udowodnij Kacper: Próbowałem cały wieczór i nic... udowodnij że liczba 999993¹⁹⁹⁹ − 555557¹⁹⁹⁷ jesxt podzielna przez 5 juz widziałem tutuaj to zadanie ale niestety nie zrozumiałem odpowedzi

5-latek: poszukaj . Wczoraj to Eve tlumaczyla kolezance

Kacper: no włanie widzialem ale nie rozumiem....a nie chce tylko przepisac do zesztu

Eve: żeby liczba była podzielna przez 5 musi mieć w "końcówce" 0 lub 5 szukamy jedności potęg poszczególnych liczb

Kacper: ale to moment...bo ty to tak dziwnie wczoraj rozpisałaś i nie moge zrozumieć o co chodzi

Eve: ok, czekam

Kacper: dlaczego tam pisze: "cyfry jedności potęgi 3: 3,9,7,1"

Eve: 3¹=3 3²=9 3³=27 3⁴=81 3⁵=243 i się powtarzają

Eve: pytaj dalej, ja to widzę i wiem, tylko ciężko symbolicznie zapisać, bo to taki nieformalny dowód, ale wystarczy

Kacper: a bo to były skróty xD dobra łapie...a bedzie problem żebyś mi to tutaj jeszcze raz rozpisała prosze....chce sie tego nauczyć bo mam dużo zadań tego typu...jak nie bede czegoś rozumiał to napisze cnie...jeśli to oczywiście nie problem

Eve: cyfry jedności potęgi 3: 3,9,7,1 − 1999:4=499,... zatem na ostatnim miejscu będzie 2 −−−−−−−−−−−II−− − 9: 9,1 − 1999:2=999,... −−−−−−−II−−−−−−−−−−−− 1 idąc tym samym tropem dla drugiej liczby mamy .......12 −.......57 =......55 co daje liczbe podzielną przez 5 mówisz, masz

Eve: i mam błęda zamiast 2 ma być 3 na ostatnim miejscu w potęgach 3

Kacper: moment.... ta druga linika...co to jest? xD dzisiaj cos mnie przytrzymało i nic cały dzień nie ogarniam...sory

Eve: w gruncie rzeczy niepotrzebna, odpuść za daleko wczoraj pojechałam, za dobrze chciałam

Kacper: czyli jak w końcu to ma być xD lepiej jakbyś na kartce napisała i mi wysłała zdj np na maila....jeśli ci to nie przeszkadza oczywiście jeśli nie chcesz to spk bedziemy dalej tutaj mi to tłumaczyć xDDD

Kacper: ehhh przestraszyła sie trudno....a ja dalej nie rozumiem (

Eve: zapisz tylko pierwszą linijkę na kartce mam to samo

Eve: ej, nie potrafię działać z prędkością światła

Kacper: okej przepraszam xD tylko pierwszą a do drugiej liczby

Eta: Mogę się wtrącić?

Kacper: wszelkie sugestie mile wildziane

Eve: inaczej: potęgi trójki mają w jednościach cyfry: 3, 9, 7, 1, czyli powtarzają się czwórkami dlatego 1999 :4 i otrzymujemy 499 grup₄ i jeszcze jedno miejsce, zatem w rzędzie jedności potęgi 999993¹⁹⁹⁹ będzie cyfra 3 spróbuj to rozumowanie przeprowadzić dla drugiej potęgi

panpawel: Z kongruencji pyka. Nie chce mi się pisać

Eve: kongruencji nie pamiętam, sorki

Kacper: moment a jak to sie ma do dzielenia przez 5

panpawel: wybaczam

Eta: Jaka jest ostatnia cyfra liczby : 999993¹⁹⁹⁹ sprawdzamy: 3¹= 3 3²= 9 3³= 2 7 3⁴= 8 1 3⁵=... 3 3⁶= ... 9 3⁷= ....7 3⁸= ... 1 i tak co 4 takie sekwencje , to 1999:4= 499 sekwencje +3reszta zatem taka liczba kończy się ..... 7 teraz sam: jaka jest ostatnia cyfra liczby 555557¹⁹⁹⁷ .......... podaj

Kacper: jesus nienawidze takich zadań

panpawel: poczytaj o konguencjach a wszystko będzie proste i do zrobienia w <1min

Kacper: i tu bedzie od 7¹

Kacper: paweł to napisz cnie xDD

Eta: ładne zadania

Eta: Dobra, spadam, bo tłoku nie lubię

Eve: cyfry jedności to: 7,9,3,1, i powtórka, więc masz to samo, co 4 sekwencje ( jak to ładnie Eta nazwała)

panpawel: Zrobię, jak ktoś wstawi tutaj symbol przystawania, co bym mógł sobie skopiować

Eve: Eta też lubię je bardzo

Saizou : masz w innych

Eve: ≡

Eta: ≡

Kacper: bedzie7¹=7 7²=49 7³ = 343 7⁴=2401 7⁵=...& itd

Kacper: tak? kurde głupie zadaniexDD

Eta: i dzielisz 1997:4= 499 sekwencje + 1 reszta czyli ta liczba kończy się ......

Kacper: 9

Kacper: a nie

Kacper: 7 cnie?

Eta: 7 ! bo na pierwszym miejscu 9 by się kończyła gdybyś miał resztę 2

Eta: pięknie teraz .... 7 − ..... 7= ......0 zatem ........ jest ...

panpawel: Liczyłem, że nikt nie wstawi, ale no dobra: 999993≡3 (mod5) {999993}²≡4≡−1 (mod5) Zatem {999993}¹⁹⁹⁹≡{−1}¹⁹⁹⁹≡−1 (mod5) 555557≡2 (mod5) {555557}²≡4≡−1 (mod5) Ponownie {555557}¹⁹⁹⁷≡{−1}¹⁹⁹⁷≡−1 (mod5) {999993}¹⁹⁹⁹−{555557}¹⁹⁹⁷≡−1−(−1)≡0 (mod5) Q.E.D. Życzę miłego wieczoru.

Eta: To teraz takie zadanie: Jaka jest ostatnia cyfra liczby : 2²⁰¹⁵

Eta: Miłego pan...

panpawel: heh i wszystko zepsułem 999993²≡4≡−1 (mod5) Zatem 999993¹⁹⁹⁹≡−1¹⁹⁹⁹≡−1 (mod5) 555557≡2 (mod5) 555557²≡4≡−1 (mod5) Ponownie 555557¹⁹⁹⁷≡−1¹⁹⁹⁷≡−1 (mod5) 999993¹⁹⁹⁹−555557¹⁹⁹⁷≡−1−(−1)≡0 (mod5)

Kacper: czekaj na kartce policze i napisze wynik

Kacper: ej paweł to które jest dobrze xDD

Kacper: 2 ? do tego zadania od Etna

panpawel: jedno i drugie ale w pierwszym niepotrzebnie dałem nawiasy {}

Kacper: okej wielkie dzieki wam wszystkim a pomoze ktoś z jescze jednym zadaniem tlyko inna tematyka

panpawel: Jak inna to z chęcią

Eve: tak, 2

panpawel: Żart, idę sobie

Eta: @Kacper odp do zad. z 21:25 ostatnia cyfra to 8

Kacper: jakiś kościu widziałem że tez takie miał ale nikt nie udzielił mu pełnej odpowidzi...a mam to samo i jeszce pare innych ale nie ma jak ich zapisać bo to są ciągi geometryczne i no xD nie umiem to

Kacper: https://matematykaszkolna.pl/forum/275625.html tutuaj jest

Kacper: dokończenie potrzebuje bo akurat umiem tyle ile jest w odp xDDD

Eve: Eta zajrzyj tu proszę https://matematykaszkolna.pl/forum/275623.html

Kacper: co jest xD

Eve: to do Ety, sorki

Saizou : można też tak NWD(5,999993)=1=NWD(555557,5) zatem z MTF 999993⁴≡1 mod5 999993¹⁹⁹⁹≡(999993⁴)⁴⁹⁹*999993³≡999993³≡(999990+3)³≡3³≡27≡2 555557⁴≡1 mod5 55557¹⁹⁹⁷≡((555557)⁴)⁴⁹⁹*555557≡555557≡(55555+2)≡2 mod5 zatem 999993¹⁹⁹⁹−555557¹⁹⁹⁷≡2−2≡0 mod5 a z tego wniosek że 5l 999993¹⁹⁹⁹−555557¹⁹⁹⁷

Kacper: spk spk....pomożesz w ciągach geometrycznych albo takich dziwnych ułamkach...tylko to na miala bo za dużo pisania....chyba że tu wolisz to sie poświęce i napisze xD

Kacper: https://matematykaszkolna.pl/forum/275625.html weź ktoś to dokończ prosze

panpawel: Saizou