Rów ciąd dalszy Radek: Rozwiąż równanie 4sin2x+9tgx=10cosx dla x ∈<0 ,2 π>

	9sinx
8sinxcosx+		−10cosx=0
	cosx

Mogę pomnożyć przez cosx

Eta: Możesz, bo z założenia ze względu na tangens cosx≠0

Mila: No, gdzie Ty bywałeś dotąd? Możesz . Załóż, że cosx≠0 bo jest w mianowniku. x≠...?

Radek: Robiłem dużo zadań, bo mam zaległości.

Radek: cosx≠0

	π		3π
x≠{0,		,		}
	2		2

8sinxcos²x+9sinx−10cos²x=0 8sinx(1−sin²x)+9sinx−10(1−sin²x)=0 8sinx−8sin²x+9sinx−10+10sin²x=0 2sin²x+17sinx−10=0?

Eta: Otrzymasz równanie st 3 z sin³x sprawdź mnożenie

Mila: Witaj Eto, zostawiam Was, randkujcie matematycznie.

Radek: 8sinx−8sin³x+9sinx−10+10sin²x=0 −8sin²x+10sin²x+17sinx−10=0 8sin³x−10sin²x−17sinx+10=0 sinx=t t∊<−1,1> 8t³−10t²−17t+10=0 ?

Radek: A po drugie wstyd mi tak o wszystko pytać, więc próbuję sam dojść do rozwiązania.

Eta:

	1
ok sprawdź teraz W(		)
	2

Radek: (t−0,5)(8t²−6t−20)=0

	5
(t−0,5)(t+		)(t−2)=0
	4

	1
sinx=
	2

	π		5π
x=		lub x=
	6		6

Eta: ok

Radek: Ma Pani dużo czasu bo jeszcze zostało 30 równań ?

Eta: Rozwiązuj, a jak masz pytania, to pytaj ...... dzisiaj jestem na forum tak co 20 min ale zawsze ktoś Ci pomoże ( jak mnie nie będzie) Powodzenia

Mila: Pisz, zaglądam.

Radek: 8sin³x=8sin³xcos2x+1−cos2x w przedziale <0,2π> 8sin³x=8sin³x(cos²x−sin²x)+1−(cos²x−sin²x) 8sin³x=8sin³x(1−sin²x−sin²x)+1−(1−sin²x−sin²x) 8sin³x=8sin³x(1−2sin³x)+1−(1−2sin²x) 8sin³x=8sin³x−16sin⁵x+1−1+2sin²x 16sin⁵x−2sin²x=0 /2 8sin⁵x−sin²x=0 sin²x(8sin³x−1)=0

	1
sin2x=0 lub sin3x=
	8

	1
sinx=0 lub sinx=
	2

	π		5π
x={0,π,2π,		,		}
	6		6

?

bezendu: Wydaję się ok.

Mila: Ekstra.

Eta:

Radek:

	1
A to nie wiem sinxcosx=		?
	4

Eta: pomnóż obustronnie przez 2

Eta: Jesteś?

Radek:

	1
2sinxcosx=
	2

	1
2x=
	2

	1
sin2x=
	2

	π		5π
2x=		2x=
	6		6

Eta:

	π		5π
2x=		+2kπ v 2x=		+2kπ , k∊C
	6		6

x=.... v x=.......

Radek:

π		5π
	+kπ lub x=		+kπ
12		12

Eta: ok

Radek: 4+sinxcosx−5sin²x=4cos²x <0,2π> 4+sinxcosx−5sin²x=4(1−sin²x) 4+sinxcosx−5sin²x=4−4sin²x sinxcosx−sin²x=0 sinx(cosx−sinx)=0 sinx=0 x={0,π,2π}

	π
cosx=sinx =		o co w tym chodzi ?
	4

Eta: Zobacz z wykresu kiedy cosx = sinx , to x=....

	π		π		π
lub sinx= cosx ⇒ sinx= sin(		−x) ⇒ x=		−x ⇒ 2x=		⇒ x=.....
	2		2		2

Radek:

5π
	?
6

Eta: O co pytasz?

	π		π
Tylko tyle ma być 2x=		+2kπ ⇒ x=		+kπ
	2		4

Radek:

	1
cos4x−sin4x=		<0,2π>
	2

	1
(1−sin2x)2−sin4x=
	2

	1
1−2in2x+sin4x−sin4x=
	2

	1
1−2sin2x=
	2

	1
−2sin2x=−
	2

	1
sin2x=
	4

	1		1
sinx=		lub sinx=−
	2		2

	π		5π		7π		11π
x={		,		,		.		}?
	6		6		6		6

Radek: Czy prawidłowo wyszło ?

Eta: 2 sposób

	1
(cos2x+sin2x)(cos2x−sin2x)=
	2

	1
cos2x=		⇒ 2x= =....... v 2x=.......
	2

x=....... v x= ....... Twój sposób, też ok

Radek: Ale Pani wyszły dwa rozwiązania a u mnie 4 ? co mam źle ?

Eta: Ja nie wybierałam ich z przedziału <0,2π> .... zostawiłam to Tobie ......

Radek: ale ja już napisałem rozwiązanie 22:05 ?

PW: Wynik poprawny, jednak mniej rachunków byłoby, gdybyś zauważył, że cos⁴x−sin⁴x = (cos²x−sin²x)(cos²x+sins²x) = (cos2x)•1

Eta: Ooo ... PW się "obudził"

Radek: tg3x=tg ?

Mila: Można inaczej: cos⁴x−sin⁴x=(cos²x+sin²x)*(cos²x−sin²x) To masz równanie:

	1
1*cos(2x)=		i x∊<0,2π>
	2

	π		π
2x=		+2kπ lub 2x=2π−		+2kπ
	3		3

	π		5π
x=		+kπ lub x=		+kπ
	6		6

	π		5π		7π		11π
x∊{		,		,		,		} to samo co u Ciebie
	6		6		6		6

Eta: 3x= x+k*π ⇒ .......

Eta: Oooo ... teraz Mila się "obudziła" ( co z Wami? ( czytaliście mój 2 sposób?

PW: Eta, nie mam szans. Radek, dowcip w tym, że jeśli x∊[0,2π], to 2x∊[0, 4π]. Inaczej mówiąc funkcja cos(2x) ma okres π, a więc na przedziale [0,2π] "wahnie się" dwa razy.

Radek: a ten tg3x=tg ? 3x=?

Mila: Eto nie czytałam, bo nie było, gdy zaczęłam pisać. Od przybytku głowa podobno nie boli. Pozdrawiam. dla PW też.

Mila: Radek zobacz jednak, co napisałam 22:15, to będziesz wiedział dlaczego 4 rozwiązania, chociaż PW napisał.

PW: Uwaga, zaraz Radka zamordują. Zaczyna "dzielić przez tangens".

Radek: Ja nie dzielę przez nic? ja się pytam jak to rozpisać ?

PW: N ie ma argumentu po prawej stronie, tg³x=tg to napis bez sensu.

Radek: ale ja napisałem tg3x=tg

PW: Tak samo bez sensu.

Radek: tg3x=tgx

PW: Długa droga.

	tgα+tgβ
tg(α+β) =
	1−tgαtgβ

(ale Ty to sprawdź, bo pora późna, a cytuję z pamięci). Wstawiając 3x=2x+x przybliżamy się nieco do rozwiązania.

Radek: A tak jak Pani Eta rozpisała ?

PW: Nie wiem o co idzie. W innym wątku?

Radek: 3x= x+k*π ⇒ .....

Radek: Może ktoś wytłumaczyć ?

PW: Też pięknie, przepraszam − mam tendencję do zawiłego rozwiązywania prostych spraw. Oczywiście, tangens osiąga te same wartości dla dwóch róźnych argumentów 3x oraz x. Oznacza to, że argumenty różnią się o wielokrotność π, czyli 3x − x = kπ, to znaczy 2x = kπ. Chyba muszę się już na dzisiaj wyłączyć.

Radek: Jeszcze kąty połówkowe i takiego czegoś nie rozumiem sin4xcos2x+16sinxcos³x=4sin2x w przedziale <0,2π >.

Radek: ?

PW: sin4x = 2(sin2x)(cos2x) − wzór połówkowy 16sinxcos³x = 8(2sinxcosx)cos²x = 8sin2xcos²x (ten sam wzór połówkowy "w drugą stronę") W ten sposób uprościmy równanie, bo w każdym składniku jest czynnik sin2x.

Radek: Dzięki a np sin3x ? jak rozpisać ?

Eta: sin4x= 2sin2x*cos2x , 2cos²x−1= cos2x 2sin2x*cos2x*cos2x+8*2sinx*cosx*cos²x−4sin2x=0 2sin2x*cos²2x +8sin2x*cos²x−4sin2x=0 sin2x(cos²2x+4cos²x−2)=0 sin2x=0 v cos²2x +2(2cos²x−1)=0 ⇒ cos²2x+2cos2x=0 dokończ......

Eta:

	1		3x		3x
sin3x=		sin		*cos
	2		2		2

Radek:

π		3π		5π		7π
	,
4		4		4		4

Radek: ?

Radek: ?

Mila: Pogubiłam się . Napisz pytanie, bo nie wiem o co chodzi?

Radek: Chodzi o rozwiązanie tego równania sin4xcos2x+16sinxcos³x=4sin2x w przedziale <0,2π >

Mila: Sprawdzam i napiszę ewentualne uzupełnienia.

Mila: Jeśli to takie równanie, sprawdź zapis, to trochę się różnimy. sin4xcos2x+16sinx cos³x=4sin2x

Mila: Najlepiej pisz argumenty sinusa i cosinusa w nawiasach.

Radek: Takie jak 18:04

Mila: 1) sin(2x)=0 i x∊<0,2π> 2x=0+kπ/2

	kπ
x=
	2

	π		3π
x=0 lub x=		lub x=π lub x=		lub x=2π
	2		2

z drugiego czynnika obliczać?

Radek: Tak.

Mila: Z drugiego czynnika mam to co u Ciebie 23:31 Miałam równanie:

	1
cos2x=
	2

Radek: Mogę jeszcze liczyć na pomoc w kilku przykładach ?

Mila: Pisz.

Radek:

	x
2cox(x)+3=4cos(		) ?
	2

Wskazówkę proszę.

Radek: Jest Pani ?

Eta:

	x
zastosuj : cos(x)= 2cos2		−1
	2

Radek: A skąd ten wzór ?

Eta: cos2α= cos²α−sin²α= cos²α−(1−cos²α) = 2cos²α−1

	α
to: cosα= 2cos2		−1
	2

czy teraz jasne ?

Mila:

Radek: 2cos²x−1 to rozumiem ale czemu to zrobiło się

	x
2cos2		−1 ?
	2

Eta: Zamiana na kąty połówkowe ! cos(2α)= 2cos²(α) −1 ( miara kąta po prawej stronie dwa razy mniejsza od miary kąta po lewej

	α
to cos(α)= 2cos2
	2

np: cos(4α)= 2cos²(2α)−1 itp

Radek: Ale ja nie wiem jak zamienia się na kąty połówkowe,

Eta:

	α
poprawiam chochlika : to cos(α)= 2cos2		−1
	2

Eta: Przeczytaj co zapisałam słownie ( miara kąta po prawej......

Radek: Dobrze.

Eta: Co..." dobrze"? ..... rozumiesz już? czy jeszcze nie?

Radek: Rozumiem.

Eta: ok

Radek: Zaraz kolejne dam.

Radek: rozwiąż równanie

	1
3tg2x+		=−1
	sinx

3sin2x		1
	+		=−1
cos2x		sinx

cosx≠0 i sinx≠0

	π		3π
x≠{0+2kπ,π+2kπ,2π+2kπ,		+2kπ,		+2kπ} ?
	2		2

na razie chodzi tylko o dziedzinę nie chcę żeby ktoś rozpisywał

Radek: ?

matyk: różne od pi/2 + k*pi i różne od k*pi

Eta: Spójrz na wykresy: sinx≠0 ⇔ x≠k*π

	π
cosx≠0 ⇔ x≠		+kπ . k∊C
	2

Eta: https://matematykaszkolna.pl/strona/426.html

Eta: https://matematykaszkolna.pl/strona/427.html

Radek: Dziękuję, wszystkie równania już zrobione.

Mila: Tylko, czy dobrze?. Jeśli zapisujesz tutaj, to sprawdzamy.

Radek: Wyniki zgadzają się z książką, jeszcze jutro poszukam jakiś zadań. A teraz mogę jeszcze prosić o pomoc w analitycznej bo mam jeszcze 160 zadań do zrobienia ?

Mila: Nie pytaj, tylko pisz, wszyscy Ci pomogą.

Eta: @Radka załóż nowy wątek w nowym poście