... Trivial: ICSP. Masz ochotę na zadanko z liczb zespolonych?

ICSP: Możesz dać. Tylko takie abym był wstanie zrobić.

Trivial: A miałeś z ostatnim problemy?

ICSP: którym ostatnim?

Trivial: Jednym z ostatnich.

ICSP: którym z ostatnich?

Trivial: np. z rozłożeniem na sumę sinusów sin(x)cos(3x)cos(5x).

ICSP: yy tego nie zrobiłem jeszcze. Nie rozumiem polecenia

Trivial: A co tu rozumieć, trzeba zapisać w postaci z e i wymnożyć.

ICSP: no to może zrobię niedługo a jutro dasz mi to zadanko.

Trivial: W sumie to chyba zbyt skomplikowane to co chciałem dać...

rupert: ciekawa rozmowa

ICSP:

	1		1
si(x)cos(3x)(cos(5x) =		(eix − e−ix) *		(e3ix + e−3ix) *
	2i		2

	1
		(e5ix + e−5ix). Czy do tego momentu jest dobrze?
	2

Trivial: tak...

ICSP: dobra lecimy dalej:

1
	(e4ix + e−2ix −e2ix − e−4ix)(e5ix + e−5ix) =
8i

	1
		(e9ix + e−ix + e3ix + e−7ix − e7ix − e−3ix − eix − e−9ix)
	8i

Nadal dobrze? Nie mam pomysłów teraz.

Trivial:

1		1		1
	=		*
8i		4		2i

pozwijaj w sinusy

ICSP:

1		1
	*		([e9ix −e−9ix] −[e7ix − e−7ix] + [e3ix− e−3ix] − [eix −
4		2i

e^−ix])

	1
=		(sin9x − sin7x + sin3x − sinx) O to chodzi?
	4

Trivial: Tak. I nawet dobrze.

ICSP: co znaczy "i nawet"

Trivial: Bez błędu!

ICSP: mam nadzieję Słowo "pozawijaj" było tutaj kluczowe Możesz dać tamto zadanie

Trivial: Rozwiąż pozornie podstępną całkę: ∫sinxcos3xcos5xdx

ICSP: Trivial zauważ że ja jeszcze nie miałem całek i nie potrafię tego zrobić. Jedyne co z mojej wiedzy mogę wywnioskować to

	1		1
∫		(sin9x − sin7x + sin3x − sinx)dx =		(∫ sin9x dx − ∫sin7xdx + ∫ sin3xdx − ∫sinxdx)
	4		4

Trivial: A jak podpowiem, że:

	cosax
∫sinaxdx = −		+ c to dasz radę?
	a

ICSP:

1		1		cos9x		cos7x
	(∫ sin9xdx − ∫sin7xdx + ∫sin3xdx − ∫sinxdx) =		(−		+		−
4		4		9		7

	cos3x		1	cos9x		1	cos7x		1	cos3x
		+ cosx + C) = −			+			−
	3		4	9		4	7		4	3

	1		cos9x		cos7x		cos3x		cosx
+		cosx + C = −		+		−		+		+ C
	4		36		28		12		4

Trivial: rozwiązałeś właśnie całkę ∫sinxcos3xcos5xdx. Metody zespolonej przynajmniej na mojej analizie nie uczą. Większość studentów by nie rozwiązała tak ładnie. Brawo.

ICSP: skoro tej metody nie uczą w takim razie jak inaczej to zrobić?

Trivial: Nie mam pojęcia. Ja od razu idę w zespolone w takich całkach.

Trivial: Można pewnie coś przekształcić z wzorów trygonometrycznych. Ale to wymaga dużej ilości czasu...

ICSP: czyli nie wiesz jak to zrobić?

Trivial: To może jeszcze jedno zadanko trygonometryczne, tym razem prostsze i nawet bez zespolonych można łatwo rozwiązać. Przedstaw w formie liniowej wyrażenie: cos²x. Czyli to samo co poprzednio.

Trivial: ICSP, po co znać dziwne sposoby, skoro takie całki robi się szybko z zespolonych?

ICSP: "szybko" mi to troszkę zajęło. Co to jest forma liniowa wyrażenia?

Trivial: Tak to nazwałem... to samo co poprzednio

ICSP:

	1		1
cos2x =		(eix + e−ix)(eix + e−ix) =		(e2ix 1 + 1 + e−2ix) =
	4		4

	1		1		1		1
		(2 + e2ix + e−2ix)=		(2 + cos2x) =		cos2x +
	4		4		4		2

Trivial: ICSP, zapewniam cię... ze wzorów trygonometrycznych męczyłbyś się znacznie dłużej. Znacznie.

Trivial: Źle zwinąłeś.

ICSP: Z tymi 1 coś poplątałem?

Trivial:

	1
Źle zwinąłeś		(e2ix+e−2ix)
	4

ICSP:

1
	cos2x?
2

Trivial: Tak.

Trivial: I znów całka ∫cos²xdx, która jest całką umiarkowanie trudną staje się banalna.

ICSP: nie staje się banalna

ICSP:

	1
cos2x =		(cos2x + 1)
	2

Trivial: Staje się. Właśnie licząc całki nauczyłem się tej metody 'rozkładu' na czynniki 'liniowe'.

ICSP:

	1		1
∫cos2xdx =		∫(cos2x + 1)dx =		(∫cos2xdx + x + C)
	2		2

Trivial:

	sinax
∫cosaxdx =		+ c.
	a

Podobnie jak dla sinusa. Jeżeli znasz już wzory na pochodne, to możesz chwilę pomyśleć i też zrobisz.

ICSP: nie znam wzorów na pochodne funkcji trygonometrycznych

	1		sin2x		sin2x		1
=		(		+ x + C) =		+		x + C
	2		2		4		2

Trivial: Jak to nie! (sinx)' = cosx (cosx)' = −sinx. Prościej nie mogło być.

ICSP: nie umiem pochodnych liczyć. To mnie na razie przerasta. Może jak będę po granicach to sobie poradzę

Trivial: Spoko.

ICSP: dobrze. Na dziś już kończymy. Jeszcze jutro się pobawimy

Trivial: Z zespolonych już jesteś 'master'.

ICSP: Nie jestem. Nawet nie potrafię korzystać ze wzoru de Movier'a czy jakoś tak.

Trivial: A to ten wzór jest do czegoś przydatny? To taka postać e^iφ dla ubogich.

ICSP: Tak. Tylko ja znam tylko podstawy korzystania z e^iq. Ty kiedyś rozwiązywałeś równania za pomocą własnie tego. Dajmy np. x⁴ + 1 = 0

Trivial: To równanie akurat można łatwiej rozwiązać: x⁴+1 = (x²+i)(x²−i) = (x+i√ i )(x−i√ i )(x−√ i )(x+√ i ) x = ±i√ i , ±√ i .

	1+i
√ i = ±(		)
	√2

A więc ostatecznie:

	i−1		1+i
x = ±(		), ±(		).
	√2		√2

Trivial: Ale sposób z e^iφ jest równie dobry. Btw, φ jest pod przyciskiem 'inne'

Trivial: Idę spać. Dobranoc.