dziękuję :): Na ile sposobów można umieścić 16 jednakowych piłek w czterech różnych pudełkach? a) N(19, 3) b) (16 + 3)! c) 16! d) 4! 16!

:): proszę o pomoc

Basia: na poziomie szkoły średniej czy matematyki dyskretnej na studiach ?

:): matematyki dyskretnej na studiach

Basia: pamiętam tylko tyle, że jeżeli żadne pudełko nie może być puste to będą to liczby Stirlinga drugiego rodzaju i to byłoby {16 nad 4}, ale tu nie ma takiej odpowiedzi więc zapewne nie jest to takie proste; Mila pomoże jak się pojawi

Vizer: Tu masz podobne zadanie, z fajnym wyjaśnieniem. http://www.matematyka.pl/269704.htm

Janek191: N = 4¹⁶ = 4 294 967 296

Basia: Janek191 zajrzyj do treści zadania i mojego pytania 14:46 tak jak napisałeś jest ⇔ i piłki, i pudełka są rozróżnialne (tak robicie w szkole) tutaj piłki są nierozróżnialne i to jest zupełnie inny problem

PW: Wkładanie 16 piłek do czterech różnych (rozróżnialnych) pudełek to inaczej przedstawienie liczby 16 w postaci sumy czterech liczb naturalnych (z uwzględnieniem kolejności składników), z których co najmniej jedna nie jest zerem. Mówiąc inaczej: liczymy wszystkie 4−elementowe ciągi liczb naturalnych, w których suma elemenów jest równa 16. Gdyby wszystkie elementy były dodatnie, to policzenie liczby takich ciągów nie sprawia trudności: (1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1)=16. Wstawiając w 3 miejscach "," zamiast "+" otrzymamy ciąg 4−elementowy o sumie 16, np. 1+1+1,1+1+1+1,1+1+1+1+1+1,1+1+1 oznacza, że utworzyliśmy ciąg (3,4,6,3). Ponieważ jest

	15 3
(1)		= 13•7•5 = 455

sposobów wyboru 3 spośród 15 znaków "+", tyle jest możliwości rozłożenia 16 piłek do 4 pudełek przy założeniu, że żadne pudełko nie pozostanie puste. Takiego założenia w zadaniu nie ma, więc trzeba uwzględnić również:

	4 3		15 2
(2)		•		= 4•105= 420

ciągów o 3 elementach dodatnich i jednym zerowym (pierwszy czynnik to liczba sposobów wyboru 3 miejsc spośród 4, a drugi − liczba sposobów utworzenia 3−elementowych ciągów o sumie 16 i wyrazach dodatnich)

	4 2		15 1
(3)		•		= 6•15= 90

ciągów o 2 elementach dodatnich i dwóch zerowych oraz

	4 1		15 0
(4)		•		= 4•1 = 4

ciągi o trzech wyrazach zerowych i jednym równym 16.

	19 3
Zsumowanie liczb (1), (2), (3) i (4) daje 969, co jak łatwo sprawdzić jest równe		.

Mila: Zadanie jest równoważne z liczbą rozwiązań równania w zbiorze liczb nieujemnych całkowitych. 1) x₁+x₂+x₃+x₄=16

16+4−1 4−1		19 3
	=		jak wytłumaczył PW

2) Liczba rozwiązań dodatnich : ( żadne pudełko nie jest puste)⇔ x_i∊N+

16−1 4−1		15 3
	=		nie ma dystraktora o takiej wartości.

Zatem odp. A

PW: Ponieważ mój sposób był "metodą babci pod piecem" (babcia ma dużo czasu, to sobie powolutku policzy):

	15 3		15 2		15 1
1•		+ 4•		+ 6•		+ 4•{15}{0},

a Mila podała gotowy wzór

	19 3
		,

wypada pokazać rozumowanie prowadzące wprost do tego wzoru. Można pomyśleć tak: Do 16 białych piłek umieszczonych w czwartym pojemniku dokładamy 3 czerwone, mieszamy piłki i nie oglądając wyciągamy. 1. Wyciągane piłki wrzucamy do pojemnika nr 1 aż napotkamy piłkę czerwoną. 2. Dalej wyciągamy piłki i wrzucamy do pojemnika nr 2 aż napotkamy drugą piłkę czerwoną. 3. Dalej wyciągamy piłki i wrzucamy do pojemnika nr 3 aż napotkamy trzecią piłkę czerwoną. 4. W pojemniku nr 4 pozostają piłki, których nie wylosowaliśmy (w szczególnym przypadku może ich nie być wcale). W ten sposób wszystkie białe piłki zostały umieszczone w jednym, dwóch, trzech lub czterech pojemnikach. Liczby białych piłek w poszczególnych pojemnikach wahają się od 0 do 16, w zależności od tego, w których losowaniach wypadały piłki czerwone. Sposobów losowania 3 elementów spośród 19 jest

	16+3 3
		,

a więc na tyle sposobów można było rozmieścić 16 białych piłek w czterech pojemnikach. Kto nie lubi czerwonych, może je wyrzucić − swoją rolę "przecinków" już spełniły. Można tę liczbę zapisać w postaci

	16+4−1 4−1

− widać wtedy liczbę piłek 16 i liczbę pojemników 4 Rozumowanie jest o tyle lepsze, że na jego podstawie odpowiadamy bez wątpliwości:

	n+k−1 k−1
n nierozróżnialnych elementów można rozmieścić w k pojemnikach na		sposobów.

I w tym momencie doznałem olśnienia − już wiem, dlaczego w pewnych szkołach są klasy, które mają 6 godzin wf i 2 godziny matematyki. Wystarczy pobawić się piłkami, żeby pojąć trudne problemy matematyczne, takie jak znalezienie liczby rozwiązań równania x₁+x₂+x₃+...+x_n=k.

Basia: Świetny sposób PW.

Mila: Pięknie ! Tylko zmiana: x₁+x₂+...+x_k=n Niewiadomych tyle, ile pojemników.

PW: Mila, dziękuję za poprawkę (przestawiłem n i k, winię za to późną godzinę). Basiu, dziękuję za pochwałę, zawsze to miło, gdy fachowcy zauważą wysiłki

Mila:

Aero: witam Mógłby mi ktoś wytłumaczyć skąd się wziął wynik 3 w x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ = 3

Aero: w odniesieniu do wypowiedzi użytkowniczki mila Rozwiązać równanie: x1+x2+x3+x4+x5=4 w zbiorze liczb całkowitych nieujemnych jest równoważne z problemem na ile sposobów możesz zapisać liczbę 4 w postaci sumy 5 składników naturalnych , z tym, że x1 nie może być równe 0. W takim razie x1≥1 i mamy równanie: x1+x2+x3+x4+x5=3 I tak sytuację :4=1+1+2+0+0 Można to obrazowo przedstawić, że masz 5 szuflad i do pierwszej szuflady włożono jedną kulę, do drugiej 1 kulę do trzeciej 2 kule do czwartej i piątej nie włożono kul (0 kul). Kule są nierozróżnialne (identyczne). gdzie n=3, k=5⇔

	3+5−1 5−1

Aero: tresc zadania Oblicz, ile jest liczb 5−cyfrowych o sumie cyfr 4.

Mila: Aero , jaką masz treść zadania, podane masz ograniczenie co x₁?

Aero: ograniczenie jest takie,że pierwsza liczba nie może być 0

Aero: bardzo bym prosił o dokładne wytłumaczenie tego co tam zaszło ( nie boje sie tego powiedziec wytłumaczenie jak dla idioty ) zaczynam dopiero uczyć się kombinatoryki a ten wzór wydaje mi się bardzo przydatny,dlatego usiłuje go zrozumieć

Mila: W takim razie dobrze. Do pierwszej szuflady wrzuciłeś jedna kulę, to zostały 3 i masz równanie : x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=3 oraz pewność, że otrzymasz liczbę 4 cyfrową cokolwiek wpadnie ( lub nie) do pierwszej szuflady Liczba rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych nieujemnych:

3+5−1 5−1		7 4		7 3		1
	=		=		=		*7*6*5=35
						6

Można to zresztą na piechotę policzyć, ale zawsze można coś pominąć. 13 000 4 liczby 31 000 4 12 100 12 21 100 6 11 200 4 22 000 4 40 000 1 ============= 35

Aero: Myślę,że zrozumiałem,nawet jeśli nie to na piechotę dam rade. Dziękuje za poświęcony czas . Dobranoc

Mila: Ten wzór to kombinacje z powtórzeniami. A={a,b,c} masz dany zbiór 3 elementów . Liczba kombinacji 2−elementowych z powtórzeniami zbioru 4−elementowego A = {a, b, c} {a,a}, {b,b},{c,c}, {a,b},{a,c},{b,c}

2+3−1 3−1		4 2
	=		=6

Ważne abyś wiedział w jakich sytuacjach to zastosować. Dotyczy rozmieszczenia n jednakowych obiektów( jednakowe kule) w k rozróżnialnych kategoriach (różne szuflady). Inaczej można rozwiązać zadanie ile jest liczb 5− cyfrowych o sumie cyfr 7 i żadna nie jest zerem. x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=7 Masz 7 jednakowych kul Aby rozmieścić je tak, aby w każdej szufladzie znajdowała co najmniej jedna kula trzeba ustawić 4 przegrody. Na te przegrody masz do wyboru 6 miejsc

6 4		6 2		1
	=		=		*6*5=15
				2

tu masz zwykłe kombinacje. Ustaliłeś ile rozwiązań ma równanie w zbiorze liczb całkowitych dodatnich. ================================= Możesz postąpić jak poprzednio x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=7 gzie x_i≥1 i x_i∊N 7−5=2 wrzucamy po jednej kuli do każdej szuflady Teraz szukamy liczby rozwiązan równania x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=2 w zbiorze C∪{0}

2+5−1 5−1		6 4
	=		=15

Yumegari: Na ile sposobów można umieścić w 3 szufladach 7 bluzek?