Wielomiany Lukas: Ma ktoś link gdzie jest wytłumaczone podzielność wielomianów ? Na 80% już to umiem ale trudniejsze przykłady mnie rozkładają.

Piotr: ale ze co ? ze jesli wielomian jest podzielny przez (x−a) to a jest pierwiastkiem wielomianu ? o to chodzi ?

Marcin: Podaj może po prostu przykład którego nie rozumiesz

Mila: Jakoś dzisiaj nic nie rozwiązywałeś na forum. http://www.math.edu.pl/pierwiastki-wielomianu

Lukas: Jutro się poprawię

Lukas: Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x − 1 jest równa 1, zaś reszta z dzielenia tego wielomianu przez x − 2 jest równa 4. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez wielomian x²−3x+2 Jak sie za to zabrać ?

Mila: Najpierw sprawdź czy x=1 i x=2 jest pierwiastkiem wielomianu: p(x)=x²−3x+2

Lukas: W(1)=0 W(2)=0

52: Lukas Wielomian K(x) jest podzielne przez dwumian x−2, gdzie mogę to zapisać jako K(2)=0 Reszta z dzielenia wielomianu G(x) przez dwumian x−5 jest równa 14, gdzie mogę to zapisać jako G(5)=14 Rozumiesz o co chodzi ? W(x)=R , gdzie R=0, oznacza że jest x jest pierwiastkiem wielomianu.

Lukas: W(1)=1 W(2)=4 to rozumiem ale dalej mam problem

52: https://matematykaszkolna.pl/strona/3038.html

Lukas: Ale czemu to tak zapisujemy ? Można inaczej ?

Mila:

13		3
	=2+
5		5

Przez analogię: Teraz przejdziemy do wielomianów p(x)=x²−3x+2=(x−1)*(x−2)

W(x)		R(x)
	=Q(x)+		⇔
p(x)		p(x)

W(x)=Q(x)*p(x)+R(x) Przy dzieleniu przez (x²−3x+2) możemy otrzymac resztę w postaci R(x)=ax+b ( co najmniej jeden stopien niższy wielomian) W(x)=Q(x)*(x−1)*(x−2)+R(x) W(1)=1 i W(2)=4 z treści zadania.⇔ Zatem Q(1)*(1−1)(1−2)+R(1)=1 Q(2)*(2−1)*(2−2)+R(2)=4⇔ a*1+b=1 i a*2+b=4 stąd a=3 i b=−2 R(x)=3x−2

Lukas: Czyli układ równań tworzymy ?

Mila: Po ustaleniu jaka postac ma reszta.

Lukas: p(x) został zapisany w postaci iloczynowej a Q(x) ?

Mila: Q(x) nie jest ważny , bo iloczyn (x−1)*(x−2) zeruje się zarówno dla x=1 jak i x=2.

Lukas: Dziękuję, jutro do tego wrócę bo takie zdania to jeszcze do mnie duży problem

Mila:

Lukas: A co jeśli p(x) nie dałoby się zapisać w postaci iloczynowej ?

Mila: Będziemy działac w zależności od innych danych.

Lukas: A mogę prosić o jakieś zadania podobne do ostatniego ?

Mila: 1) Reszta z dzielenia wielomianu W(x)przez dwumian (x−2)jest równa 5 zaś reszta z dzielenia tego samego wielomianu przez dwumian (x−3) jest równa 7. Wyznacz resztę z dzielenia W(x) przez (x−2)*(x−3)

Lukas: P(x)=(x−2)(x−3) W(x)=Q(x)*p(x)+R(x) 2(2−2)(2−3)+2=5 3(3−2)(3−3)+3=7 i dalej nie rozumiem skąd a jeśli jeden nawias to zeruje ?

Mila: Reszta będzie w postaci: R(x)=ax+b W(x)=Q(x)*(x−2)*(x−3)+R(x) (*) W(2)=5⇔R(2)=5 ( bo Q(2)*0+R(2)=5 ) (**) W(3)=7⇔R(3)=7 Z (*) (**) ⇒ a*2+b=5 a*3+b=7

Mila: 2) Wielomian W(x) przy dzieleniu przez (x+2) daje resztę 8, a przy dzieleniu przez (x+1) daje resztę (−4). Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez P(x)=x²+3x+2. 3) Wielomian W(x) przy dzieleniu przez (x−5) daje resztę 1, a przy dzieleniu przez (x+3) daje resztę (−7). Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez P(x)=x²−2x−15.

Lukas: 2. R(x)=−12x−16 3. R(x)= x − 4.

Mila: Dobrze.

Lukas: ?

Lukas: Przepraszam, nie zauważyłem Idę robić dalej zadania.

Lukas: Jeszcze pytanie. Jutro skończę dział wielomiany co dalej ? Logarytmy ?

Mila: Myślę, że na wielomiany możesz poświęcić więcej czasu. Rozwiązuj też równania związane z wielomianami oraz nierówności. Na razie wybieraj wg tego w czym jesteś słaby, potem po skończeniu będzie powtórzenie i utrwalenie. Jeśli dostaniesz się na wymarzony kierunek, to zwiększysz tempo pracy.

Lukas: Ja nawet nie składam papierów to raz, dwa nierówności już przerobiłem zrobiłem prawie wszystkie zadania ze zbioru A.Kiełbasy już dziś

kyrtap: Pretty good

Lukas: A nie mam zamiaru stać w miejscu i się użalać tylko robić mnóstwo zadań, żeby matura za rok niczym mnie nie zaskoczyła

Mila: Dobrze. 4) Wykaż, że wielomian dla p∊R W(x)=x³−(p+1)x²+(p−3)+3 ma trzy niekoniecznie różne pierwiastki. 5)

Lukas: I tutaj mam problem bo nie mogę wyciągnąć x przed całe wyrażenie.

Mila: Nie możesz, a co wiesz o pierwiastkach wielomianu?

Lukas: Kandydaci na pierwiastki to dzielniki wyrazu wolnego:

	1		1
1,−1,3,−3,−		,
	3		3

Mila: Próbuj, wprawdzie nie pisze w treści , że p∊C, ale może da się wybrnąć?

Lukas: Jedyny pomysł to podstawianie ? W(3)=3³−(p+1)*3²+(p−3)+3 ale to nic nie daję ?

Mila: Przepraszam ma być taki wielomian ( dla tamtego też podobnie wychodzi) W(x)=x³−(p+1)x²+(p−3)x+3 p∊R W(1)=1−(p+1)+p−3+3=1−p−1+p−3+3=0 ⇔x=1 jest pierwiastkiem wielomianu niezależnie od wyboru p Schemat Hornera x=1 1 −p−1 p−3 3 1 −p −3 0 W(x)=(x−1)*(x²−px−3) dalej rozważaj sytuację.

Lukas: Ok a potem mam zapisywać za pomocą schematu Hornera czy tylko sprawdzić W(?)=0

Mila: Potem masz p(x)=x²−px−3 i liczysz deltę? Kiedy równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania?

Lukas: Δ>0

Mila: Czy rozumiesz to zadanie? Czy wyjaśnić problem po kolei?

dagaaa: https://matematykaszkolna.pl/forum/250535.html pomoznie prosze ... Tez wielomiany

Lukas: Proszę o wyjaśnienie, bo nie do końca chyba rozumiem.

Mila: W zadaniu jest polecenie , aby wykazać, że w(x) ma 3 pierwiastki dla p∊R. Pierwiastki niekoniecznie muszą byc różne. Sprawdziliśmy, że w(1)=0 ⇒x=1 jest jednym pierwiastkiem Możemy podzielić wielomian przez (x−1) i otrzymujemy: W(x)=(x−1)*(x²−px−3) Szukamy pozostałych pierwiastków. x²−px−3=0 Δ=p²+12>0 dla każdego p∊R⇔ równanie x²−px−3=0 ma 2 różne rozwiązania, zatem w(x) ma 3 pierwiastki, niekoniecznie różne ( odpowiedz dlaczego) Cnw To zadanie nie jest schematyczne, ale właśnie taka była matura R w tym roku.

Lukas: Ja nie chcę uczyć się schematów,tylko matematyki Dziękuję za wyjaśnienie

Mila: No to jutro podrzucę Ci kilka ciekawych zadań z wielomianów.

Mila: 5) Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x), nie wykonując dzielenia. W(x) = x⁴ + 5x³ + x + 6, P(x) = (x+5)(x−1)

Mila: 6) Wykaż, że nie istnieje wielomian W(x) o wszystkich współczynnikach całkowitych, dla którego zachodzi W(13)=3 i W(17)=5.

Lukas: A jeszcze wracając do tamtego zdania nie można np W(−1) trzeba koniecznie W(1) ?

Mila: Ma się W(x) wyzerować dla danej liczby , bo wtedy podzielisz W(x) bez reszty. W(x)=x³−(p+1)x²+(p−3)x+3 W(−1)=−1−(p+1)−(p−3)+3=−1−p−1−p+3+3=−2p+4 −1 bedzie pierwiastkiem dla p=2, a w zadaniu nie pytają Cię dla jakich wartości parametru p ten W(x) ma trzy pierwiastki. Przeczytaj dokładnie treść.

Lukas: Dobrze dziękuję, resztę zadań dokończę jutro. Dobranoc.

Mila: 7) Zadanie z próbnej matury R. Jednym z pierwiastków wielomianu W(x), stopnia trzeciego jest liczba 1, a suma pozostałych dwóch pierwiastków jest równa 0. Do wykresu wielomianu należy punkt (3,1). Wiedząc, że reszta z dzielenia W(x) przez dwumian (x−2) jest równa −2. Wyznacz wzór tego wielomianu i uporządkuj go malejąco.

Mila: Dobranoc

Lukas: 6. 13a+b=3 / (−1) 17a+b=8 4a=5

	5
a=
	4

Nie istnieje taki wielomian ?

Piotr 10: Zadanie 6 możesz zrobić dwoma sposobami i Twój sposób jest zły. Najlepiej jest tutaj skorzystać z twierdzenia, jak chcesz mogę Ci je dać

Lukas: Jeszcze sam raz spróbuje, bez podpowiedzi

Lukas: nie wiem czemu, ale nie wychodzi moim sposobem..

Piotr 10: Hmm z tego fatku, że nie wiadomo jakiego wielomian jest stopnia, to z tw. najlepiej. Twierdzenie: Jeżeli wielomian W(x) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych, to dla dowolnych liczb x≠y, W(x) − W(y) dzieli się przez x − y. I teraz działaj.

Lukas: Skąd takie twierdzenie x−y ? Pierwszy raz to widzę ? 13−17=−4 3−5=−2

Piotr 10: I teraz wnioski. Jak chcesz to mogę wyprowadzić Ci te twierdzenie.

Mila: Nie wiem dlaczego, ale dopiero teraz moja przeglądarka pokazała te dzisiejsze komentarze. Zadanie 6 podałam, abyś właśnie Lukas dowiedział się o tym twierdzeniu. Zrób jak podpowiada Piotr.

W(17)−W(13)		2
	=		∉C
17−13		4

Czekam na zadnie 5 i 7.

Lukas: A nazwa tego twierdzenia ? 5) trzeba zbadać W(−5) i W(1) i zsumować ?

Mila: Piotr podał tw. Zadanie (5) tak jak (3). Nie zsumować ! Wyznaczyć wsp. reszty w odpowiedniej postaci.

Lukas: 5 wiem jak, mam problem z 7. ax³+bx²+cx+d wielomian stopnia 3 a+b+c+d=0 27a+9a+3c+d=1 8a+4a+2b+d=−2 brakuje mi jeszcze jednego równania ?

Mila: Inna metoda. W(1)=0⇔W(x) jest podzielny przez (x−1) Suma pdwóch pozostałych pierwiastków jest równa 0⇔są liczbami przeciwnymi, oznaczmy je : p,−p Możemy przedstawić W(x) w postaci iloczynowej W(x)=a*(x−1)*(x−p)*(x+p) teraz wykorzystaj pozostałe informacje.

ZKS: Jednym z pierwiastków jest liczba x₁ = 1 wiemy dodatkowo że suma dwóch pozostałych jest równa 0 zatem x₂ + x₃ = 0 ⇒ x₃ = −x₂ zapisując w postaci iloczynowej nasz wielomian mamy W(x) = a(x − 1)(x − x₂)(x + x₂). Ponadto mamy informacje o tym że reszta z dzielenia przez dwumian x − 2 jest równa −2 więc W(2) = −2 a(2 − 1)(2 − x₂)(2 + x₂) = −2 ostatnia informacja jest tak że wielomian przechodzi przez punkt (3 ; 1) W(3) = 1 a(3 − 1)(3 − x₂)(3 + x₂) = 1. Kończ.

ZKS: Przepraszam Mila już idę.

Lukas:

1		1
	x3−		x2−4x+4
2		2

Lukas: ?

Mila: Cześć ZKS, dobrze ,że jesteś. Lukas − dobrze.

Lukas: Zaraz wstawię kilka zadań ze zbioru A.Kiełbasy takich które nich rozumiem.

Mila:

Lukas: Zbiór rozwiązań równania x³+bx²+bx+1=0 jest dwuelementowy. Znajdź ten zbiór. x³+bx²+bx+1=0 (x³+1)+b(x+1)=0 (x+1)(x²−x+1)+b(x+1)=0 (x+1)(x²−x+1+b)=0

Piotr 10: 2 linijka błąd przy wyłączaniu.

Mila: Tak, błąd. Popraw.

Lukas: x³+bx²+bx+1=0 (x³+1)+bx(x+1)=0 (x+1)(x²−x+1)+bx(x+1)=0 (x+1)(x²−x+1+bx)=0 x²+bx−x+1=0 x²+x(b−1)+1=0 Δ=0 (b+1)²−4=0 b²+2b−3=0

Piotr 10: (x+1)[ x²+x(b−1)+1]=0 Mamy już jedno pewne rozwiązanie x = −1 I teraz zbiór rozwiązań ma być dwuelementowy, czyli mają być dwa róźne rozwiązania tego wielomianu: I przypadek x²+x(b−1)+1=0 1⁰ Δ=0 v II przypadek x²+x(b−1)+1=0 1⁰ Δ > 0 2⁰ f(−1)=0

Piotr 10: I oczywiście do 1 przypadku jeszcze jeden warunek 2⁰ f(−1)≠0

Lukas: Właśnie to samo wyżej napisałem tylko co dalej ? Nie chcę gotowców, tylko wytłumaczenie co mam robić

Mila: A po co tak rozpisujesz? ( z błędem) 1) Ponieważ x=−1 jest jednym z rozwiązań, to równanie : x²+(b−1)*x+1=0 ma mieć jedno rozwiązanie⇔ Δ=0 (b−1)²−4=0⇔ (b−1)²=4⇔ b−1=2 lub−1=−2 b=3 lub b=−1 Dokończ.

Mila: Piotr, nie pytają dla jakiego parametru?

Piotr 10: Pomyłka. Zmykam już

Lukas: Gdzie rozpisuje z błędem ? b=3 ?

Mila: 21:09 przedostatnia linijka (b+1)² zamiast (b−1)². (literówka?) Po obliczeniu b=3 lub b=−1 sprawdzasz jakie jest rozwiązanie w obu przypadkach, potem odpowiedź: zbiór rozwiązań{−1,...}

Lukas: Dobrze, dziękuję.

Lukas: Znajdź te wartości współczynnika b, dla których wielomian W(x)=x³+bx²+x ma trzy różne nieujemne pierwiastki. x³+bx²+x=0 x(x²+bx+1)=0 x=0 lub x²+bx+1=0 Δ>0 b²−4>0 (b−2)(b+2)>0 b∊(−∞,−2)suma(2,∞) ?

WueR: Trzy rozne >nieujemne< pierwiastki.

Lukas: ?

Mila: Teraz wzory Viete'a. Jeden pierwiastek jest równy zero, pozostałe dwa muszą być dodatnie. x₁+x₂>0 x₁*x₂>0

Lukas: A ta nierównośc potrzebnie czy nie?

Mila: Jak najbardziej potrzebna, musisz mieć dwa różne rozwiązania równania kwadratowego⇔ Δ>0 Pisz dalsze rozwiązanie , a następne zadanie w nowym wątku, dobrze?

Lukas: To zadanie już rozwiązałem, dziękuję za poświęcony czas Muszę jeszcze wrócić chyba do f.kwadratowej bo chyba zaległości mam

Mila: Wracaj. To dobry pomysł. Jutro załóż nowy wątek.

Lukas: Znam wzory vite'a ale jeszcze dla stopnia wyższego niż II nie umiem wyprowadzić. Dobranoc