wektory zadanie: wypisz wszystkie wektory wlasne przeksztalcenia liniowego zadanego macierza

	−(4/5) (3/5) (3/5) (4/5)
A=		.

ale jak wszystkie? przeciez takich wektorow jest nieskonczenie wiele. obliczylem np. takie:

1 3		−3 1
	i

MQ: Wszystkie pozostałe, to jakaś stała razy te, które policzyłeś. Zazwyczaj normuje się ich długość do 1.

zadanie: wartosci wlasne to: 1 oraz −1.

	1 3		−3 1
wektor wlasny dla 1 to np.		a dla −1 to		(sa one do siebie prostopadle bo to

macierz symetryczna) dana w zadaniu macierz jest macierza ortogonalna

	x y
niech		bedzie wektorem wlasnym dla t=1

x y		x 3x
	=

dlugosc musi byc rowna 1 czyli 10x²=1

	1
x2=
	10

	√10		√10
x=−		lub x=
	10		10

	3√10		3√10
dla y=3x mam : y=−		lub x=
	10		10

	−( (√10)/10) −( (3√10)/10)
czyli wektor wlasny to np.		oraz

	√10		3√10
N={		}{		}
	10		10

dobrze o to chodzilo? ale nie wiem o jaka stala chodzi?

MQ: Chodzi mi o to, że możesz sobie tak wyliczony wektor własny pomnożyć przez dowolną stałą i też będzie wektorem własnym do tej wartości własnej. Wynika to bezpośrednio z definicji: Ax=λx więc Akx=λkx, jeżeli tylko k jest skalarem (liczbą).

MQ: Aha, i skończ z tym licealno−maturalnym nawykiem usuwania niewymierności z mianownika. Po prostu wystarczyło napisać

1	1 3
√10

1	−3 1
√10

zadanie: czyli odpowiedz na pytanie w zadaniu jest taka: wektory wlasne sa postaci

1	1 3		1	−3 1
		oraz			?
√10			√10

MQ: Tak, lub jeśli się boisz tej stałej przed wektorem, to możesz napisać:

1/√10 3/√10
	i odpowiednio drugi.

zadanie: dziekuje

zadanie: Oblicz pole rownolegloboku rozpietego na jednostkowych wektorach wlasnych przeksztalcenia

	4 −1 2 1
liniowego zadanego macierza

wartosci wlasne tej macierzy to 2 oraz 3

	y/2 y		y y
wektor wlasny dla t=2 to np		a dla t=3

jezeli maja byc jednostkowe tzn. sa dlugosci 1. czyli

	y/2 y		y y
|		|=1 oraz |		|=1

	4		1
ale wychodzi mi y2=		oraz y2=		wiec nie beda rowne
	5		2

prosze o pomoc

MQ: Co ty kombinujesz z tymi y−ami? Wektory własne normujesz do 1 każdy z osobna.

MQ:

	1	1 1
Ten dla λ=3 masz
	√2

Ten drugi se policz

MQ: A zresztą, co mi zależy:

	1	1 2
dla λ=2 masz
	√5

zadanie:

	1
czyli pole tego rownolegloboku to		.
	√10

MQ: Na to wychodzi

zadanie:

	1 4 4 7
znajdz wartosci i wektory wlasne przeksztalcenia A zadanego macierza		. oblicz

A⁷(3, 1). wartosci wlasne to t=−1 oraz t=9

	1 −(1/2)		(1/2) 1
wektory wlasne to odpowiednio dla wartosci wlasnych:		oraz

i teraz trzeba obliczyc A⁷ wyznaczajac najpierw macierz przejscia i macierz diagonalna.

	3 1
a potem pomnozyc to co wyjdzie przez wektor		. tak?

zadanie: ?

MQ: Tak

zadanie: Podaj macierze wszystkich izometrii liniowych F: R²→R² takich, ze

	3		4
F(1, 0)=(		,		).odpowiedz uzasadnij.
	5		5

moge prosic o pomoc

zadanie: za bardzo nie wiem o co chodzi

Mila:

	3		4
Niewiele pamietam, ale może chodzi o to, że obrazem punktu(1,0) jest punkt (		,		) ?
	5		5

	3		4
np. x'=		x−		y
	5		5

	4		3
y'=		x+		y
	5		5

Zaglądnij do notatek z tego działu. Może MQ , albo Trivial tu spojrzy.

Godzio: A jakie są warunki, aby F była izometrią ? (macierz chyba nietrudno wyznaczyć ? )

zadanie: nie zmienia odleglosci

Mila: Ale wyznacznik? Jaki?

zadanie: nie wiem czy o to chodzilo

zadanie: wyznacznik jest rowny −1 albo 1