2x

Mariusz: Szymon tam gdzie możesz przewidywać podałem całki szczególne jakie należy przewidywać Ale uzmiennianie stałych działa na wszystkie równania liniowe niejednorodne Równania o stałych współczynnikach są dość łatwe Jeśli mamy zmienne współczynniki to możesz próbować znaleźć całkę szczególną i obniżyć rząd równania Niektóre równania np Eulera możesz sprowadzić do równania o stałych współczynnikach (dla Eulera jest to podstawienie t=e^x) Możesz całkować szeregiem ale wtedy możesz mieć problem z równaniem różnicowym

Szymon: Niestety do matematycznych takich "pojęć" nie mam pamięci

Szymon: Dziękuje za radę ,troche zaniedbałem równiania różniczkowe i może sie to na mnie zemścić ... najgorzej początek ,później jakoś "leci" ...

Mariusz: Tylko po co obciążać pamięć ale ostatnio jest moda na całkowanie po amerykańskiemu gdzie na siłę omijają całkowanie przez części

Mariusz: Mam dla ciebie kilka równań xy''−y'−4x³y=0 (1+x²)y''+xy'+y=0 x²(1−x²)y''+2(x−x³)y'−2y=0 y''−y'+e^4xy=0 2xy''+y'+xy=0 x²y''−2xy'+(x²+2)y=0 x²y''−4xy'+(6−x²)y=0 (1+x²)y''+4xy'+2y=0 x²y''+2x²y'+(x²−2)y=0 xy''+y'+xy=0 x²y''+yln²(x)=0 (2t+1)x''+4tx'−4x=0

	1
yw''+(1−y)w'+		yw=0
	4

2y''+xy'−2y=0 (1−x²)y''−xy'+9y=0

	1		1
y''+(−		x2−x+		)y=0
	4		2