dowod
Krystek10: Niech n ∈ N i n > 1. Udowodnić nierówność:
(1 + x
1)(1 + x
2)...(1 + x
n) > 1 + x
1 + x
2 + ... + x
n
gdzie x1, .., xn są liczbami tego samego znaku różnymi od 0 i większymi od −1.
Następnie z udowodnionej nierówności wyprowadzić nierówność Bernoulliego:
dla dowolnego x > −1
(1 + x)
n ≥ 1 + nx
Nie mam pomyslu za bardzo na to zadanie
2 paź 11:49
PW: A próbowałeś(−aś) zastosować indukcję?
2 paź 12:10
Krystek10: Tak próbowałem
1. Sprawdzenie do n = 2
(1+x1)(1+x2) > 1 + x1 + x2
1+x1+x2+ x1*x2 > 1 + x1 + x2
Zawsze spełnione bo x1*x2 > 0
2.Teza dla n + 1
(1+x1)(1+x2)...(1+xn)(1+xn+1) > 1+x1+x2 + ... + xn + xn+1
3. Dowód
(1+x1)(1+x2)...(1+xn)(1+xn+1) ≥ (1+x1+x2 + ... + xn)(1+xn+1)
Jesli to jest dobrze to nie wiem jak to pociagnac dalej
2 paź 12:31
PW: Powinno być tez uroczyście wypisane założenie indukcyjne.
No i dobrze, teraz trzeba pokazać, że lewa strona, czyli
(1+x1)(1+x2)...(1+xn)·1 + (1+x1)(1+x2)...(1+xn)·xn+1
jest większa od tego co po prawej stronie tezy indukcyjnej.
2 paź 13:00
Krystek10: PW nie mam pomyslu, mozesz to dokonczyc ?
2 paź 13:40
PW: Do pierwszego iloczynu stosujemy założenie indukcyjne:
(1) (1+x1)(1+x2)...(1+xn) > 1 + x1 + x2 +...+xn
Dla dodatnich xk nie ma problemu, gdyż każdy czynnik iloczynu
(1+x1)(1+x2)...(1+xn)
jest większy od 1, a więc
(2) (1+x1)(1+x2)...(1+xn)·xn+1 > 1n·xn+1.
Dodanie stronami nierówności (1) i (2) kończy dowód.
A dla ujemnych xk trzeba trochę pomyśleć.
2 paź 13:50
Krystek10: (1+x1)(1+x2)...(1+xn)*1 + (1+x1)(1+x2)...(1+xn)*xn+1 ≥ 1 + x1 + x2+...+xn + xn+1
+ (x1+ x2 +....+ xn) * xn+1 cos takiego mi przychodzi do głowy tylko i
1 + x1 + x2+...+xn + xn+1 + (x1+ x2 +....+ xn) * xn+1 ≥ 1 + x1 + x2+...+xn +
xn+1
bo (x1+ x2 +....+ xn) * xn+1 > 0
2 paź 13:51
PW: Pięknie, jeszcze tylko napisz, w którym momencie skorzystałeś z założenia
− 1 < xk < 0.
2 paź 14:57
Krystek10: dzięki PW wszystko jasne
2 paź 18:21
Krystek10: Jednak nie wszystko jasne , jak mam przekształcić (1 + x1)(1 + x2)...(1 + xn) > 1 + x1 +
x2 + ... + xn do tego (1 + x)n ≥ 1 + nx ? Wygląda na to jakby kolejne x sie nie różniły,
czy rzeczywiście tak trzeba założyć ?
2 paź 19:01
Krystek10: x ≠ 0 x1 = x2 =...=xn to wyjdzie
2 paź 19:19
PW: Każda z liczb xk spełnia w tym fragmencie dowodu nierówność
−1 < xk < 0,
czyli
0 < 1 + xk < 1
Po przemnożeniu wszystkich (1 + xk) dla k=1,2,...,n otrzymamy zatem liczbę dodatnią, ale
mniejszą od 1. wobec tego
0 < (1−x1)(1−x2)...(1−xn) < 1,
co przemnożone przez ujemną xn+1 daje nierówność o przeciwnym "zwrocie":
0 > (1−x1)(1−x2)...(1−xn)·xn+1 > 1·xn+1,
którą zastosowałeś w dowodzie, ale błędnie uzasadniłeś.
Nie można twierdzić, że iloczyn liczby dodatniej i ujemnej jest większy od iloczynu ujemnej i
ujemnej (a takimi są suma x1+x2+...+xn oraz xn+1). Dlatego pytałem, w którym miejscu
zastosowałeś założenie. Na ogół dowody, które nie korzystają ze wszystkich założeń są błędne.
W końcu jednak pokonaliśmy to.
2 paź 21:38
gosc12345: Czy mi się wydaje czy wystarczy w pewnym momencie założyć że skoro:
(1 + x1) ... (1 + xn) + (1 + x1) ... (1 + xn)xn+1 > 1 + x1 + ... + xn + xn+1 oraz z tezy
indukcyjnej wiemy że pierwszy składnik naszego iloczynu jest większy od całej prawej strony
minus xn+1
to musimy po prostu udowodnić (1+x1)...(1+xn)xn+1 >= xn+1 − ∊.
Wystarczy teraz rozbić na dwa przypadki, w obu podzielić wszystko przez xn + 1 i zadanie staje
się trywialne.
6 paź 19:16