pole obszaru postać parametryczna kendzior: Witam wszystkich mam problem z rozwiązaniem zadania mam podaną funkcję w postaci parametrycznej : x=t²−1 y=t³−t i mam policzyć pole obszaru nie mając granicy, i tutaj mam problem : t³−t=0 t(t²−1)=0 t=0 t=−1 t=1 co będzie granicą całkowania bo jak dla mnie to t=−1/1 bo wtedy przecina oś ox chyba, że źle narysowałem wykres. jest wzór ∫ od a −b | y(t)* pochodna x(t)| pochodna x(t)= 2t po podstawieniu pod wzór wychodzi całka ∫t⁴−t² dt no i dalej normalnie jedyny problem polega na granicach całkowania, zadania zrobiłem (wydaje mi się poprawnie) jednak w odpowiedziach jest 1/2ln3 pozdrawiam i liczę na pomoc, już nakląłem tyle, że na bank pójdę do piekła pozdrawiam

AS: Mój wstępny wynik to: 8/15 Jak znajdę trochę czasu to jutro pomyślę.

Mila: Jest policzona na forum, szukaj .

Mila: https://matematykaszkolna.pl/forum/208340.html To chyba jest to, tam błąd w zapisie wzoru na początku, patrz rozwiązanie.

kendzior: witam ponownie, dałem radę rozwiązać to zadanie tylko mam parę pytań a Wasza odpowiedź pomoże mi zrozumieć zagadnienia. 1. Czy moje granice całkowania są poprawnie wyznaczone ? To znaczy czy dobrze rozumiem ich istnienie, czyli granice całkowania to miejsce w których wykres przecina os ox czyli jest to punkt 0 dla wartości t = −1 i 1 czyli granice całkowania to −1/1. Bo w przykładzie który podała @Mila ( wielkie dzięki za to), całka jest rozbita na 2 oznaczone od −1/0 i 0/1 więc wyjdzie na to samo. 2. Nie rozumiem dlaczego w tamtym przykładzie: P = −−1∫0(t3−t)*2t dt +→→ 0∫1 (t−t3)2t ←←dt = −1∫0(t−t3)*2t dt + 0∫1 (t−t3)*2t dt = została zamieniona kolejność, czy to nie da tego samego ? Przecież to jest ta sama całka tylko ma granice całkowania inne. Przykład zrobiłem jeszcze raz i wyszedł mi dobrze niby −8/15 ale we wzorze jest moduł. Mam również problem z przykładem dotyczącym pola powierzchni bryły: x=cos³t y=sin³t obliczam pochodne podstawiam pod wzór dochodzę do momentu gdzie mam do policzenia całkę ∫sin⁴xcos²dx , i nie wiem co z nią zrobić. Zamieniam sin⁴x na (sin²x)²cos²xdx następnie za sin²x wstawiam 1/2(1−cos2x) więc mam do policzenia całki ∫cos²x ∫2cos²2x ∫cos⁴2x i tutaj problem czy mam podstawić za t=2x i liczyć całki cos ² i cos⁴, czy jest jakiś inny sposób którego nie zauważam. Dziękuję za wszystkie odpowiedzi i liczę, że i tym razem mnie nie zawiedziecie. Pozdrawiam

Mila: 1) Pętla jest symetryczna względem OX i dlatego sa 2 całki w granicach od −1 do 0.(wzór górnego wykresu) W postaci parametrycznej jutro wytłumaczę, dziś już nie myślę, późno i gorąco. 2) całkę policzę Taka: ∫sin⁴xcos²x dx

Mila: Może jest łatwiejszy sposob, ale mam taki (dużo pisania) ∫sin⁴x*(1−sin²x)dx=∫sin⁴x dx−∫sin⁶x dx J₁=∫sin⁴x dx=∫sin³x *sinx dx= [sin³x=u, 3sin²x cosx dx =du; dv=sinx dx, v=−cosx] cd.=−sin³xcosx+3∫sin²x cos²x dx=−sin³x cosx+3∫sin²x*(1−sin²x) dx⇔ ∫sin⁴xdx=−sin³x cosx+3∫sin²xdx−3∫sin⁴x dx⇔(przenoszę ostatnią całkę na lewą stronę)

	3
4∫sin4xdx=−sin3x cosx+		∫(1−cos2xdx)
	2

	3		3		1
4∫sin4xdx=−sin3x cosx+		x−		*		sin2x⇔
	2		2		2

	1		3		3
∫sin4x dx= −		sin3x cosx+		x−		sin2x
	4		8		16

Drugą całkę policz podobnie. W razie kłopotów jutro napiszę.

kendzior: No właśnie taki sposób, też brałem pod uwagę, wielkie dzięki za rozwiązania − dalej dałem radę sam. Mogłabyś mi jeszcze wytłumaczyć postać parametryczną ? Dowiedziałem się, że nie jest to wymagane na mojej uczelni ale już za daleko zabrnąłem. Pozdrawiam i jeszcze raz dziękuję.

Mila: 1) Tu jest opracowaniedo zadania 1 http://oen.dydaktyka.agh.edu.pl/dydaktyka/matematyka/c_analiza_dla_leniwych/zestaw4/zestaw4/zad4zestaw4.pdf 2) Asteroida x(t)=cos³t y(t)=sin³t to jest równanie asteroidy i wg mnie obliczyłeś pole ograniczone asteroidą.(tak chciałeś, bo napisałeś , że ma byc pow. bryły obrotowej)

	3
P=		π
	8

Mila: https://matematykaszkolna.pl/forum/207751.html w Twoim zadaniu a=1

AS: Z postaci parametrycznej przechodzę do postaci y = f(x) x = t² − 1 ⇒ t² = x + 1 y = t³ − t = t*(t² − 1) = √x + 1*(x² + 1 − 1) y = x*√x + 1 Granice całkowania od −1 do 0

	2*(3*x − 2)
J = ∫x*√x + 1 =		*√(x + 1)3
	15

Po podstawieniu granic całkowania otrzymujemy P = |−4/15| = 4/15 Jest to pole połowy szukanego obszaru

AS: Korekta − w drugim wierszu ma być ... √x + 1*(x + 1 − 1)

kendzior: Bondziorno ! Ruszyłem dalej z materiałem i mam pytanie mam do policzenia całkę podwójną po obszarze x²+y²<2 x²+y² ∫dr 0/2 ∫0/2π [(rcosϱ)²+(rsinϱ)²]rdϱ dalej robię tak, że wyciągam r³ a cos² + sin² to 1, więc mam do policzenia całkę ∫r³dϱ, wyciągam r³ zostaje mi dϱ, wynik to r³ϱ. W granicach 0/2π wychodzi 2πr³ dalej liczę z tego całke 2π∫r³dr → (r⁴π)/2 granice całkowania 0/2 więc 16π/2 = 8π jednak wynik to 2π, gdzie robię błąd ? pozdrawiam, i nie dajcie się upałom

kendzior: to ja od razu z drugim problemem , mam przykład całką z trójkąta A (−4,0), B(0,2) C (2,0), są to inaczej 3 proste x=0, y1=1/2x+2, y2=−x+2, można to policzyć jako sumę dwóch obszarów, różnie ograniczonych, najpierw całka ∫−4,0 dx ∫ 0, 1/2x+2 (1+x−y)dy + ∫0,2 dx ∫ 0, −x+2 (1+x−y)dy − wtedy wychodzi −2, jednak można zamienić to na całkę w innej kolejności, nie wiem jak to się poprawnie nazywa , wtedy to będzie ∫0,2 dy ∫ 2y−4, 2−y (1+x−y)dx wtedy też wychodzi −2 ... w odpowiedziach jest 2, jednak gdy zamieni się granice całkowania na odwrót, wtedy wychodzi 2, ale chyba wtedy są źle, bo ograniczona jest y2 z góry i y1 z dołu, chyba, że się mylę Ale jeśli liczę najpierw po y potem po x to patrzę na wykres od strony czarnej strzałki, a gdy po x potem po y (zamiana) wtedy od strony czerwonej strzałki, mam rację ?

Mila: A (−4,0), B(0,2), C (2,0) AB: y=ax+b y=ax+2 −4a+2=0

	1
a=
	2

	1
y=		x+2
	2

BC: y=ax+2 2a+2=0 a=−1 y=−x+2 1⁰ Całkowanie względem zmiennej y, a następnie względem x (w stałych granicach) ₋₄∫⁰ [₀∫^0,5x+2(1+x−y)dy]dx=−4 ₀∫² [₀∫^−x+2(1+x−y)dy]dx=2 po dodaniu wynik :−2 2⁰ Całkowanie względem zmiennej x, a następnie względem y (w stałych granicach) Ustalamy granice dolna granica x=2y−4 górna granica x=2−y dolna granica y=0 górna granica y=2 ₀∫² [_2y−4∫^2−y(1+x−y) dx]dy=−2

Trivial: Milu, sprawdźmy wynik (granice ustaliłem sam): http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate[1%2Bx-y%2C+{x%2C+-4%2C+0}%2C+{y%2C+0%2C+0.5x+%2B+2}]+%2B+Integrate[1%2Bx-y%2C+{x%2C+0%2C+2}%2C+{y%2C+0%2C+2-x}] http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate[1%2Bx-y%2C+{y%2C+0%2C+2}%2C+{x%2C+2y-4%2C+2-y}] Wygląda na to że masz OK.

Mila: Trivial Dziękuję pięknie za sprawdzenie

kendzior: Dzięki, mógłby ktoś jeszcze sprawdzić tą całkę co dałem przed zadaniem z trójkątem ? Pozdrawiam