pochodne kyrtap: Mam znaleźć wszystkie ekstrema lokalne funkcji: f(x) = |x²−5x−6|

	⎧	x2−5x−6 dla x2−5x−6>0
f(x) =	⎨
	⎩	−(x2−5x−6) dla x2−5x−6<0

	⎧	x2−5x−6 dla x∊(−∞,−1> ∪ <6,∞)
f(x) =	⎨
	⎩	−x2 +5x +6 dla x∊(−1,6)

	⎧	2x−5 dla x∊(−∞,−1> ∪ <6,∞)
f'(x) =	⎨
	⎩	−2x+5 dla x∊(−1,6)

	1		1
f'(x) = 0 ⇔ 2x − 5 =0 ⇔ 2x = 5 /:5 ⇔ (x = 2		⋀ x∊D) ⇒ x=2
	2		2

	⎧	2 dla x∊(−∞,−1> ∪ <6,∞)
f''(x) =	⎨
	⎩	−2 dla x∊(−1,6)

jak sprawdzić teraz czy są te ekstrema

kyrtap:

Tadeusz:

kyrtap: Tadku a jak bez wykresu do tego dojść?

kyrtap:

Tadeusz: W przedziale <−1,6> f(x)=−x²+5x+6 f'(x)=−2x+5 f'(x)=0 2x=5 x=2,5 mieści się w przedziale przy przejściu przez punkt x=2,5 pochodna zmienia znak z + na − czyli max

Tadeusz: albo tak jak zrobiłeś ... drugą pochodną

kyrtap: no dobra wyliczyłem drugą pochodną

	1
i teraz f''(2		) = −2 <0 czyli maksimum lokalne właściwe tak
	2

Tadeusz: dokładnie

kyrtap: dzięki wielkie Tadku

john2: A czy jeszcze czasem funkcja ta nie ma minimów w x = −1 i x = 6 ? Na podobnej zasadzie co funkcja f(x) = |x| ma minimum w x = 0.

john2: Ktoś może potwierdzić?

J: ..oczywiście,że ma ...

kyrtap: ma

J: popatrz na wykres ... nie ma ..?

john2: Poza tym pierwsza pochodna zmienia znak w tych punktach. w x = −1 z 2x − 5 na −(2x − 5) czyli −2x + 5 w x = 6 z −(2x − 5) na 2x − 5

kyrtap: czyli są jeszcze dwa minima lokalne właściwe?

kyrtap: a jak to obliczeniowo zapisać? bo gdy liczyłem f'(x) = 0 wyszło mi tylko jedno ekstremum

J: .. w tych punktach funkcja nie jest różniczkowalna ( nie ma pochodnej ) ...

kyrtap: czyli jak to zapisać że są dwa minima?

J: zauważ,ze jezeli funkcja f(x) ma miejsce zerowe, to funcja If(x)I musi mieć minimum lokalne .. ( przecież odbijasz to, co jest pod osią OX)

kyrtap: czyli mam policzyć miejsca zerowe dla x² −5x − 6?

J: ..tak ..

kyrtap: J tak na dobrą sprawę to jest szczególny przypadek znajdywania ekstremów jeśli chodzi o funkcję z wartością bezwzględną prawda?

J: patrz wpis 13:28

kyrtap: ok wbiję to sobie do główki bardzo dziękuje

john2: Zobacz jeszcze ten wątek. https://matematykaszkolna.pl/forum/271957.html https://www.google.pl/search?q=ekstrema+warto%C5%9B%C4%87+bezwzgl%C4%99dna+site:matematyka.pisz.pl&ie=utf-8&oe=utf-8&gws_rd=cr&ei=_CmtVM_pCI2KaPD9gKgE

john2: Hmm. Teraz znalazłem taki wątek i patrząc na ostatni post Bogdana: https://matematykaszkolna.pl/forum/153710.html się zastanawiam, czy to badanie ciągłości, o którym mówi Gray, przesądza sprawę, skoro funkcji w ekstremum nie musi być ciągła.

Gray: Wtrącę się: przesądza Chodzi o to, że jeżeli pochodna w punkcie zmienia znak (tzn. na lewo od punktu jest np. dodatnia, na prawo ujemna, w samym punkcie pochodnej może nie być), to funkcja nie musi mieć w tym punkcie ekstremum. Jeżeli jest ciągła, ekstremum będzie. Tak było w tym przytoczonym poście.

Gray: Może inaczej: z faktu, że jest nieciągła, nie wynika, że nie ma ekstremum. Ogólnie, dla funkcji nieciągłych są najciekawsze przypadki: pochodna może zmieniać znak w punkcie nieciągłości a ekstremum może nie być, lub też (co ciekawsze) pochodna może nie zmieniać znaku, a ekstremum może być.

john2: Już miałem Cię szukać, Gray. Rozumiem. Faktycznie. Jeśli jest ciągła, potwierdza to, że jest tam ekstremum. Tylko gdyby wyszło, że funkcja nie jest w tym punkcie ciągła, czy moglibyśmy powiedzieć, że ekstremum nie ma w tym punkcie? Bo widać ku mojemu zdziwieniu (choć to wcale dziwne może nie jest) na rysunku Bogdana, że funkcja może mieć ekstremum tam, gdzie nie jest ciągła.

john2: Aha, ciekawe. Byłbyś może w stanie polecić jakiś podręcznik, gdzie jest ten temat gruntownie poruszony? Bo ja na na razie uczę się, zbierając strzępy informacji na ten temat z internetu i gubię się

kyrtap: podpinam się pod post johna

Gray: Niestety, nie znam żadnego podręcznika, który omawiałaby kwestię ekstremów funkcji nieciągłych i (lub) nieróżniczkowalnych. Pewnie dlatego, że nie ma żadnych ogólnych narzędzi. Jak już pisałem, dla funkcji nieciągłej w punkcie, badanie czy jest ekstremum, czy nie sprowadza się do definicji. Jakiekolwiek zachowanie się pochodnej w sąsiedztwie punktu nie mówi nic o ekstremum. Ani warunków koniecznych, ani wystarczających nie ma.

kyrtap: Gray a polecisz książkę która zwięźle omawia teorię zarówno ze szkoły średniej jaki i na studiach

Gray: Nic nowego nie napiszę. Z czystym sumieniem każdemu mogę polecić serię Gewerta, Skoczylas i spółki: http://www.gis.wroc.pl/books.htm Świetnie napisane prawie 30 tomów z różnych działów matematyki, masa przykładów, teoria + zadania (proste i bardziej ambitne). Dla wszystkich. Kiedyś standardem był Krysicki, Włodarski i Stankiewicz. Jak pojawiła się ta seria, wszystko się zmieniło Żeby było jasne, nie jestem z nimi związany w żaden sposób, nie płacą mi za reklamę, nie mieszkam i nie studiuję we Wrocławiu Odwalili kawał dobrej roboty i za to im brawo. Jeżeli chodzi o studentów matematyki i analizę, każdy powinien mieć Fichtenholza. http://ksiegarnia.pwn.pl/autor/Grigorij+M.+Fichtenholz.html Ułatwia życie. Z nowości, ostatnio pojawiły się genialne zbiory zadań z analizy (dla matematyki, ale nie tylko): http://ksiegarnia.pwn.pl/produkt/4560/zadania-z-analizy-matematycznej-cz-1.html Zadania z rozwiązaniami. Dobra rzecz. Chyba tyle.

john2: Dzięki Gray.

kyrtap: