Ekstremum funkcji. Fizyk: Czy ta funkcja posiada ekstremum? f(x)=3−³√x²

john2: nie

Blue:

	2
Nie, bo pochodna będzie wyglądać tak o ile się nie mylę : f'(x) = −
	33√x

Fizyk: ok a co z punktem x = 0 który nie należy do dziedziny pochodnej?

Gray: Czyli f'(x)>0 dla x<0; f'(x)<0 dla x>0. Wygląda więc na to, że ma ekstremum w x₀=0; jest to maksimum. Nierówność 3−³√x²=3−(³√x)²≤3, prawdziwa dla x∊R, nie pozostawia wątpliwości.

Fizyk: Wiem oczywiście o warunku konicznym istnienia ekstremum , ale pytam dlatego że kiedyś w książce widziałem taki dziwny przykład że ekstremum było w punkcie w którym pochodna się nie zerowała ale tez ten punkt nie należał do dziedziny pochodnej jednak należał do dziedziny funkcji

Fizyk: Więc jak sprawdzić czy w x = 0 jest ekstremum czy nie?

Gray: A jaki jest, w przypadku ogólnym, warunek konieczny istnienia ekstremum? Na dobrą sprawę nie ma ani koniecznego, ani wystarczającego. Poza definicją oczywiście.

Gray: Napisałem uzasadnienie o 12:59.

Fizyk: Ok dzięki Gray. Czyli chodzi o to że warunek konieczny istnienia ekstremum nie jest spełniony ale ekstremum i tak istnieje bo jest spełniony warunek wystarczający? Trochę to dla mnie nie zrozumiale.

Gray: Nie. Te wszystkie warunki o zerowaniu się lub zmianie znaku pochodnej działają tylko w przypadku funkcji różniczkowalnej na przedziale, na którym szukamy ekstremum. Tutaj funkcja nie ma pochodnej w zerze. Warunek wystarczający (zmiana znaku pochodnej) sugeruje, że może być ekstremum. Definicja maksimum oraz nierówność z 12:59 załatwia sprawę (można było w tym przypadku podeprzeć się również ciągłością funkcji f).

Fizyk: Wielkie dzięki za wyjaśnienie. Pozdrawiam.

john2: Aha...podobnie chyba jest z f(x) = |x|

Gray: Ta sama sytuacja.

john2: Jeszcze chciałem dopytać, bo chcę dobrze zrozumieć: 1) Twoja nierówność z 12:59, pokazuje, że w x = 0 funkcja osiąga również ekstremum globalne funkcji? I to oznacza, że jest tam również ekstremum lokalne? 2) Sprawdzenie ciągłości w x = 0 miałoby wyglądać tak? lim_x−>0 (3 − ³√x²) = 3 − 0 = 3 f(0) = 3 − ³√0² = 3 Jest ciągła w zerze.

Gray: Tak. Tak. Tak (lub: jest złożeniem funkcji ciągłych).

john2: Ok. Dzięki.

Janek191:

on: Janku za gorąco ci ,ze cofnąłeś się do stycznia ? odp. na pyt @Fizyka Jeśli funkcja ma ostrze, to ma ekstremum ale nie ma w tym punkcie pochodnej.