Indukcja Saizou : Yo ludziki, macie jakieś zadania z indukcji? chodzi mi o zadania zwłaszcza te z nierównościami

PW: 259395 znasz? Jeśli nie − to weź tylko treść i zobacz po samodzielnym rozwiązaniu, czy podobnie myśleliśmy

Saizou : cześc PW dzisiaj na zajęciach miałem do udowodnienia nierówność Bernoulliego

5-latek: https://matematykaszkolna.pl/forum/259564.html tutaj kolega sie meczy tu ode mnie Udowodnij metoda indukcji nastepujace nierownosci a) 2ⁿ>=1+n b) 3ⁿ>n²−1 c) 2+3ⁿ>=2ⁿ+3 d) 4ⁿ+3>=3ⁿ+4

	1		1		1
e)		+		+		+...+U{1}{√n>√n
	√1		√2		√3

f) (1+x)ⁿ>=1+nx dla x>−1 I takie znalazlem Udowodnij metoda indukcji ze dla kazdego n nalezacego N₊ sin2x+sin4x+.......+sin2nx=U{sin nxsin(n+1)x}{sinx nastepne Udowodnij metoda indukcji ze wilomian nxⁿ−(n+1)xⁿ⁻¹+1 jest podzielny przez (x−1)²

5-latek:

	1
w e) ma byc +....+		>√n
	√n

Trivial: Możesz się pobawić naprawdę nisko i udowodnić, że 1+x = x+1 korzystając z definicji liczb naturalnych i ich dodawania.

5-latek: Czesc . Takie znalazlem w swoim zbiorze z liceun . jesli znajde jakies jeszce ciekawe w innym zbiorze to CI wysle

Saizou : a) Zakładam że n∊ℕ sprawdzam dla n=1 L=2 P=2 L≥P 1^o założenie indukcyjne, załóżmy że nierówność jest prawdziwa dla n∊ℕ 2ⁿ≥1+n 2^o teza indukcyjna, pokażmy że nierównośc jest prawdziwa dla n+1 2ⁿ⁺¹≥n+2 Dowód tezy indukcyjnej 2ⁿ⁺¹=2*2ⁿ≥2(1+n) 2*2ⁿ≥2n+2 2*2ⁿ≥n+2+n i nie wiem co dalej

5-latek: Nie ma do nich rozwiazan a indukcje matematyczna bede mial w 2 klasie napewno ktos CI pomoze

5-latek: znalazlem jeszce takie dla Ciebie 1) Udowodnic metoda indukcji ze dla kazdej liczby naturalnej n prawdziwa jest nierownosc |sin nx|<=n *|sinx|

	1
2) (1+x)n>=1+nx+		n(n−1)x2 x>=0
	2

	1		1
3) (1+x)n>= 1+nx+		n(n−1)x2+		n(n−1)(n−2)x3 x>−1
	2		6

	2
4) n√n<=1+√
	n

	1
5) 2<=(1+		)n<=3
	n

6) (n!)²>=nⁿ I ostatnie ciekawe z nierownosci Wykazac z edla liczb dodatnch a i b i dowolnej liczby naturalnej n prawdziwa jest nuierownosc (a+b)ⁿ<2ⁿ(aⁿ+bⁿ)

Saizou : 5−latek dziękuję bardzo

ICSP: Pokazać indukcyjnie, ze jeżeli a₁ , a₂ , ... , a_n są liczbami rzeczywistymi dodatnimi takimi, że a₁ * a₂ * ... a_n = 1 to : a₁ + a₂ + ... + a_n ≥ n Następnie wyprowadzić nierówność między średnia arytmetyczną, geometryczna, harmoniczną wykorzystując powyższą nierówność ( to już nieindukcyjnie )

Krystek10: a) 2ⁿ ≥ 1 + n Spr. dla 1 2 ≥ 2 spełnione 1. Założenie indukcyjne 2ⁿ ≥ 1+n 2. Teza 2ⁿ⁺¹ ≥ n + 2 3. Dowód L= 2ⁿ⁺¹ = 2*2ⁿ ≥ 2*(n+1) = 2n +2 ≥ n + 2

Krystek10: Ma ktoś pomysł na b) 3ⁿ>n²−1 ? nie moge dowieść

Trivial: 3ⁿ > n² − 1 n = 1 → OK krok (n≥2): 3ⁿ = 3*3ⁿ⁻¹ >^ind. 3*[(n−1)² − 1] = 3n² − 6n >^? n² −1 Czy 3n² − 6n > n² − 1 dla każdego n ≥ 2? Nie. Ale dla n≥3 już tak. Pozostało ręcznie wykazać przypadek n = 2.

Krystek10: b) 3ⁿ>n²−1 Zrobilem cos takiego ale nie wiem czy to poprawne rozumowanie Spr. dla n = 1 3>0 spełnia 1. Założenie 3ⁿ>n²−1 2. Teza 3ⁿ⁺¹ > (n+1)² − 1 3. Dowód L = 3ⁿ⁺¹ = 3*3ⁿ > 3(n² − 1) = 3(n² +2n + 1 − 2n − 1) = 3(n+1)² − 3(2n+1) = = (n+1)² − 3(2n + 1) + 2(n+1)² i teraz sprawdzam kiedy − 3(2n + 1) + 2(n+1)² > −1 −6n − 3 + 2n² +4n + 2 > −1 2n² − 2n > 0 2n(n − 1) > 0 czyli n ∊ (−∞, −2) u (1, +∞) co jest spełnione bo n ≥ 1 więc 3ⁿ⁺¹ > (n+1)² − 1 moze być ? nic innego mi nie wychodzi