Uzasadnij,że bezendu: Uzasadnij,że dla każdej liczby całkowitej k liczba k⁶−2k⁴+k² jest podzielna przez 36 k⁶−2k²+k² t=k² t²(t²−2t+1) Δ=0

	2
t=		=1
	2

k²=1 k=1 lub k=−1 k²[(k−1)(k+1)]² (k−1)²k²(k+1) Komentarz: Są to trzy kolejne liczby całkowite z czego co najmniej jedna jest parzysta i jedna podzielna przez 3 więc iloczyn jest podzielny 6 a podniesiony do kwadratu dzieli się przez 36 ok ?

Basia: ok, ale można bez Δ (wzory skróconego mnożenia się kłaniają) k⁶−2k⁴+k² = k²(k⁴−2k²+1) = k²(k²−1)² = k²[(k−1)(k+1)]² = [(k−1)*k*(k+1)]² uzasadnienie w 100% w porządku

bezendu: Basia widziałem to rozwiązanie ze wzorem skróconego mnożenia https://matematykaszkolna.pl/strona/2996.html ale chciałem to zrobić ze zmienną pomocniczą t i stąd właśnie moje pytanie

Basia: ono jest w porządku, ale osoba biegle posługująca się wzorami skróconego mnożenia nie potrzebuje żadnej zmiennej pomocniczej innymi słowy: można jej użyć, ale nie jest to konieczne, ani tym bardziej obowiązkowe

bezendu: Dane jest równanie sinx=a²+1 z niewiadomą x wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których równanie nie ma rozwiązania a²+1>1 lub a²+1<−1 a²>0 lub a²<−2 a∊R\{0}

Eta: ok

bezendu: Witaj Eta

Eta: Hej

bezendu: Masz jakieś zadanko z nierównością albo równanie ? takie że a³b coś tam coś ?

Eta: Trapez

bezendu: Nie

Eta:

bezendu: Planimetrię chcę przerobić od podstaw w sierpniu wtedy będę się zgłaszał po zadania na razie męczę dowody ale nie z planimetrii (nie ładnie tak wytykać język )

Eta: 1/ Wykaż,że nierówność x⁴+2x³+3x²+2x+2>0 jest spełniona dla każdej liczby x€R

Eta: Też nieładnie tak krzyczeć .. "Nie"

bezendu: Ja nie krzyczę, ja zakomunikowałem, że nie chce planimetrii

Eta:

Eta: 2/ Wykaż,żedla każdej liczby całkowitej n liczba n⁵−5n³+4n−120 jest podzielna przez 30

bezendu: Eta w tym pierwszym wychodzi że nie pierwiastków w zbiorze liczb rzeczywistych więc jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą ?

Eta: Napisz jak rozwiązałeś !

Eta: 3/ Wykaż,że reszta z dzielenia wielomianu W(x)= (x¹⁵−2x⁴+10)²⁰¹³ przez dwumian (x−2) jest podzielna przez 512

bezendu: n=3 1 0 −5 0 4 −120 3 1 3 4 12 40 0 (n−3)(n⁴+3n³+4n²+12n+40) rozłożyłem to schematem hornera ale dalej nie mam pomysłu

Eta: 4/ Wykaż,że dla liczb x, y takich,że x+y=11 i xy=15 to suma kwadratów liczb x i y jest liczbą podzielną przez 13

Eta: To myśl,dotąd ........... aż znajdziesz "pomysł"

bezendu: x⁴+2x³+3x²+2x+2>0 x⁴+2x³+2x²+x²+2x+2>0 x²(x²+2x+2)+(x²+2x+2)>0 (x²+2x+2)(x²+1)>0 Δ<0 komentarz post 22:25 zgadza się ?

Eta: ok

bezendu: teraz to drugie jakoś muszę zrobić, bez wskazówek

Eta: I jeszcze jedno 5/ Wykaż,że liczba n⁷−n jest podzielna przez 7

Godzio: MTF c.n.d.

bezendu: z tą 7 jest proste robiłem to ostatnio ale gorzej z zadankiem z podzielnością przez 30

bezendu: Godzio zadanie z tą 7 zrobiłem inaczej od kiedy MTF jest w szkole średniej ?

Godzio: Jak ktoś sobie przerobi to jest

bezendu: n⁷−n n(n⁶−1) n(n³−1)(n³+1)=n(n−1)(n²+n−1)(n+1)(n²−n+1) n[(n+3)(n−2) +7][(n−3)(n+2)+7] (n−3)(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)(n+3)+7[(n−3)(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)(n+3)]

bezendu: To pokaż jak tym małym twierdzeniem to udowodnić ? można to zastosować np do zadania 22:22 czy tylko nⁿ−n ?

ICSP: n³ ≡ 0 v 1 v −1 mod 7 gdy n³ ≡ 0 to n ≡ 0 mod 7 więc n(n⁶−1) ≡ 0 mod 7 gdy n³ ≡ 1 v −1 to n⁶ ≡ 1 mod 7 ⇒ n⁶ − 1 ≡ 0 mod 7 więc i n(n⁶−1) ≡ 0 mod 7 c.k.d. Vax jak będziesz to sprawdź

Eta: Hej Godzio Wiedziałam,że taki dowód podasz

Eta: Z 30−tką też łatwe myśl..............

bezendu: ja czekam na dowód zajączka (może się pojawi w końcu ) do zadania 22:22

Eta: Zostaw w spokoju 120 , bo jest podzielna przez 30 wykaż podzielność przez 30 ... n⁵−5n³+4n ( teraz jasne jak........... to,że zajączki już śpią

bezendu: n⁵−5n³+4n−120 (n−3)(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)+20[(n−3)(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)]

bezendu: zajączek pewnie po Wielkiejnocy teraz i nie odwiedza forum

5-latek: Dotales juz wslkazowke zeby zostaic `20 w spokoju wiec n⁵−5n³+4n=n(n⁴−5n²+4) i rokladaj dalej Po rozlozeniu zuwaz iloczyn ilu czynnikow liczb caklowitych dostaniesz i komentarz

bezendu: ale zanim to napisałem nie było jeszcze postu Ety

Eta: dla "małolatka"

Saizou : yyyyyyyyyy...... witam, mogę się przyłączyć

Eta: Jasne,że możesz tylko do czego chcesz się "przyłączyć?

ICSP: możesz zrobić moje jak chcesz.

Eta:

Saizou : zawsze jest się do czegoś przyłączyć xd

bezendu: n(n⁴−5n²+4) n(n−2)(n−1)(n+1)(n+2) 5−latek tak też rozłożyłem czyli do tego momentu się zgadzało (n−3)(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2) 6 kolejnych liczb całkowitych

Eta: Zadanie dla Saizou 1/Wykaż,że jeżeli x₁ i x₂ są pierwiastkami równania

	1
x2+mx −		= 0 , dla m€R\{0}
	2m2

to: x₁⁴+x₂⁴ ≥ √2+2

5-latek: Eta dziekuje za przyjme nawet bo cukru u mnie raz dostatek lub niedostatek (po pracy) Bezendu zapisz to tak (n−2)(n−1)n(n+1)(n+2) −−−−−dostales iloczyn 5 czynnikow kolejnych liczb calkowitych czyli bedzie podzielna przez 5 a nad podzielnoscia przez 6 pomysl

5-latek: https://matematykaszkolna.pl/forum/208397.html Saizou dla Ciebie ostatnie dwa zadania z tego postu z planimetrii . Mowiles ze juz polubiles planimetrie

Godzio:

Saizou : zadanie do Ety

	1
x2+mx−		=0
	2m2

Δ≥0

	2
Δ=m2+		≥0
	m2

m⁴+2≥0 m∊R\{0} x₁⁴+x₂⁴= (x₁²+x₂²)²−2(x₁*x₂)²= [(x₁+x₂)²−2x₁*x₂]²−2(x₁*x₂)²=

	−b		c		c
[(		)2−2*		]2−2(		)2= jak przyjemnie że a=1
	a		a		a

	1		1
[m2+		)]2−		=
	m2		2m4

	1		1
m4+2+		−		=
	m4		2m4

	1
m4+		+2=
	2m4

	1
i wystarczy chyba teraz wykazać że m4+		≥√2, tylko na razie nie mam pomysłu
	2m4

Saizou :

	1
m4−√2+		≥0
	2m4

2m⁸−2m⁴√2+1≥0 m⁸+(√2m⁴+1)²≥0 suma kwadratów liczb o parzystych potęgach jest nieujemna, zatem dla m∊R\{0} x₁⁴+x₂²≥2+√2 cnu. yyyyyyy.....ale nie wiem czy dobrze

ICSP:

	1		1
m4 +		− √2 ≥ 0 ⇒ (m2 −		)2 ≥ 0
	2m4		√2m2

Saizou : a to co ja zrobiłem to dobrze jest ?

ICSP: nie

Saizou : a faktycznie bo mi się pojawi 3m³ , tyle przegrać

Saizou : a....czyli po prostu (√2m⁴−1)²≥0

ICSP: teraz dobrze

Eta: Można dokończyć też tak:

	1
x+		≥2 , x≠0
	x

	1		1		1		1
to 2+m4+		= 2+		*(√2m4+		≥2+		*2≥2+√2
	2m4		√2		√2m4		√2

Eta: Hej bezendu zad.3 i zad.4 ......... wciąż czekają na rozwiązanie !

bezendu: Hey Eta ale tu jeszcze z tą 30 nie jest dokończone

Eta: Echhhhhhhhhh iloczyn pięć kolejnych i 3 kolejnych .......... i bingo

bezendu: (n−1)n(n+1) są to 3 kolejne liczby całkowite z czego co najmniej jedna podzielna przez 3 i jedna parzysta więc podzielne przez 6 https://matematykaszkolna.pl/forum/208446.html post 15:35 i 15:36

Eta:

bezendu: a jeszcze zadanie 23:20 jest zrobione dawno i czeka na sprawdzenie

ICSP: Eta

	1
x +		≥ 2 gdy x > 0
	x

Prawdiłowo powinno być

	1
|x +		| ≥ 2
	x

Eta: też jest ok

Eta: oczywiście x>0

bezendu: teraz to z wielomianem głupotą raczej jest wstawianie za x 2 tu trzeba napisać stosowny komentarz

5-latek: bezendu np takie proste

	√11+√10		√11−√10
Wykaz ze liczba a=		+		jest liczba naturalna
	√11−√10		√11+√10

parzysta

Eta: Hej "małolatku" To zadanie na podstawę ....... za łatwe dla naszego bezendu

bezendu: Eta zobaczysz ten wielomian czy dobrze myślę

Eta: Pisz rozwiązanie! (mnie na maturze nie będzie dopiero za 3lata

Eta: To zadanie jest łatwiejsze, niż........ budowa ..........

5-latek: Dzien dobry Eta .Skoro tak mowisz no to np takie Wykaz ze (log₂3)⁻¹+(log₃2)⁻¹>2

bezendu: Eta to ja sobie poczekam i razem napiszemy maturę w zadaniu 5−latka wyszło 42 więc jest to liczba parzysta a nie chce mi się pisać całego rozwiązania bo za dużo pisania w końcu teoretycznie są wakacje

Piotr: Eta 5/ mam pytanie odnośnie zadania Wykaż,że liczba n⁷−n jest podzielna przez 7 Można te zadanie w ten sposób zrobić, że jeżeli ta liczba jest podzielna przez 7 to można ja zapisać tak: (n−3)(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)(n+3)⇔(n−3)(n+3)(n−2)(n+2)(n−1)(n+1)n i teraz powymnażać to przez siebie ? Można w ten sposób?

bezendu: @Piotr ja to zadanie tak zrobiłem właśnie zobacz mój post

Piotr: Tak, ale bezendu ja zaczynam od tego (n−3)(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)(n+3) więc troszkę inaczej niż Ty, tak mi się wydaje

bezendu: to masz tak jak ja 7 kolejnych liczb całkowitych

Piotr: (n−3)(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)(n+3)=n⁷−n−[14n⁵−49n³+35n]

Piotr: Ale ja inaczej to bezendu robie. Masz wyżej post (n−3)(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)(n+3) <== to wymnożylem przez siebie i otrzymalem to: n⁷−n−[14n⁵−49n³+35n]

5-latek: bezendu . Udowodnij to ze 42 jest liczba parzysta . Ja np nie wierze

ZKS: Udowodnij że dla m ∊ N liczba m⁶ + m⁴ − 2m² jest podzielna przez 72.

Eta:

Piotr: bezendu masz troche racji ze podobnie. Tylko, ja te zadanie jakos od konca zaczolem robic nie wiem czemu . Wypisalem (n−3)(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)(n+3) i powymnazalem

Eta: Ten uśmiech .... do "małolatka" Witaj ZKS

bezendu: 5−latek czy te oczy mogą kłamać

bezendu: 5−latek weź kalkulator i podziel sobie 42 na 2 nie wiem czy o to chodzi ale liczbę parzystą zapisujemy w postaci 2k k∊C niech k=21 wiec mnożąc liczbę parzystą razy nieparzystą otrzymamy nieparzystą

ZKS: Witam Eta.

Eta:

Eta: Te jabłuszka dla..... bezendu

Eta: Ilość jabłek ....parzysta

bezendu: Eta dziękuje ale wezmę tylko jedno ten post z godziny 16:36 jest ok ? czy to jakaś bzdura ?

Eta: Jasne,że ok

Eta: @bezendu Czemu jedno? skąd wiesz, które nie jest robaczywką

bezendu: szanse są 50 na 50 więc mogę zaryzykować

Piotr: Mogę przedstawić swoje rozwiązanie do zadania ZKS'a?

Eta: No tak 50+ 50 = 100 post Twój

bezendu: Eta edytuj ten post 16:36 bo tam jest byk mnożąc parzystą razy nieparzystą otrzymamy parzystą powinno być

Eta: Witaj, Piotr Jasne,że możesz

Piotr: Witaj, Eta Okej

Eta: To wykreśl "byka" ajjj nieładnie!

bezendu: I ja już muszę lecieć ale niech nikt nie robi tego zadania z wielomianem

Eta: Masz to jak w banku ( A .G)

ZKS: Które zadanie z wielomianem?

Piotr: Udowodnij że dla m ∊ N liczba m⁶ + m⁴ − 2m² jest podzielna przez 72. Założenie: m∊N oraz p∊N Teza: m⁶ + m⁴ − 2m²=72p Dowód: m²(m⁴+m²−1−1)=m²[(m²−1)(m²+1)+(m−1)(m+1)=m²[(m−1)(m+1)(m²+1)+(m−1)(m +1)=m²(m−1)(m+1)[m²+2]=m²(m−1)(m+1)[(m²−4)+6]=m²(m−1)(m+1)[{m−2)(m+2)+6 ]=m²(m−1)(m+1)(m−2)(m+2)+6m²(m−1)(m+1)=(m−2)(m−1)m²(m+1)(m+2)+ 6(m−1)m²(m+1) (m−2)(m−1)m²(m+1)(m+2) <== to iloczyn pięciu kolejnych liczb całkowitych. Na pewno jedna z tych liczb jest podzielna przez 2, druga z tych liczba podzielna przez 3 a że jest m² to będzie podzielna przez 9, trzecia z tych liczb jest podzielna przez 4. A więc 2*9*4=72 6(m−1)m²(m+1) <=== to iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych. Na pewno jedna z tych liczb jest podzielna przez 2 a że jest m² to będzie podzielna przez 4. Druga z tych liczb jest podzielna przez 3. A więc 6*4*3=72 Reasumując wyrażenie m⁶ + m⁴ − 2m² jest podzielne przez 72 c.n.u . Proszę o sprawdzenie

Piotr: Up

Eta: ok

Eta: Zostało zad.4 20 lipca 22: 32

Piotr: OK dzięki Eta . Ok ja spadam pospać troszkę, bo w nocy spać nie mogę

Piotr: Mogę te zadanie z wielomianem zrobić, bo bezendu pisal zeby nie rozwiazywac go . Az sie skusilem jeszcze na nie

Piotr: 3/ Wykaż,że reszta z dzielenia wielomianu W(x)= (x¹⁵−2x⁴+10)²⁰¹³ przez dwumian (x−2) jest podzielna przez 512. Reszta z dzielenia dwumianu (x−a) jest równa W(a) W(2)=(2¹⁵−2*2⁴+10)²⁰¹³ W(2)=(32768−32+10)²⁰¹³=(32746)²⁰¹³ (32746)²⁰¹³=16373²⁰¹³*2²⁰¹³=16373²⁰¹³*2⁹*2²⁰⁰⁴=512*16373²⁰¹³*2²⁰⁰⁴ A więc reszta z dzielenia jest wielokrotnością liczby 512 ,a więc na pewno jest podzielna przez 512 c.n.u

5-latek: Bezendu. Musialem wyjsc . dlatego tak dlugo nie odpisywalem. Tak wlasnie chodzi o to ze ma byc zapisane w postaci 2*k gdzie k∊N . Ja to wiem ze 42 jest liczba parzysta ale jest wiele osob ktorzy moga tego nie wiedziec Eta jak to tylko TY potrafisz usmiechasz sie pieknie i jutro kolo 15 poprosze Cie o bo bede po pracy i jak zwykle braknie cukru Piotr moze zrob tez to zadanie z 16.12

Piotr: Jeszcze nie miałem logarytmów w szkole. Co prawda miałem pod koniec czerwca ale to tylko wstęp był(2 lekcje). Więc nie podejmuję się tego zadania

5-latek: NO to prosze z wielomianow Wykaz ze nie istnieje taka wartosc parametru m gdzie m∊R aby reeszta z dzielenia wielomianu W(x)=x²⁰−mx¹⁷+(m−2)x⁹+2x+m²+2 przewz dwumian (x+1) byla rowna −1 .

ZKS: Piotr nie trzeba było aż tak tego wymnażać. W(2) = (2¹⁵ − 2 * 2⁴ + 10)²⁰¹³ W(2) = 2²⁰¹³(2¹⁴ − 2⁴ + 5)²⁰¹³ W(2) = 2⁹ * 2²⁰⁰⁴(2¹⁴ − 2⁴ + 5)²⁰¹³ W(2) = 512 * 2²⁰⁰⁴(2¹⁴ − 2⁴ + 5)²⁰¹³

5-latek: Piotrerk. To moze te z godz 00.34 srobuj rozwiazac.

Saizou : 4/ Wykaż,że dla liczb x, y takich,że x+y=11 i xy=15 to suma kwadratów liczb x i y jest liczbą podzielną przez 13 x²+y²=(x+y)²−2xy=11²−2*15=121−30=91=7*13=13t , t∊C

Piotr: ZKS można i też tak . Ale pierwszy pomysł padł na to Jakoś mi się skojarzyło z informatyką te dwójeczki(te różne systemy binarne,dwójkowe,dziesiętne− z tego wiedziałem od razu ile to jest 2¹⁰ i dlatego tak to zacząłem robić . 5−latek z wielomianem spróbuję, ale tych dalszych to raczej już nie

ZKS: Ja też wiedziałem ile to jest od razu 2¹⁰ więc wiedziałem że 2⁹ to 512.

Eta:

Piotr: Wykaz ze nie istnieje taka wartość parametru m gdzie m∊R aby reszta z dzielenia wielomianu W(x)=x20−mx¹⁷+(m−2)x⁹+2x+m2+2 przez dwumian (x+1) była równa −1 .

ICSP: reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian (x−a) to w(a) zatem u ciebie musisz pokazać że równanie w(−1) = −1 jest sprzeczne

Piotr: Wykaz ze nie istnieje taka wartość parametru m gdzie m∊R aby reszta z dzielenia wielomianu W(x)=x²⁰−mx¹⁷+(m−2)x⁹+2x+m²+2 przez dwumian (x+1) była równa −1. Dowód nie wprost, czyli zakładam że reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian (x+1) jest równa −1 Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian (x−a) jest równa W(a) W(−1)= −1 (−1)²⁰ − m*(−1)¹⁷+(m−2)*(−1)⁹+2*(−1)+m²+2= −1 1+m−m+2−2+m²+2=−1 m²+4=0 m²=−4 Co jest sprzeczne(brak rozwiązań). Gdyż kwadrat dowolnej liczby jest zawsze liczbą nieujemną. A zatem nie istnieje taka wartość parametru m, aby dzielenia wielomianu przez dwumian (x+1) była równa −1. C.n.u

Piotr: ICSP wiem tylko niechcący nacisnąłem ''wyślij''

5-latek: