Kombinatoryka Frost: Rozważamy równanie x+y+z=10. Jego rozwiązaniami są uporządkowane trójki liczb. Ile jest takich rozwiązań, które składają się z trzech liczb naturalnych?

Frost: Nie wiem co rozumieć przez: uporządkowane trójki liczb? 0 też jest liczbą naturalną?

Eve: tzn, że x=1, y=2, z=3 to liczba jest tylko 1! : 123 0∊N

Mila: 1) Ważny porządek (kolejność) 2)0∊N

10+3−1 3−1		12 2		11*12
	=		=		=66
				2

Frost: I kompletnie nie rozumiem tego symbolu. Jest jakiś wzór na obliczanie tego typu zadań? czyli jak rozwiązaniem są liczby np. 1+1+8=10 x=1 y=1 z=8 to jest tylko jedno takie rozwiązanie a nie 3!?

Mila: Problem jest równoważny z obliczeniem na ile sposobów możesz przedstawic liczbe 10 w postaci sumy 3 liczb naturalnych ( albo na ile sposobów możesz rozmieścić 10 identycznych kul w trzech ponumerowanych szufladach) Możesz wypisać ( sposób żmudny ale spróbuj) Albo skorzystać z wzoru na kombinacje z powtórzeniami. x₁+x₂+x₃=10, x_i∊N Wzór

n+k−1 k−1		n+k−1 n
	=

n=10 k=3⇔

10+3−1 3−1		12 2
	=

Wyjaśnienie obrazowe masz przedstawione w linku : PW https://matematykaszkolna.pl/forum/204660.html

Frost: to drugie zdanie które napisałem jest nieprawdziwe. Zrobiłem to zadanie ale żmudną metodą a widzę, że Mila napisała praktycznie gotowy wzór i nie wiem skąd się wziął

Frost: Okey dzięki postaram się zrozumieć

Mila: Tu masz też zadanie na zastosowanie tego wzoru: https://matematykaszkolna.pl/forum/273318.html

Frost: Przeczytałem i zrozumiałem. następne zadanie brzmiało tak: Ile jest rozwiązań równania x+y+z=10 które składają się z trzech liczb naturalnych dodatnich? czyli rozmieszczamy 10 kulek do 3 pudełek które żadne nie jest puste albo 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=10 Umieszczamy 2 przecinki w miejsce 9 plusów. sprawdzamy ile jest możliwości

9 2
	= 36

Mila: Obrazowo− poprawnie. OO|OOOO|OOOO masz 10 kul, wstawiasz 2 przegrody ( 9 miejsc) i masz 3 podzbiory. x=2 y=4 z=4

9 2
	wszystkich możliwości

Albo tak: (x+1)+(y+1)+(z+1)=10⇔ x+y+z=7

7+3−1 3−1		9 2
	=