Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi - CIĄGI Michał: Witam! Przygotowuję się właśnie do sierpniowej poprawy matury z matematyki. Rozwiązuję zadania z działu o ciągach. Trafiłem na 3 zadania, których nie rozumiem. Prosił bym o pomoc w wytłumaczeniu i rozwiązaniu. 1. Liczby (2x, x+3, ¹₂−1) tworzą ciąg geometryczny. Wyznacz liczbę x. 2. Liczby (3x, x²+5x, 7x+4) tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz liczbę x. 3. Dany jest ciąg (logx, log√2x, log2). Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby x ten ciąg jest arytmetyczny.

fx: Definicje ciągu geometrycznego i związek między trzema wyrazami ciągu geometrycznego (do zadania nr. 1). Analogicznie dla ciągu arytmetycznego w zad. 2.. Zadanie trzecie, zastanów się jak zmienia się różnica sąsiednich wyrazów ciągu ∀ x ∊ ℛ⁺, oraz skorzystaj z własności różnicy wyrazów ciągu arytmetycznego.

Michał: Kurczę nie czaję. Mógł byś przynajmniej pokazać mi jak zacząć? Lub podać przykład bym mógł analogicznie zrobić zadania? Bo robię coś takiego 1. 2x−x+3=¹₂−1−2x przynajmniej tak zaczynałem zadanie z ciągiem arytmetycznym o wartościach (log o podstawie 4 z 2, log o podstawie 4 z x, lod o podstawie 4 z 32).

bezendu: 3) log√2x−logx=log2−log√2x logx+log2=log2x log2x=2logx=log√2x C.N.D

Basia: przecież w (1) masz ciąg geometryczny a to co piszesz dotyczy arytmetycznego (a i tak byłoby źle) w geometrycznym

a2		a3
	=
a1		a2

podstaw, ale najpierw sprawdź a₃ bo chyba masz tam błąd zapis ¹₂ − 1 jest jakby trochę bez sensu; zapewne jest tam gdzieś również x

bezendu: zadanie 2 3x,x²+5x,7x+4 tworzą ciąg arytmetyczny więc korzystam ze wzoru 2b=a+c 2(x²+5x)=3x+7x+4 2x²+10x=10x+4 2x²=4 /2 x²=2 x=√2 lub x=−√2

5-latek: bezendu chcialbym Ci przypomniec o tym ze nie dokonczyles zadania z dowodzeniem przez 30

bezendu: 5−latek właśnie wiem ale nie pasuje mi z tą podzielnością przez 5 którą podałeś

5-latek: No to wez sobie policz na kalkulatorze np taki iloczyn 5 kolejnych liczb calkowitych `1*2*3*4*5 lub wez sobie inny i zobacz czy nie jest podzielny przez 5 albo −19*−18*−17*−16*−15

bezendu: to nich by było że tamto jest podzielne na 5 ale teraz zostaje do rozpisania −120

5-latek: Dostales wskazowke ze 120 Cie nie interesuje bo jest podzielne przez 30 . Miales zostawic 120 w spokoju. . Wiec juz 120 nie rozpisujesz . Zeby liczba byla pozielna przez 30 musi byc podzielna przez 5 i przez 6 Przez 5 juz wiemy ze bo to jest iloczyn kolejnych 5 czynnkiow. Teraz zeby liczba byla podzielna przez 6 musi byc podzielna przez2 i przez 3 . Wiec dlaczego ta liczba (n−2)(n−1)n(n+1)(n+2) jest podzielna przez 6 ?

bezendu: (n−1)n(n+1) trzy kolejne liczby całkowite z czego co najmniej jedna podzielna przez 3 i co najmniej jedna parzysta więc podzielne przez 6

bezendu: 5−latek to zadanie będę robił w tamtym temacie, nie chcę tu robić spamu

5-latek: No dobrze tylko ze nie iloczyn 3 tylko 5 liczb calkowitych wiec w iloczynie 5 kolejnych 5 liczb calkowitych wystepuja co najmniej dwie liczby parzyste i co najmniej jedna podzielna przez 3 wiec liczba jest podzielna przez 6 wobec tego liczba jest podzielna przez 5 i przez 6 wiec jest podzielna przez30 .

pigor: ..., post z godziny 15.36 "... co najmniej jedna podzielna przez 3 ..." to niestety nie jest prawdą .

Michał: Basia tak małe niedopatrzenie tam jest ¹₂x−1

Basia: a₁=2x, a₂ =x+3 a₃ = ¹₂x−1 Def. ciągu geometrycznego mówi, że jest to taki ciąg, w którym

an+1
	= q (jest stały) pod warunkiem, że nie jest to ciąg samych zer
an

gdyby a₁ = 2x = 0 ⇔ x=0 a₂ = 0+3 = 3 a₃ = −1 i nie byłby to ciąg geometryczny (nie ma takiej liczby dla której 0*q = 3) czyli masz x≠0 i przez a₁ już możesz dzielić a co by było gdyby a₂=0 x+3 = 0 x = −3 i byłby to ciąg −6; 0; −2,5 to też nie jest ciąg geometryczny bo nie ma takiego q aby 0*q = −2,5 no to dla x≠0 i x≠ −3 masz

a2		a3
	=
a1		a2

co można zapisać inaczej mnożąc na krzyż a₂² = a₁*a₃ czyli (x+3)² = 2x(¹₂x −1) x² + 6x + 9 = x² − 2x 8x + 9 = 0

	9
x = −
	8

pigor: ... zad1. Liczby (2x, x+3, ¹₂x−1) tworzą ciąg geometryczny. Wyznacz liczbę x. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− z tw. o 3−ech kolejnych wyrazach (oprócz 1−szego i ostatniego) ciągu geometrycznego szukasz x takiego, że a_n²= a_n−1a_n+1, czyli tu : (x+3)²= 2x(¹₂x−1) i x(x−2) >0 ⇔ x²+6x+9= x²−2x i (x<0 lub x>2) ⇔ ⇔ 8x=−9 i x<0 ⇔ x=−⁹₈ . ...

pigor: ... , zad2. Dany jest ciąg (logx, log √2x, log2). Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby x ten ciąg jest arytmetyczny. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− z definicji ciagu arytmetycznego :

	2		2√2x		√2x
log2−log√2x= log		= log		= = log		=
	√2x		2x		x

= log√2x− logx= r= const. c.n.w. . ...

pigor: ..., oczywiście powyżej jest to zad3. natomiast zad2. Liczby 3x, x²+5x,7x+4) tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz liczbę x. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− z definicji lub tw. o 3−ech kolejnych wyrazach ciągu arytmetycznego: 2(x²+5x)= 3x + 7x+4 ⇔ 2(x²+5x)= 10x+4 /:2 ⇔ x²+5x= 5x+2 ⇔ ⇔ x²=2 ⇔ |x|=√2 ⇔ x=−√2 lub x= √2. ...