Znaleźć liczby rzeczywiste (liczby zespolone) Kuba: Witam, mam takie zadanko: Znajdź liczby rzeczywiste x, y

x		y
	+		=1
2−3i		3+2i

I nie za bardzo wiem jak się za to zabrać. Gdzieś kilka dni temu widziałem podobne zadanie (na tych samych liczbach) ale tam było mnożenie a tu mam dodawanie. Proszę o pomoc.

Trivial: Równania zespolone to układ dwóch równań rzeczywistych − muszą zgadzać się i części rzeczywiste, i części urojone. a + ib = c + id ⇔ a = c ⋀ b = d Wystarczy sprowadzić to równanie do postaci (A,B − rzeczywiste):

	⎧	A = 1
A + iB = 1 ⇔	⎨
	⎩	B = 0

ICSP: Trivial uczyłeś mnie kiedyś pewnej metody rozwiązywania równań zespolonych Pamiętasz to może ?

Trivial: To, że coś tam, kiedyś − pamiętam. Ale co konkretnie?

ICSP: Chodzi mi o tą metodę To nie były równanie wielomianowe tylko takie fajne równania z modułami i innymi tego typu wymysłami

Kuba: po napisaniu pytania, doszedłem samemu do wyniku. Już to ogarnąłem, ale dzięki za fatygę

Trivial: ICSP, chodzi Ci o jedno z tych? https://matematykaszkolna.pl/forum/100291.html https://matematykaszkolna.pl/forum/100463.html

ICSP: Te wzory znam Dla mnie podstawowe wzory przy liczeniu niektórych całek Bardziej chodzi mi o równania typu : z * |z| = 2ź Jakaś prosta metoda pozwalająca to szybko rozwiązać

Kuba: Proszę jeszcze o pomoc przy : z²+3 +3(sprzężona(z)) = 0

Trivial: ICSP, można podstawić sobie z = R*e^iφ wtedy: R*e^iφ*R = 2R*e^−iφ z = 0 − OK, a jak nie to dzielimy przez R Re^2iφ = 2 → R = 2, e^2iφ = 0 → φ = 0 lub φ = π Rozwiązania: z = 0, z = 2, z = −2.

Kuba: Jest ktoś w stanie mi pomóc z zadaniem: z²+3(sprzężenie(z))=0

Trivial: Podstaw z = Re^iφ z² + 3z* = 0 R²e^2iφ + 3Re^−iφ = 0 z = 0 lub dzielimy przez Re^−iφ Re^3iφ = −3

	π		5π
R = 3, e3iφ = −1 → φ =		, π,
	3		3

zatem z = 0, 3e^iπ/3, −3, 3e^5iπ/3

Kuba: A można to jakoś uprościć ? dopiero zaczynam liczby zespolone, i to co napisałeś nie za bardzo mi pomaga. Póki co wiem że z = a + bi a z* = a−bi Nie za bardzo wiem co oznacza ten twój wzór. Ewentualnie proszę o jakieś wytłumaczenia.

Trivial: Możesz podstawić z = x + iy i liczyć. z² + 3z* = 0 x²−y² + 2ixy + 3x − 3iy = 0

⎧	x2−y2 + 3x = 0
⎩	2xy − 3y = 0

Kuba: Tak, tyle że to co mi pokazałeś wyżej wygląda na szybsze. Możesz mi chociaż powiedzieć co to za wzór, albo jak go używać? Bo do tego co wyzej napisałeś doszedłem tylko właśnie jest duzo liczenia.

Trivial: Jest to postać wykładnicza liczby zespolonej. http://www.math.put.poznan.pl/~grzesiak/PostacWykl.pdf Jeśli nic Ci to nie mówi, to skorzystaj ze sposobu z układem równań.

ICSP: właśnie o to mi Trivial chodziło to podstawienie ma jakaś nazwę ?

Trivial: ICSP, tak: podstawienie trywialne. Nie wiem. Ja w ogóle nie miałem tego typu równań na zajęciach i szczerze mówiąc jeszcze nigdy się z nimi nie spotkałem w fizyce i elektronice.

ICSP: a znasz jeszcze jakieś ciekawostki związanie z liczbami zespolonymi ? Jakieś fajne niestandardowe metody ?

Trivial: Nie wiem czy to dla Ciebie "fajne", ale jest sposób na obliczanie całek typu

	1
∫−∞+∞		dx
	x4+1

przy użyciu residuów.

ICSP: Właśnie Co to jest ten residus. Tak w jednym zdaniu gdybyś mógł opisać

Trivial: ICSP, wiem tylko jak z residuów korzystać. Skąd się biorą niestety Ci nie wyjaśnię. Rozwija się funkcję f w szereg Laurenta, a residuum to nic innego jak a₋₁ tego rozwinięcia. http://pl.wikipedia.org/wiki/Szereg_Laurenta http://pl.wikipedia.org/wiki/Residuum Występują jakieś tam związki z całkami zespolonymi (które podobne są do krzywoliniowych). Okazuje się że całki po krzywej zamkniętej można zwijać do całek z residuów wewnątrz tej krzywej (zamiana troszkę podobna do tej z twierdzenia Greena). Coś tam, coś tam i zachodzi wzór: ∫_C f(z)dz = 2πi*∑_k res_z=zk[f(z)].

ICSP: więc to jeszcze nie jest mój poziom niestety ( a może jednak i na szczęście )