wielomian mat!: 2x³+3x²+3x+1=0

Eve:

	1
pierwiastkiem jest −
	2

podziel

mat!: Prosze o pomoc dzielniki wyrazu wolnego sie nie sprawdzaja

mat!: A mam tak zgadywac ze to np −1/2

Janek191:

	1
Sprawdzają się : − 1 : 2 = −
	2

mat!: Jak do tego dojsc jak to zrobić, obliczyć

Peggy Brown: https://matematykaszkolna.pl/strona/107.html lub https://matematykaszkolna.pl/strona/1401.html albo zgadywać w takich prostych przykładach

Janek191: Tw. Jeżeli wielomian W(x) = a₀ + a₁ x + a₂ x² + ... + a_n xⁿ o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek wymierny w postaci ułamka nieskracalnego U{p}[q} , to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a₀, a q jest dzielnikiem wyrazu a_n. U nas a₀ = 1, a a_n = 2 Dzielniki a₀ to −1 i 1 , a dzielniki a_n to − 1, 1, − 2, 2

mat!: Przy dzieleniu wyszla reszta

mat!: Wychodzi reszta

Janek191: To nie umiesz dzielić ( 2 x³ + 3 x² + 3 x + 1 ) : ( x + ¹₂) = 2 x² + 2 x + 2

mat!: Ale dla czego 1/2

mat!: Ciągle nie wiem skad jest 1/2

Janek191: Bo r = − ¹₂ jest pierwiastkiem, więc dzielimy przez x − r = x − ( −¹₂} = x +¹₂

Janek191:

	−1		−1		−1
2*(		)3 + 3*(		)2 + 3*(		) + 1 =
	2		2		2

	1		3		3
= −		+		−		+ 1 = 0
	4		4		2

mat!: Skad wiecie ze −1/2 to pierwiastek

Janek191: To Ci sprawdziłem o 17.02

	p		1		1
Z napisanego wyżej tw. wynika, ze ułamki		, to : −		lub		.
	q		2		2

	1
Wstawiam −		do równania i sprawdzam , czy zachodzi równość
	2

Janek191: To Ci sprawdziłem o 17.02

	p		1		1
Z napisanego wyżej tw. wynika, ze ułamki		, to : −		lub		.
	q		2		2

	1
Wstawiam −		do równania i sprawdzam , czy zachodzi równość
	2

Janek191: Kapujesz już, czy jeszcze nie ?

mat!: Nie rozumiem co. Co to p co to q jak to sprawdzasz ze to jest taki pierwiastek

Janek191: Od początku: 2 x³ + 3 x²+ 3 x + 1 = 0 czyli mamy wielomian W(x) = 1 + 3 x + 3 x² + 2x ³ zatem a₀ = 1 ( wyraz wolny) a_n = a₃ = 2 Z tw. napisanego wyżej wynika, że jeżeli ten wielomian o współczynnikach całkowitych ( 1 , 3, 3, 2 ) ma pierwiastek będący ułamkiem nieskracalnym

	p
( zapiszmy go		) , to wtedy p musi być dzielnikiem wyrazu wolnego a0 = 1
	q

a q dzielnikiem wyrazu przy najwyższej potędze a₃ = 2 zatem p może się równać: − 1 lub 1 ( dzielniki jedynki ) q może się równać : − 1, 1, − 2 , 2

	p		1		1
Tworzymy ułamki		: czyli −		,		( nie będące liczbami całkowitymi )
	g		2		2

i sprawdzamy, czy któryś z nich jest pierwiastkiem wielomianu W(x) − czyli

	1		1
sprawdzamy czy W( −		) = 0 lub W(		) = 0
	2		2

Patrz godz. 17.02

	1
Wyszło,że ułamek −		jest pierwiastkiem wielomianu czyli również
	2

równania W(x) = 0

	1
r = −		− jeden z pierwiastków.
	2

Teraz korzystamy z tw. Bezout. Wykonujemy dzielenie : W(x) : ( x − r) Otrzymaliśmy wynik − patrz 16.54 2 x² + 2 x + 2 = 0 / : 2 x² + x + 1 = 0 Δ = 1 − 4*1*1 = − 3 < 0 − brak pierwiastków rzeczywistych, więc to wyjściowe

	1
równanie ma tylko jeden pierwiastek wymierny równy ( −		}
	2

Janek191: I co ?

Metis: Janku 274433