zadania Eta: Wakacyjne "łamanie głowy" ....... trening dla przyszłych maturzystów Zad.1/ Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie długości "a" i ramionach długości "b" oraz kącie między ramionami 20^o Wykaż,że spełniona jest równość : a³+b³=3ab² zad.2/ Wykaż,że zachodzi równość: tg²36^o*tg²72^o=5 zad.3/ Jeżeli a,b>0 i a²+b²=10ab

	a−b
Oblicz wartość W=
	a+b

zad.4/ W trapezie ABCD , AB II CD .Wiedząc,że |AD|=DC| i |AC|=|BC| i |AB|=DC|+|BC| Oblicz miary kątów tego trapezu zad.5/ W [P[n]−kątnym wielokącie wypukłym liczba boków i liczba przekątnych są liczbami nieparzystymi. Wykaż ,że liczba n−1 jest podzielna przez 4 zad.6/ Kąty A, B, C są ostre i takie,że A+B+C= 90^o

	A+B		A+C		B+C
Wykaż,że cosA+cosB+cosC= 4cos		*cos		*cos
	2		2		2

Pozdrawiam i powodzenia maturzyści

ZKS: Hehe jak specjalnie zaznaczone dla maturzystów.

Dominik: mam jedno proste, ale ciekawe (przynajmniej w moim mniemaniu) zadanko. rozwazmy okregi O₁ i O₂ o srodkach odpowiednio w punktach S₁ i S₂ i promieniach r₁ i r₂. nalezy udowodnic, ze sa rozlaczne, gdy r₁ + r₂ < |S₁S₂|. powodzenia maturzysci.

ICSP: zad,7/ Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nowa liczbę, cztery razy większą od poprzedniej. Znaleźć liczbę a.

Piotr: Zadanie 3

	a−b
W=
	a+b

W(a+b)=a−b * ()² W²(a+b)²=(a−b)² W²(a²+2ab+b²)a²−2ab+b² W²(12ab)=8ab

	8ab
W2=
	12ab

	2
W2=		* √
	3

	2
IWI=√
	3

	2		2
W=√		v W=− √
	3		3

Hmm ?

Piotr: Nie wiem czy do kwadratu mogę w ogole podniesc

ICSP: co do zadania Dominika biorę : o₁ : (x−3)² + (y−2)² = 100 o₂ : (x−7)² + (y−2)² = 4 |S₁S₂| = 4 r₁ + r₂ = 12 12 < 4 Okręgi są oczywiście rozłączne.

ICSP: Oczywiście zadanie jest dla maturzystów Ja tylko próbuje wskazać błą w treści a nie je rozwiązywać

Piotr: @ICSP mozesz spojrzec na moje rozwiazanie zadania 3 ?

Dominik: oczywiscie chodzilo o rozlaczne zewnetrznie, przez nieuwage zapomnialem. chwali sie wynajdowanie takich bledow.

ZKS: Piotr wynik dobry.

Piotr: @ZKS tylko z tym kwadratem nie pewny nadal jestem, nie wiem czemu . Bo na przyklad prawa strona moze byc ujemna. Nie wiadomo czy obie strony sa dodatnie

ZKS: Tutaj masz tylko obliczyć wartość a nie rozwiązywać równanie więc w tym wypadku można podnieść do kwadratu. Identyczne są zadania przykładowo

	1
sin(x) + cos(x) =
	3

należy obliczyć wartość sin(x)cos(x) tutaj tak samo podnosimy do kwadratu obustronnie więc ja bym Ci uznał to zadanie z max ilością punktów ale lepiej niech się inni wypowiedzą.

Dominik: takze ISCP, mam nadzieje, ze bledow wiecej nie ma. nie jestem zbytnio doswiadczony w wymyslaniu zadan i takie drobne niunse moga mi uciec. jesli jest OK zostawmy je maturzystom.

Piotr: Ok, dzięki

ZKS: Zadanie to można zrobić w inny ale dłuższy od Twojego sposobu jeżeli masz wątpliwości. Skoro wiemy że a² + b² = 10ab to a² − 10ab + 25b² − 24b² = 0 (a − 5b)² − (2√6b)² = 0 (a − 5b − 2√6b)(a − 5b + 2√6b) = 0 Dla a = 5b + 2√6b

	5b + 2√6b − b		√6
W =		=
	5b + 2√6 + b		3

dla a = 5b − 2√6b

	5b − 2√6b − b		√6
W =		= −		.
	5b − 2√6b + b		3

Teraz wszystko jasne?

Piotr: Tak, jasne . Wpaść na Twój pomysł to huhu

Eta: zad3/ Można też tak: a²+b²= (a+b)²−2ab ⇒(a+b)²= 12ab ⇒|a+b|= 2√3ab i a²+b²= (a−b)²+2ab ⇒(a−b)²= 8ab ⇒|a−b| = 2√2ab W=.......

ZKS: Właśnie o to chodzi w matematyce że jest wiele sposobów na rozwiązanie zadanie ale trzeba dostać zawsze ten sam poprawny wynik.

Eta:

Piotr: Wiem, tutaj już są 3 sposoby a na pewno jest ich jeszcze z kilka. Na razie męczę się z 1 zadaniem

Eta: Męcz się męcz aż do skutku

Piotr: Eta zadanie 1 coś tw. kosinusów lub sinusów ? Czy inna bajka ?

Eta: sin3α=......

Piotr: Aż tak nie ogarniam trygonometrii, w szkole nie miałem jeszcze sin2α(funkcji sumy i różnicy) itd choć mnie to i tak nie usprawiedliwia

Eta: https://matematykaszkolna.pl/strona/1543.html

Piotr: No okej mam ten wzorek, tylko nie wiem kompletnie jak on ma się do tego zadania

ZKS: Dam jedno zadanie z wielomianów. Rozwiązać równanie: (x + 1)(x + 3)(x − 2)(x − 6) − 91x² = 0.

Eta: Na razie myśl zapisz sin10^o=.... (z trójkąta i sin30^o =... i już prawie ........

Piotr: Widzę ZKS nadal te równanko nie rozwiązane

Eta: Hej ZKS ....... niedawno było to zadanie

Eta: zad. ZKS: (x²+8x−6)(x²−12x+6)=0 x=.........

ZKS: Eta bardziej chodzi mi o sposób. Jak doprowadziłaś do dwóch nawiasów nie to że Cie chcę sprawdzić ale czy tym najłatwiejszym sposobem to zrobiłaś. Przepraszam za natręctwo.

ZKS: Malutki chochlik się wtrącił (x² + 8x − 6)(x² − 12x − 6) = 0.

Piotr: Zadanie 1 Doszedlem do takiego czegoś:

3ab2−a3
2b3

Eta: No i ładnie

3ab2−a3		1
	= sin3*10o=
2b3		2

dokończ.......

Piotr:

3ab2−a3		1
	=		* 2
2b3		2

3ab²−a³=b³ a³+b³=3ab² c.n.u

Piotr: Tak naprawdę to pierwszy raz w życiu użyłem tego wzoru sin3α

Marque: Eta jak Ty to robisz, ze pykasz sobie kazde zadanko? Zdradz sekret tak trwalej i skutecznej nauki matematyki. Za 300 dni matura, a ja widze u siebie duze braki

Piotr: Ja na przykład robię zadania różnego rodzaju, te zadania co Eta daję to są trudne , ale uczą myślenia

Eta: Hehe Rozwiązuj zadania ....światek, piątek i niedziele i tak "do końca świata i jeszcze jeden dzień dłużej"

Eta: @Piotra I co? ... trudne było?

Piotr: Nie było . Teraz łatwe, tylko nie znałem wzoru sin3α, bo co prawda miałem trygonometrię w I klasie, ale teraz w III klasie będę miał sin2α itd . Zadanie 3 też jakoś z tych wzorów czy nie?

Piotr: Przepraszam, zadanie 2 jak coś

Eta: zad2. na razie odpuść ( rozwiążesz je, jak pouczysz się szerzej trygonometrii)

Eta: Zad.4/ ( łatwe narysuj trapez i ........

Piotr: Ok. Widzę, że zadanie 6 też nie zrobię. Nad zadaniem 4 dzisiaj wieczorem pomyślę, bo tutaj trzeba dobry rysunek zrobić, ale jakoś nie chce mi wyjść. Dziękuję Eta za pomoc

Eta: Miłych snów ....... do jutra

Piotr: Dzięki i wzajemnie

Eta: zad.5/ ma być : W n−kątnym

Saizou :

	h
sin(180−2x)=
	a

	h
sin(2x)=
	a

a*sin(2x)=h

	h
sin(90−x)=
	b

bcos(x)=h a*sin(2x)=b*cos(x) 2sin(x)cos(x)*a=bcos(x) bo x∊(0:90) 2sin(x)*a=b

b
	=2sin(x)
a

	(a+a+b)*a*sin(2x)
Pt=
	2

	1		1		1
Pt=		a2*sin(2x)+		b2*sin(2x)=		sin(2x)(a2+b2)
	2		2		2

(2a+b)*a*sin(2x)		1
	=		sin(2x)(a2+b2)
2		2

(2a+b)*a*sin(2x)=sin(2x)(a²+b²) 2a²+ab=a²+b² a²+ab−b²=0 : a²

	b		b		b
1+		−(		)2=0		=t t>0
	a		a		a

−t²+t+1=0 Δ=1+4=5 √Δ=√5

	−1−√5		1+√5
t1=		=
	−2		2

	−1+√5		1−√5
t2=		=		sprzeczność
	−2		2

1+√5
	=2sin(x)
2

1+√5
	=sinx
4

no i teraz nie wiem jak policzyć dokładną wartość x

ICSP: policz cosx

Saizou :

	1+√5
sinx=		≈0,8090→x=54o czy tak by wystarczyło czy trzeba liczyć jakoś dokładną
	4

wartość

Eta: Hej Saizou Taki rys. wystarczy?

Saizou : witaj Eta a co z moim sposobem rozwiązania?

AS: W zadaniu 1) nie rozumiem po co jest dany kąt między ramionami = 20^o. Przecież podane a i b określają jednoznacznie trójkąt i to jeden.

Piotr: @AS właśnie przydał się ten kąt gdyż jak poprowadzisz wysokość to kąt podzieli sie na polowe i otrzymasz dwa trojkaty prostokatne

Piotr: Zadanie 5

n(n−3)
	<== wzór na ilość przekątnych w wielokącie; jest to liczba nieparzysta( z
2

założenia) n <== liczba boków w wielokącie; jest to liczba nieparzysta( z założenia) n−3 musi być podzielne przez 2 n−3 nie może być podzielne przez 4, gdyż n jest liczbą nieparzystą Gdy n−3 podzielimy przez 4 otrzymamy resztę 1. Resztę 3 odrzucam, ponieważ liczba (n−3) będzie podzielna przez 4. Reasumując: n=4p+1, gdzie p∊C 4p=n−1 c.n.u

Saizou : Eta a w tym moim rozwiązaniu jest gdzieś błąd

Saizou : Czy ktokolwiek mógłby odpowiedzieć na moje pytanie czy w moim rozwiązaniu zadania z trapezem jest gdzieś błąd

Eta: Hej Saizou

	1+√5
złota liczba		jest dokładną wartością cos36o
	4

	√10−2√5
sin36o=
	4

Poszukaj błędu lub jak radzi ICSP zastosuj cosα Nie chce mi się w tej "dżungli amazońskiej" szukać błędu, boję się krokodyli

Saizou : cos36^o=sin(90−54)=sin54^o <−−−− czy ja coś źle myślę ale to dżungla bez krokodyli i wszystkich innych stworzonek i niebezpiecznych roślin

Eta: Zastanawiam się ......... czemu uparłeś się na takie rozwiązanie? Z rys. w trójkącie ABC : 5α=180^o ⇒ α= 36^o i pozostałe miary kątów podajesz już bez problemu

Saizou : no bo takie mi pierwsze do głowy przyszło xd wiec warto wiedzieć jak je rozwiązać do końca

Saizou : Eto sin(54^o)= http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin54

Eta: Czyli ok ale musisz wykazać,że to dokładna wartość a nie jak napisałeś ≈ 54^o

Eta: Tak, tak ( pomyłkowo wpisałam

Saizou :

	1+√5
a czy bazując na wiedzy że przybliżona wartość kąta ≈54o mogę pokazać, ze sin54o=
	4

Eta: I wszystko jest ok ( bo nie spojrzałam na oznaczenia na Twoim rys.

Saizou : czyli i tak trzeba wyliczyć wartość sin(54) ?

Eta: Tak

Eta:

	1+√5		1+√5
Dopisujesz tak: cos36o=		⇒ sin54o=
	4		4

Saizou : i co mi to da, bo jakoś nie myślę już o tej porze

Eta: Jak to co? ( na Twoim rysunku) <B= 36^o <A= 2*36^o <C= ... .. <D= ....... Kwestionowałam Twoją odp: 54^o (dlatego,że nie spojrzałam na oznaczenia na Twoim rys) Zasugerowałam się oznaczeniami katów z mojego rys.

Saizou :

	1+√5
nic się nie stało, bo cały czas myślałem że muszę udowodnić że sin54=		, ale jak nie
	4

trzeba to resztę ogarniam jak najbardziej

Eta: Tak naprawdę wypadałoby to udowodnić....... lub napisać,że ta wartość jest Ci znana ! (jak 2*2=4

Saizou : to dziękuję za rozwianie moich wątpliwości, postaram się jutro udowodnić tego sinusa

Eta:

Eta: Jutro wrzucę kilka zadań z planimetrii Miłych snów

Saizou : planimetria nawet się przyjemna zrobiła i również kolorowych

bezendu: To znaczy w piątek?

Saizou : bezendu przebywam właśnie w Hiszpanii i jeszcze mamy środę (dżołk)

Saizou : sin54=cos36 sin(3*18)=cos(2*18) 3sin18−4sin³18=1−2sin²18 4sin³18−2sin²18−3sin18+1=0 sin18=t t∊(0:1) 4t³−2t²−3t+1=0 (t−1)(4t²+2t−1)=0 4t²+2t−1=0 lub t=1 (sprzeczność) Δ=4+16=20 √Δ=2√5

	−2−2√5		−1−√5
t1=		=		sprzeczność
	8		4

	−2+2√5		√5−1
t2=		=
	8		4

	√5−1		√5−1
sin(54)=sin(3*18)=3*		−4*(		)3=...(tutaj rachunki, ale nie chce mi się
	4		4

	√5+1
pisać)=
	4

Eta: No i pięknie

Eta: Krokodyle Cię nie zjadły Saizu ?

Saizou : Eta a nawet gdyby zjadły to nabawiłyby się niestrawności

Eta:

ciuchcia: zapewne takie rozwiązanie byłoby jako nr 1 w schemacie oceniania na maturze

Eta: No to takie zadanko W trapezie o kątach ostrych 30^o i 60^o, zaś różnica kwadratów przekątnych trapezu wynosi 16 Oblicz pole tego trapezu.

ICSP: Fajna treść Tak spójnia

Eta: Miało być bez słwoa"zaś"

Eta:

Eta:

ciuchcia:

5-latek: No to zadanie z planimetrii Udowodnic ze jezeli trojkat ma os symetrii to jest rownoramienny >

5-latek: I jeszcze jedno zadanie W plaszcyznie trojkata rownobocznego ABC o boku dlugosci a znalezc pole obszaru zawierajacego takie i tylko takie punkty M ze: a) Katy AMB,BMC.CMA sa rozwarte b) katy AMB i BMC sa zawrte w przedziale <60;90> stopni