trygonometria Karolina : Jak obliczyć sin20⁰ wychodzi mi źle f(x)=sinx f'(x)=cos(x) x₀=30⁰

	√3
cos300=
	2

	1
sin300=
	2

ΔX=10⁰

	π
100=
	18

	√3		π		1
sin20o≈		*		+
	2		18		2

	√3π		1		√3π+18
sin20o≈		+		=		ale to jest źle...
	36		2		36

PW: To jak wygląda ten wzór na f(x+Δx)?

Karolina : f(x₀+Δx)≈f'(x₀)*Δx+f(x₀) Potrzebne mi to do wyliczenia zadnia

	1
jednym w pierwiastków równania 4x2−3x=		jest sin200 odszukaj pozostałe.
	2

I chce wyliczyć wartość sin20^o ale bez powodzenia..

PW:

	1
Na pewno 4x2−3x=		funkcja kwadratowa?
	2

PW: Już muszę odejść do innych bojowych czynności, ale wydaje mi się, że jeżeli jest to zadanie algebraiczne, dotyczące wielomianu, to stosowanie metod przybliżonych (nawet jeśli poprawisz Δx na ujemną) nic nie da, prędzej wzory Viete'a. I pewnie nie jest to funkcja kwadratowa − o niej wiemy wszystko.

pigor: ..., oczywiście tu Δ>0 i x≠0 (dlaczego ?), to np. ze wzorów Viete'a x*sin20^o= −2 i x+sin20^o= ³₄ ⇒ sin20^o=³₄−x i x (³₄−x)= 0 ⇒ ⇒ x=³₄ , czyli x=0,75 − szukany drugi pierwiastek . ...

daras: sin 20^o ≈ 0,342

PW: pigor, no niby formalnie masz rację, z fałszu wynika fałsz i dowód jest poprawny. Z treści zadania (jeden pierwiastek to sin20° − znajdź pozostałe) wnioskuję, że jednak wielomian jest wyższego stopnia.

Bogdan:

	x3		x5		x7
można skorzystać z: sinx = x −		+		−		+ ...
	3!		5!		7!

	π
tu x =
	9

PW: Karolina już poszła do domu, więc się nie dowiemy − chciała wyznaczyć przybliżenie liczby sin20°, czy też miała problem z wielomianem, tylko go źle przepisała.

Bogdan: Warto niekiedy kontynuować wątek, nawet jeśli wstawiający zadanie już nie jest nim zainteresowany i jest nieobecny, bo wiele osób śledzi to forum i oczekuje na wskazówki dotyczące omawianego zadania lub zagadnienia. Nasze forum jest niewątpliwie źródłem wiedzy matematycznej, szczególnie wiedzy praktycznej.

AS: A może tak Korzystam z wzoru cos(3*α) = 4*cos³(α) − 3*cos(α) Przyjmując α = 20^o , cos(α) = x mamy do rozwiążania równanie 4*x³ − 3*x − 1/2 = 0 Mając wyliczone x znajdujemuy sin(x) = √1 − x²

PW: No właśnie, przy wielomianie 3. stopnia już sens widać. Tyle, że zaczynamy rozwiązywać zadania, których treści się domyślamy.

Karolina : Nic, źle nie przepisałam to raz, dwa byłam na wykładach, trzy to jest zadanie dodatkowe, nie miałam pochodnych ale próbuję to jakoś zrobić, ale nie wychodzi i proszę o pomoc KROPKA.

Mila: Jednak radziłabym skonsultować zapis z koleżanką.

Karolina : Poprawiona wersja.

	1
4x3−3x=
	2

i pierwiastkiem jest cos20⁰

Karolina : up up

Mila: cos3α=4cos³α−3cosα równanie jest rzeczywiście spełnione dla x=cos(20^o)

	1
bo cos(60)=
	2

W takim razie :

	1
należy podzielić w(x)=4x3−3x−		przez (x−cos(20o))
	2

	1
(4x3−3x−		):((x−cos(20o))= 4x2+4xcos(20)+4cos2(20)−3 i wychodzi pewna reszta, ale
	2

jest z założenia równa 0. (sprawdź to dzielenie ) Masz równanie kwadratowe: 4x²+4xcos(20^o)+4cos²(20⁰)−3 =0 rozwiązujesz , uzależniasz rozwiązania od cos(20⁰).

Karolina : Ale nie rozumiem skąd się wziął tam cos3α ? Oczywiście wzory znam.

Mila: Może spojrzy tu BOgdan, albo PW, AS

Karolina : Bogdana wgl nie rozumiem.. Skąd ta silnia tam ? WTF ?

Mila: Jeśli podstawisz cos(20) do równania to otrzymasz :

	1
4cos3(20)−3cos(2)=cos(3*20)=cos(60o)=		zobacz wzory, z lewej strony kliknij.
	2

Mila: https://matematykaszkolna.pl/strona/1543.html

Karolina : Dziękuję, już chyba zrozumiałam. Nie potrzebnie bawiłam się w pochodne...

Bogdan: 173367

Bogdan: mówiłem o rozwinięciu sinx w szereg

Karolina : Nie miałam szeewgów więc to opcja odpada...

PW: Nareszcie dowiedzieliśmy się jak brzmi zadanie Sklejam informacja Karoliny "Poprawiona wersja.

	1
4x3−3x=
	2

i pierwiastkiem jest cos20°" (godz. 22:36) oraz "jednym z pierwiastków (...) jest odszukaj pozostałe" (godz. 13:06). Zadanie brzmi: Jednym z pierwiastków równania

	1
4x3 − 3x =
	2

jest cos20°. Odszukaj pozostałe pierwiastki. Rozwiązanie nie wymagało weryfikacji stwierdzenia "jednym z pierwiastków równania jest cos20°". Autor podał nam taką informację jako założenie. Posługując się tym założeniem mieliśmy znaleźć dwa pozostałe pierwiastki równania trzeciego stopnia. Okazało się, że są tu mądrzy ludzie, którzy zweryfikowali założenie i pokazali, że jest ono prawdziwe argumentując odpowiednią tożsamością trygonometryczną. Wcale tego nie musieliśmy robić, ale dobrze − mamy pewność, że autor zadania podał prawdziwe założenie. Prostą drogą do uzyskania odpowiedzi jest dzielenie wykonane przez Milę o 23:35 (z uwagą o zerującej się reszcie). Dzielenie to daje:

	1		3
4x3−3x−		= (x−cos20°)·4(x2+(cos20°)x + cos220° −		).
	2		4

Dla funkcji kwadratowej w drugim nawiasie

	3
Δ = (cos20°)2 − 4·(cos220° −		) = 3 − 3cos220° = 3(1−cos220°) = 3sin220°
	4

√Δ = √3sin20°. Wobec tego pozostałe dwa rozwiązania równania trzeciego stopnia, czyli pierwiastki trójmianu, są równe

	−cos20°−√3sin20°		−cos20°+√3sin20°
x2 =		, x3 =		.
	2		2

To jest odpowiedź. Ani sinusa, ani kosinusa 20° nie kazali nam liczyć, i nawet nie próbujmy, bo trudne ci to. Dowcipnisie wyrażą x₂ i x₃ za pomocą jednej funkcji trygonometrycznej kąta innego niż 20°, ale to już tylko zabawa (taka może być o zgrozo odpowiedź w zbiorze zadań). Dziękujemy Ci, Karolino, za dwa emocjonujące dni interesującej gry intelektualnej. Gdybyś od razu podała poprawą treść zadania, to byśmy się nudzili.

Mila: Karolina jednak tu nie spojrzała.

Eta: