algebra kyrtap: Ktoś może wytłumaczyć mi na chłopski rozum jak udowadniać nierówności indukcyjnie? Patrzę na te zadania i niestety nic nie rozumiem z nich

PW: Niestety, jest to sztuka, której uczymy się w praktyce. Jest to niebanalna umiejętność szacowania − zauważenia pewnych nierówności − często tutaj adepci pytają: − A skąd ja miałem być taki mądry i na to wpaść? Trzeba czytać dowody publikowane i dużo ćwiczyć.

Trivial: Zasada jest zawsze taka sama. Trzeba wyjść z T(n+1) i jakoś poprzekształcać wykorzystując w środku T(n).

kyrtap: przykładowo mam zadanie

1		1		1		1
	+		+ .....+		≤ 2 −		dla n ∊N
12		22		n2		n

1 Krok n = 1 L = 1 P = 2 − 1 = 1 L ≤ P 2. Krok T(n+1)

1		1		1		1
	+		+ .....+		≤ 2 −
12		22		(n +1)2		n+1

wychodzę z lewej strony

	1		1		1		1		1		1
L =		+		+ .....+		+		= 2 −		+		co
	12		22		n2		(n +1)2		n		(n+1)2

dalej zrobić?

PW:

	1		1
Już źle − nie "=2 −		...", ale "≤ 2−		+..."
	n		n

− korzystasz z założenia indukcyjnego, w którym jest nierówność.

kyrtap: ok

kyrtap:

	2n3 + 3n2 + n − 1
sprowadziłem to do wspólnego mianownika i wyszło mi		jakiś
	n(n+1)2

wniosek?

PW:

	n2+2n+1		n		n2+2n+1−n
... = 2 −		+		= 2 −		=
	n(n+1)2		n(n+1)2		n(n+1)2

	n2+n+1		n		1		1
2 −		= 2 −		−		−		< ... już widać?
	n(n+1)2		(n+1)2		(n+1)2		n(n+1)2

kyrtap: nie powinno być zamiast n² + 2n + 1 − n takie wyrażenie : n² + 2n + 1 + n

kyrtap: w liczniku oczywiście

PW:

	n		n
Postawiłem minus przed wszystkim (z		zrobił się −		)
	n(n+1)2		n(n+1)2

kyrtap: nie rozumiem tego chyba jestem za tępy na to

kyrtap: sory PW bo pewnie tylko Cię wkurzam tym co piszę

PW: To zwykłe dodawanie ułamków (jeden ma z przodu minus, a drugi plus. Wyłączam ten minus przed nawias i zapisuję sumę w postaci jednego ułamka (nawias nie jest już potrzebny, więc go nie pisałem).

kyrtap:

	n2 +2n+1
ale nie jest to dla mnie logiczne skoro po wyrażeniu		mam znak +
	n(n+1)2

kyrtap: dobra kumam

PW: No i teraz patrzymy na te trzy ułamki − wszystkie są ujemne, a potrzebny nam jest tylko jeden z nich (ten występujący w tezie). Czy jeżeli te niepotrzebne pominiemy i napiszemy za karę "<", to będzie dobrze?

kyrtap:

	1
moim zdaniem tak bo te wyrażenie 2 −		będzie większe bądź równe od tego z trzema
	n+1

ułamkami ujemnymi

kyrtap: dobrze myślę?

PW: Oczywiście. Jesteś o jeden krok dalej w zrozumieniu tego co pisałem o 20:25

kyrtap: zatem na tym mogę zakończyć dowód bo dowiodłem tezę? dobrze myślę ?

kyrtap: PW jeszcze jesteś?

kyrtap: Sprawdzi ktoś czy cień prawdy w tym jest mam udowodnić: n! > 2ⁿ dla n≥4 1. n = 4 L = 4! = 24 P = 2⁴ = 16 L>P 2. T(n+1) (n+1)! > 2^{n +1} Wychodzę z zał. n!>2ⁿ /*2 2n! > 2ⁿ⁺¹ n!(n+1) > 2n! bo n≥4 zatem n+1≥5 Czyli (n+1)! >2^{n +1}

Saizou : a może L=(n+1)!=n!(n+1)≥2ⁿ(n+1)a co dalej to już nie wiem

kyrtap: proszę o pomoc

Krystek10: kyrtap ja zrobilem tak 1. Spr dla 4 24 > 16 spełnione 2. Teza (n+1)! > 2^k+1 3. Dowód L= (n+1)! = (n+1)n! teraz z założenia (n+1)n! > 2ⁿ(n+1) > 2^k+1 bo 2ⁿ(n+1) > 2^k*2 a (n+1) > 2 bo n ≥ 4 co konczy dowod

Krystek10: czekaj od nowa bo jakies k sie wkradly nie n

Krystek10: (n+1)! > 2n+1 3. Dowód L= (n+1)! = (n+1)n! teraz z założenia (n+1)n! > 2n(n+1) > 2n+1 bo 2n(n+1) > 2n*2 a (n+1) > 2 bo n ≥ 4 co konczy dowod tu masz

Krystek10: (n+1)! > 2{n+1} 3. Dowód L= (n+1)! = (n+1)n! teraz z założenia (n+1)n! > 2ⁿ(n+1) > 2{n+1} bo 2ⁿ(n+1) > 2ⁿ*2 a (n+1) > 2 bo n ≥ 4 co konczy dowod sory za spam tutaj poprawnie

kyrtap: to moje jest poprawnie?

Krystek10: najlepiej jedna ze stron przekształcić, w dowodzie bierz jedną ze stron w tezie i staraj sie udowodnic ze teza jest prawdziwa, patrzyłeś tutaj https://matematykaszkolna.pl/strona/1116.html ?

kyrtap: tak patrzyłem równania ogarniam tylko nierówności nie

Krystek10: Tutaj po prostu trzeba zauwazyć że (n+1)n! > (n+1)*2ⁿ bo z założenia n! > 2ⁿ

kyrtap: spróbuję jutro twoim sposobem zrobić kilka przykładów zobaczę jak mi to wyjdzie, dzięki wielkie