Matura Godzio: Maturzyści Chcecie jakieś ciekawsze zadanka, żeby się pogłowić ?

exevan: ciekawsze nawet te proste są dla mnie ciężkie co dopiero te "ciekawsze"

Marcin: Ja bym poprosił, ale nie wiem czy dzisiaj będę mieć głowę się głowić Poziom też prosiłbym maturalny

Godzio: To na początek coś prostego. Zadanie 1 W trapezie równoramiennym o polu P dane są promień okręgu opisanego r oraz suma długości obu podstaw s. Obliczyć obwód tego trapezu. Podać warunki rozwiązywalności zadania. (inaczej, kiedy zadanie ma sens )

5-latek: Skoro Godzio zalozyl temat to sie mu nie wcinamy i on daje zadania

Ajtek: Ciekawe zadanko, ciekawe .

Ajtek: A tak w ogóle to cześć Godzio .

Godzio: Witam

Godzio: Zadanie 2 Znaleźć wszystkie wartości parametru rzeczywistego m, dla których pierwiastki trójmianu kwadratowego f(x) = (m − 2)x² − (m + 1)x − m spełniają nierówność |x₁| + |x₂| ≤ 1. Zadanie 3 Dla jakich wartości rzeczywistego parametru p równanie (p − 1)x⁴ + (p − 2)x² + p = 0 ma dokładnie dwa różne pierwiastki.

Ajtek: Oba do wciągnięcia nosem .

Godzio: Ja trudnych zadań nie daje

Marcin:

	1
W pierwszym założeniu zad 2 wyjdzie, że x∊(−∞;		) v (1;+∞)
	5

A jak mogę zapiać inaczej |x₁| + |x₂| ≤1?

Godzio: Marcin na tym polega trudność zadania, żeby to jakoś przekształcić, pomyśl A o jakim założeniu mówisz ? I chodzi Ci o m (a nie o x ) tak ?

Marcin: Tak, tak. o m

Marcin:

	−b
To nie będzie chyba |		| ≤ 1, prawda? Byłoby jakieś za proste.
	a

Godzio: I wiem, że to dziwnie wygląda, ale Δ ≥ 0. Nie nie jest powiedziane, że x₁ ≠ x₂

Godzio: Zdecydowanie nie

Lorak: 3. Dla jakich wartości rzeczywistego parametru p równanie (p − 1)x⁴ + (p − 2)x² + p = 0 ma dokładnie dwa różne pierwiastki. Na początek sprawdzę czy istnieją 2 różne rozwiązania dla p=1 lub p=2. Dla p=1 rozwiązania to x=−1 oraz x=1, czyli p=1 spełnia warunki zadania. Dla p=2 dostajemy sprzeczność. (p − 1)x⁴ + (p − 2)x² + p = 0 x²=t, t≥0 (p − 1)t² + (p − 2)t+ p = 0 1) Δ=0 i t₀>0 2) Δ>0 i t₁t₂<0 Δ=(p−2)²−4p(p−1)=−3p²+4 1) Δ=0 −3p²+4=0

	2√3		2√3
p=		lub p=−
	3		3

t₀>0

	(p−2)
−		>0
	2(p−1)

−2(p−2)(p−1)>0 p∊(1;2)

	2√3
Łącząc Δ=0 i t0>0 dostajemy p=
	3

	2√3		2√3
2) Δ>0 ⇔ p∊ (−∞;		)∪(		;∞)
	3		3

	p
t1t2<0 ⇔		<0 ⇔ p(p−1)<0 ⇔ p∊(0;1)
	p−1

Brak części wspólnej.

	2√3
Odp. p=1 lub p=		.
	3

Coś mi gdzieś nie gra, ale nie wiem co

Ajtek: Godzio mi kiedyś zasunąłeś dowód dla wartości sin72^o bodaj

Godzio: Δ > 0 ⇒ p ∊ ... (tylko tu jest błąd reszta jest ok )

Godzio: A to było trudne ?

Ajtek: A weź przestań . Zanim wpadłem na pomysł....

Saizou : a obwód z zadania nr. 1 to nie czasem

	16Pr
Ob=s+
	√16P2+s4

Godzio: No właśnie, jak się wpadnie na pomysł to jest banalne zadanie . To pomysł jest trudny, a nie zadanie

Ajtek: Skoro pomysł jest trudny, to i zadanie nie jest proste

Godzio: Saizou bardzo dobrze, a warunki rozwiązywalności zadania ?

Mila: Ajtek kąt 72^o to wdzięczny temat, pięciokąt foremny, złoty podział odcinka. Godzio dba o Twój rozwój.

Saizou : jeszcze nie, bo się skupiłem tylko na razie na obwodzie

Lorak: aa..minus tam zgubiłem

Ajtek: Mila to było dobre 2 i pół roku wstecz. Jak Godzio maturę zdawał, jakoś ten okres.

Saizou : w sumie to co do warunków to nie mam pojęcia

Godzio: Żeby dać jakąś wskazówkę, musiałbym zobaczyć jak rozwiązujesz, więc jak chcesz to napisz, albo kombinuj nad warunkiem

Ajtek: P>0

Godzio: Pomijamy trywialne założenia

Saizou : to może ja napiszę, ale jedynym sensownym warunkiem jak dla mnie byłoby napisanie że

	h
1>sinα=		>0
	c

Hajtowy: P(A) = Godzio > 0 Wygrałem?

Ajtek: Hajtowy nie P(A)=Godzio=1

Saizou :

	(a+b)h
P=
	2

	2P
h=
	s

	2P		s
(		)2+(		)2=d2
	s		2

	√16P2+s4
d=
	2s

d
	=2r
sinα

√16P2+s4   2s
	=2r
(2P/s)   c

	8Pr
c=
	√16P2+s4

	16Pr
OB=s+
	√16P2+s4

Godzio: A co by było gdyby d > 2r ?

Saizou : to by trójką o bokach b,c,d nie istniał

Saizou : w sumie o bokach r,r,d

Godzio: A taki trójkąt musi istnieć ?

Saizou : jak dla mnie musi

Godzio: (lekko skrzywiony kwadrat bo nie chciał mi się wpisać ładnie ) Tutaj istnieje taki trójkąt ?

Saizou : a no nie ma

Godzio: Właśnie, no dobra, to w takim razie co z tym "d > 2r" (albo d ≤ 2r) ? Da się to jakoś wytłumaczyć ?

Ajtek: A pisałem że P>0 .

Saizou : gdyby d>2r to by nie mieściło się w okręgu, a skoro to przekątna trapezu wpisanego w okrąg to mielibyśmy sprzeczność

Godzio: no i doszedłeś do pełnego rozwiązania, brawo

Saizou : cześć obliczeniowa była łatwiejsza

Eta:

Godzio: Obliczenia zawsze są łatwiejsze, a uzasadnienia trudniejsze, tak to już jest z tą matematyką

Saizou : to przeliczę jeszcze zadanie 1

Godzio: Chyba 2

Saizou : właśnie o to mi chodziło xd

Saizou :

	1−√13		1
m∊<		:		>
	4		5

5-latek: Ajtek ale sinus 72 stopni mozna policzyc prosciej Jesli a_n oznacza bok wielokata foremnego n wpisanego w kolo jednostkowe to latwo obliczyc wartosci funkcji trygonometrycznch kata pi/n Jezeli przyjmiemy za ramie poczatkowe kata promien dzielacy na polowy bok n−kata foremnego wpisanego w kolo o promieniu 1 czyli R=1 to

	pi		an		pi		an2
wtedy sin		=		a cos		= apotema ln= √1−
	n		2		n		4

	√5−1		1		5+√5
dla n=10 mamy a10=		i l10=		√
	2		2		2

	pi		√5−1		pi		1		5+√5
to sin		=18=		cos		=		√
	10		4		10		2		2

Teraz tylko wzor na sin(x−y) i mamy sin(90−18) i to wystarczy tylko policzyc

Mila: Godzio spójrz tam. https://matematykaszkolna.pl/forum/236268.html

Godzio:

Saizou : a dla 3 zadania mamy już warunki

Saizou : Godzio masz coś jeszcze pod ręką ?

Godzio: Mam i myślę czy chcesz czy nie Chciałbyś się trochę pogłowić (jest dużo liczenia) ?

Saizou : zawsze można spróbować

5-latek: A moze sprobuj to z 16:18 https://matematykaszkolna.pl/forum/236113.html Ale po zadaniu Godzia

Godzio: Zadanie 4 Podstawą czworościanu ABCD jest trójkąt prostokątny ABC o kącie ostrym α i promieniu okręgu wpisanego r. Spodek wysokości opuszczonej z wierzchołka D leży w punkcie przecięcia się dwusiecznych trójkąta ABC, a ściany boczne wychodzące z wierzchołka kąta prostego podstawy tworzą kąt β. Obliczyć objętość ostrosłupa.

Saizou : rysunek jest dobry ?

Godzio: Ten kąt α to powinien być β (α to kąt ostry trójkąta w podstawie)

Saizou : oczywiście tam gdzie α miało być β

Saizou :

	2r2sin2α
mam pole podstawy P=
	(sinα+cosα−1)2

Godzio: Obawiam się, że pole podstawy ma jakiś błąd.

Godzio: Pole w najprostszej postaci. Nie pisałem wszystkiego, pewne rzeczy pisałem w pamięci.

a + b − c
	= r
2

	a		a
sinα =		⇒ c =
	c		sinα

	a
tgα =		⇒ b = actgα
	b

1   a(1 + ctgα −   sinα
	= r
2

	sinα + cosα − 1
a		= 2r
	sinα

	2rsinα
a =
	sinα + cosα − 1

	2rcosα
b =
	sinα + cosα − 1

	2r2sinαcosα		r2sinαcosα
P =		=		=
	(sinα + cosα − 1)2		(1 − sinα)(1 − cosα)

	α   α   r2sinα(cos2 − sin2 )   2   2
=		=
	α   α   α   (sin − cos )2 * 2sin2   2   2   2

	α   α   α   r2cos (cos + sin )   2   2   2
=		=
	α   α   α   (sin − cos ) * sin   2   2   2

	r2(1 + sinα)		α
=		* ctg
	cosα		2

Licząc końcówkę uwzględnij to pole, albo po prostu podaj wysokość ile wyszła, żeby można było sprawdzić wynik z odpowiedzią, bo osobiście liczyłem to zadanie kiedyś, ale nawet nie wiem czy mam rozwiązanie

Saizou: dzisiaj to policze ale jak sie wyspie, a terez lece, takze do dzis

Godzio: Do dziś

Godzio: I jak tam ?

Saizou : właśnie ni jak, nie mam pomysłu

Godzio: Dam zaraz jakieś wskazówki, ale chwilkę mi to zajmie, bo chce rysunki porobić

Saizou : spoko, mam nadzieję że nie zabraknie mi zeszytu

Godzio:

Godzio:

	r
|GE| =
	√2

	β
|GH| = |GE| * ctg
	2

Dobra, to pora na wskazówkę. Wsk. Znajdź trójkąty podobne (jeden z nich to oczywiście trójkąt SCD bo z niego chcesz wysokość). Uzasadnij dlaczego są podobne.

Godzio: Na RYS 1 kropka powinna być przy C oczywiście (nie wiem dlaczego tam mi się nacisnęło)

Saizou : Godzio szczerze ci powiem ze dzisiaj nie chce mi się myśleć

Godzio: Nie ma sprawy Może kiedy indziej

Saizou :

	β
H=r√2ctg
	2

Godzio: Nie. r√2 jest dobrze

Godzio: Najpierw ustal, które trójkąty są podobne.

Saizou : jak to

	√2		β
GH=		rctg
	2		2

CS=r√2

	√2
CG=		r
	2

H		√2   β   rctg 2   2		β
	=		⇒H=r√2ctg
r√2		√2   r 2		2

Saizou : chyba już wiem CS=r√2+r

Saizou : ΔSCD~ΔCGH (kk)

DS		GH
	=
CS		CG

Godzio: Ok |CS| = r√2 (bez + r)

Saizou : tylko gdzie jest błąd w takim razie?

Godzio: Hmmm, ale teraz się zastanawiam, czy jest to poprawne (chodzi o CG, czy to musi być połowa przekątnej ?)

Godzio: Muszę się chwilę zastanowić

Saizou : tak by raczej było

Godzio: No dobra, już widzę

|DS|		|GH|
	=		(a nie |CG| !)
|CS|		|HC|

Saizou :

	√2		β
CH=		r√1−ctg2
	2		2

Saizou :

	β   ctg   2
H=r√2
	β   √1−ctg2   2

i wystarczy policzyć objętność

	1		β   ctg   2		2r2sinαcosα
V=		r√2		*
	3		β   √1−ctg2   2		(sinα+cosα−1)2

Godzio:

	β
Ok, można było trochę uprościć z tym ctg2
	2

Zadanie całkiem trudne

Saizou : a no bardzo ciekawe