Granica Radek: Pokazać, że granicą ciągu jest g=1

	n
an=
	n+1

Proszę krok po kroku bo widziałem już 3 wersje

J: Najprościej podziel licznik i mianownik przez n

	1
limn→∞		= 1
	1   1 +   n

Radek: z definicji

daras: https://matematykaszkolna.pl/forum/255398.html

Kacper: Definicja granicy ciągu jest następująca: ∀ε>0 ∃δ ∀n>δ |a_n−g|<ε Niech ε>0. Szukamy takiej liczby δ, aby dla każdej liczby naturalnej n>δ prawdziwa była nierówność: |a_n−g|<ε Przekształcamy równoważnie powyższą nierówność:

	n
|		−1|<ε
	n+1

	n−(n+1)
|		|<ε
	n+1

	−1
|		|<ε
	n+1

1
	<ε
n+1

1
	<n+1
ε

	1
n>		−1
	ε

	1
Biorąc za δ=		−1 stwierdzamy, że nierówność |an−1|<ε jest prawdziwa dla każdej liczby
	ε

n>δ, czyli lim_n→∞a_n=1

Radek: a tutaj jeszcze piszą [ ] ?https://matematykaszkolna.pl/strona/3675.html

Kacper: Ja nigdy tego nie używałem, i wystarczy napisać, że bierzemy najmniejszą liczbę naturalną większą od δ i wtedy nierówność jest prawdziwa Każdy wie i tak o co chodzi

Radek: dziękuję

Radek:

	−1		1
Czemu |		| zrobiło się		?
	n+1		n+1

Kacper: własności wartości bezwzględnej

zombi:

	1
Ale można sobie ograniczyć pisania używając Entier [ ] i kończysz tym, żę n> [		] −1
	ε

Radek: A to nie [] cecha jest ?

Kacper: W definicji granicy? nie

Radek: Kolejny przykład ta sama treść

	3n2+2
limn→∞=		=3
	n2+2n+1

	3n2+2−3n2−6n−3		6n2+1		6n+2n		8
|		|=		<		=		?
	n2+2n+1		n2+2n+1		n2		n

nie rozumiem skąd się to wzięło od znaku nierówności ?

Kacper: Szacujemy ułamek z góry. Ułamek jest większy, gdy licznik jest większy 6n²+1<6n²+2n² (zapewne błąd w przepisywaniu) Ułamek jest większy gdy mianownik jest mniejszy − pomijamy kilka wyrazów (oczywiście dodatnich)

Radek: czemu mam szacować jak w przykładzie wyżej nie trzeba było nic szacować..

Kacper: Dlatego, że jak zostawię w postaci:

6n2+1
	<ε to nie wyznaczę "n"
n2+2n+1

Radek: ale nie wiadomo czemu oni takie coś dopisali w liczniku a w mianowniku usnęli 2n+1 zamiast tylko 1 albo 2n ?

Kacper: żeby się ładnie uprościło

Radek: mam kilka takich przykładów i nie wiem kiedy mam to szacować a kiedy nie ?

jerey: Radku zerknij sobie tutaj moze Ci sie przyda, poszukaj wiecej moich postów, kiedyś to robiłem; https://matematykaszkolna.pl/forum/254905.html

Radek: Dziękuję ale nadal tego nie rozumiem.. U Ciebie jeszcze inny sposób wgl.