Zbadaj przebieg zmienności funkcji f(x)= xe^{-9x} Ordinarygirl: Mam problem z takim przykładem: Zbadaj przebieg zmienności funkcji f(x)= xe^−9x Kompletnie nie wiem jak do tego się zabrać. Znaczy dziedzinę znam: x należy do R Nie wiem natomiast jak poradzić sobie dalej

john2: Następnie znajdź punkty przecięcia wykresu z osiami. https://www.google.pl/search?q=zbadaj+przebieg+zmiennosci+funkcji&ie=utf-8&oe=utf-8&gws_rd=cr&ei=Zj6tVIKdDM_gaPLigPAI#q=badanie+przebiegu+zmienno%C5%9Bci+funkcji

Dawid: I co teraz chcesz liczyć ?

Ordinarygirl: okej blokuje się w sumie na rozwiązaniach, bo zaczęłam tak szukałam przecięć z osią OX czyli f(x)=0 ex^−9x=0 i nie bardzo wiem jak wyliczyć stąd x

john2: x * e^−9x = 0 to będzie prawdą, gdy x = 0 lub e^−9x = 0 e^−9x = 0 to nigdy nie będzie prawdą więc x = 0

john2: Czyli punkt przecięcia z osią OX to (0,0), automatycznie jest to też punkt (jedyny możliwy) przecięcią z OY

john2: Teraz zbadaj parzystość, nieparzystość, okresowość.

Ordinarygirl: o dzięki wielkie to teraz granicy na przedziałach? granicę lim → x−∞ i limx→ 1 ? czyli mógłbys sprawdzić czy dobrze limx→−∞ z tym mam problem lim x→1 = e⁻¹ ? i tak samo nie wiem czy podałam dobrą dziedzinę czy na pewno x nalezy do R czy może x należy do R z pominięciem 1?

john2: Dziedzina to R, więc nie ma asymptot pionowych. Do asymptot poziomych potrzebujemy liczb a i b do wzoru y = ax + b licz:

	f(x)
limx−>±∞
	x

wynik to a lim_x−>±∞ ( f(x) − a * x) wynik to b

john2: miałem na myśli do asymptot ukośnych

Ordinarygirl: nie bardzo wiem jak to policzyć w pierwszym wyszło mi e^∞

john2: Wzór funkcji to f(x) = x * e^−9x ? bo jedna z tych granic będzie ciężka do policzenia.

Ordinarygirl: tak, dokładnie taki wzór i jak skróciłam z x to została sama e^−9x czyli e^−∞ i dalej stoję w miejscu a z drugą granicą to już w ogóle czarna magia

john2: musisz pierwszy przypadek podzielić na x −> +∞ i x−>−∞

	xe−9x		1		1
limx−>+∞		= limx−>+∞ e−9x = limx−>+∞ (		)9x = [		] = 0
	x		e		e∞

	xe−9x		1		1
limx−>−∞		= limx−>−∞ e−9x = limx−>−∞ (		)9x = [		]
	x		e		e−∞

= ∞ Więc x −> −∞ odpada bo ma wyjść liczba. Teraz mam problem z granicą przy szukaniu b lim_x−>+∞ xe^−9x

john2: Nie umiem tej granicy obliczyć. Więc po prostu pomińmy ten krok. Wolfram wprawdzie podaje, że to zero, czyli mamy asymptotę poziomą y = 0 w + nieskończoności http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+x-%3Einfinity+xe^%28-9x%29+ ale jak do tego dojść, nie wiem. Przejdź do monotoniczności i ekstremów.

john2: Jednak udało mi się, mój ostatni post tam: https://matematykaszkolna.pl/forum/272870.html

Ordinarygirl: a co oznacza to H? de Hospital? i wychodzi jak wynik, że ukośne asymtoty to 0 i 0?

john2: tak, de l'Hospital wyszło nam a = 0 i b = 0 ale tylko przy x −>+∞ więc równanie naszej asymptoty ukośnej (a właściwie poziomej, bo a = 0) jest y = 0 przy x −>+∞

Ordinarygirl: ok, liczę teraz pochodną z f(x) i zatrzymałam się na momencie: f'(x)=e^−9x+x* i tu nie wiem jak policzyć pochodna z e^−9x

john2: Skoro (e^x)' = e^x Co można też zapisać w ten sposób: (e^x)' = e^x * (x)' = e^x * 1 = e^x Tak u nas: (e^−9x) = e^−9x * (−9x)' = ...

Ordinarygirl: Ok, dziękuję. To w takim razie wyszło mi: f'(x)=e^−9x+x*e^−9x i teraz nie wiem jak policzyć dalej to

john2: Źle: f'(x) = (x)' * e^−9x + x * (e^−9x)' = e^−9x + x * e^−9x * (−9x)' = = e^−9x + x * e^−9x * (−9) = Potem sprawdź, czy dziedzina pochodnej jest taka sama, jak funkcji pierwotnej, przyrównaj pochodną do zera, podaj rozwiązania. Parzystość, nieparzystość, okresowość zrobiona?

Ordinarygirl: znaczy potem wyciągnęłabym e^−9x przed nawias i wyszły by mi miejsca zerowe x=9^−9x i to by nie spełniało i x=−1 i wtedy nie wiem jak rozpisać te warunki: f'(x)>0 f'(x)<0 f'(x)=0 nie wiem jak to logicznie zapisać

Ordinarygirl: no nie zrobiona, bo właśnie nie mam pojęcia jak zrobić wydaje mi się, że dziedzina jest taka sama

Ordinarygirl: jak przyrównałam do 0 wyszło mi, że e^−9x=0 lub x=0, dobrze?

john2: f'(x) = 0 e^−9x − 9xe^−9x = 0 e^−9x(1 − 9x) = 0 / możesz podzielić przez e^−9x, bo to nie jest na pewno zerem 1 − 9x = 0 To samo przy badaniu znaku pochodnej: f'(x) < 0, f'(x)>0 Możesz też w tych nierównościach dzielić przez e^−9x, bo znamy znak tego wyrażenia ( e^−9x > 0 )

john2: Parzystość: Wyznacz f(−x) (zamiast x wstawiasz −x) i zobaczy, czy wychodzi f(x), czyli nasza funkcja. Jak tak, to jest parzysta. Nieparzystość: Wyznacz −f(−x) i zobacz, czy wyjdzie f(x), jak tak to jest nieparzysta. Okresowość: Sprawdź, czy f(x + t) = f(x). Oczywiście tak nie jest.

Ordinarygirl: to x=−1/9? to wyszło mi, że f'(x)<0 to x>1/9 a f'(x)>0 x<1/9 Tylko jak to opisać tak bardziej "ładniej"

Ordinarygirl: Nigdy nie sprawdzałam okresowości, więc ciężko mi to rozpisać

Ordinarygirl: Parzystość: f(−x)=−x*e^9x Nieparzystość: nie wiem jak to rozpisać

john2: Okresowością się nie przejmuj. Zamiast x wstawiasz x + t we wzorze funkcji i zauważasz, że nie jest to to samo, co wzór funkcji. Nieparzystość: teraz przed tym całym wzorem f(−x), który Ci wyszedł, daj minus

john2:

	1
Naszym punktem podejrzanym o ekstremum, jest punkt x =
	9

	1
nie −
	9

Ordinarygirl: a reszta jest ok, bo wydaje mi się, że tam z x=−1/9 powinno być jednak bez "−" sama 1/9 możesz mi teraz napisać co dalej?

john2: Wiesz teraz jaki wniosek wyciągnąć odnośnie do monotoniczności i ekstremum?

Ordinarygirl: a to czyli wszystko już? Jeszcze może to zabrzmi dziwnie, ale mógłbyś mi napisać w jakiej kolejnośći zapisać całe to rowiązanie, żeby miało dobry wygląd: 1. Dziedzina 2. itd? bo już zgłupiałąm troche

Ordinarygirl: ach chyba jednak nie mam pojęcia odnośnie tego wniosku

john2: Tam gdzie pochodna jest dodatnia (dla x < 1/9) tam funkcja rośnie, Tam gdzie jest ujemna, tam funkcja maleje. Jeśli funkcja rośnie przed punktem podejrzanym o ekstremum (mowa o x = 1/9) a po nim funkcja maleje, to w punkcie x = 1/9 mamy ....

john2: Jeszcze daleko do końca. Pierwszy lepszy link z googla: http://www.matemaks.pl/badanie-przebiegu-zmiennosci-funkcji.php nie ma tam parzystości, ale nie szkodzi ja korzystam z tego schematu http://www.etrapez.pl/filmy/kp/schemat.pdf

Ordinarygirl: to wtedy mamy ekstremum, tak jest? To ogólnie cały ten zapis ma wyglądać tak: 1. Dziedzina 2. Przecięcie z osiami 3. Asymptota ukośna 4. Parzystość, nieparzystość, okresowość 5. monotonicznosć

Ordinarygirl: A ok, dzięki wielkie. Czyli teraz została wklęsłość i wypukłość? Tego nigdy nie rozumiałam, a spotkałam się z tym dawno temu w liceum i nie wiem na czym to polegało

john2: Mamy ekstremum, a konkretnie maksimum lokalnie. Oblicz jeszcze wartość funkcji f(x) w punkcie x = 1/9 Potem licz drugą pochodną.

john2: Wszystko robisz to samo, co w monotoniczności. Tylko tam gdzie pochodna jest dodatnia, funkcja ma kształt ∪, tam gdzie ujemna, tam ∩. Jeśli wokół rozwiązań równania f''(x) = 0 zmienia się znak drugiej pochodnej, tam mamy punkty przegięcia.

Ordinarygirl: Nie bardzo to rozumiem

Ordinarygirl: właśnie tej monotoniczności

john2: Porób prostsze przykłady. Są tu: https://matematykaszkolna.pl/strona/381.html https://matematykaszkolna.pl/strona/387.html

john2: Ja wracam za pół godziny.

Ordinarygirl: Ok, czyli co do monotoniczności to będzie tak: f'(x)<0 czyli funkcja jest malejąca w przedziale x należy (1/9;+∞) f'(x)>0 czyli funkcja jest malejąca w przedziale x należy (−∞;1/9) ?

john2: (−∞,1/9) rosnie

john2: https://krotkamatma.pl/ też jest dobrym rozwiązaniem do nauki