Szereg Taylora Olek: Rozwiniecie sinx/cosx w szereg Taylora: Witam. Mam takie zadanko i wychodzi mi:

	x3		x5		x7		x9
sinx=x−		+		−		+		...
	3!		5!		7!		9!

	x2		x4		x6		x8
cosx=1−		+		−		+		...
	2!		4!		6!		8!

Ogolnie mysle ze jest to dobrze zrobione, ale mam problem z wymysleniem ogolnego wzoru dla tych przypadków, chodzi mi o to jak to zapisac pod jedna sumą (∑(..)). I czy jak mam zadanie tego typu to musze zapisywac to wszystko pod postacia sumy czy moze byc tak jak napisalem u góry dla sinx i cosx

Olek: Ktoś pomoze?

Olek:

Trivial: Jest dobrze. Zauważ: 1. Mamy co drugą potęgę. → x^2k albo x^2k+1 2. Wyrazy są raz z minusem, raz bez. → (−1)^k 3. W mianowniku mamy silnię z potęgi.

	(−1)k
sin(x) = ∑k=0∞		x2k+1
	(2k+1)!

	(−1)k
cos(x) = ∑k=0∞		x2k
	(2k)!

Olek: Ok dzieki. A jak mam takie cos: Rozwin w szereg f(x)=xlnx o srodku w punkcie 1. f(x)=lnx f(1)=0 f`(x)=lnx+1 f`(1)=1 f``(x)=1/x f``(1)=1

	−1
f```(x)=		f```(1)=−1
	x2

	1
f````(x)=		f````(1)=1
	x4

	−1
f`````(x)=		f`````(1)=−1
	x6

Ja tu widze wzor ale zachodzi on od wyrazu 2(od drugiej pochodnej), bo jest 0,1 ktore nie pasuja i potem1,−1,1−1 na zmiane wiec czy moge pierwsze 2 wyrazy wywalic przed szereg. Robie to tak: wyraz zerowy wynosi 0 wiec nie ma tutaj problemu wyraz pierwszy to wynosi 1 ale nie moge tylko 1 wyciagnac przed sumę bo we wzorze

	fn*(x−x0)
jest		wiec wyrzucic musze 1*(x−x0) czyli w naszym przypadku 1*(x−1)
	n!

Końcowa postac wygląda nastepująco:

	(−1)n*(x−1)n
1*(x−1)+∑
	n!

Czy jest to poprawne? I czy rozni sie to od tego:

	(−1)n*(x−1)n
∑1*(x−1)+
	n!

Bo nie wiem czy może byc tak i tak.

Godzio: Źle pochodne liczysz, sprawdź

Olek: Heh rzeczywiscie Zaraz policze i pokminie nad prawdziwym wzorem. Ale mozesz odpowiedziec na moje pytanie zakladajac ze pochodne sa dobrze policzone? Moge tak wyciagnac przed sume ?

Olek: Dobra poprawiam pochodne:

	−2
f3(x)=
	x3

	6
f4(x)=
	x4

	−24
f5(x)=
	x5

	120
f6(x)=
	x6

	(−1)n*n!
Czyli fn=		mianownik x do potegi (n−1) jak nie widac dobrze
	xn−1

Godzio:

	(−1)n(n − 1)!
f(n)(x) =
	xn

Olek: ehh znowu sie rabnalem wiem Dobra od poczatku: pierwszy(zerowy wyraz):xlnx 0 f` lnx+1 1 f`` U{1/x} 1

	−1
f```		−1
	x2

	2
f````		2
	x3

	−6
f5		−6
	x4

	24
f6		24
	x6

	−120
f7		−120
	x6

Twoj wzor jest ok ale on dziala jak za pierwszy wyraz wezmiesz druga pochodna, "zaczniesz " szereg od drugiej pochodnej. Co z pierwsza pochodna ? nie trzeba ten pierwszej jedynki przed szereg?

Olek: Ktos moze rozjasnic sprawe?

Olek: ?