Funkcje trygonometryczne - Doprowadź do postaci logarytmicznej Paweł: Witam. Wznawiając mój poprzedni wątek https://matematykaszkolna.pl/forum/199687.html chciałbym prosić o pomoc. 2 zadania zostały zaliczone, 3 jednak nadal pozostają zagadką. Mianowicie chodzi o przykład c, a także zad 2. Zacznijmy więc od przykładu c)

	1+tg2αtgα		sin2α   sinα   1+ *   cos2α   cosα
		=		=
	ctgα+tgα		cosα   {sinα}{cosα} sinα

	sin2α		sinα
(1+		*		)sinαcosα =
	cos2α		cosα

w tym momencie dostałem podpowiedź, aby sprowadzić to do wspólnego mianownika co uczyniłem, jednak nie wiem co dalej. Wyszły mi jakieś dziwne rzeczy. Teraz zadanie 3a)

	1
sinx+cosx=		sinx różny od 0
	sinx

sin²x+sinxcosx=1 /*2 (przy jedynce mam komentarz "jedynka trygonometryczna) 2sin²x+2sinxcosx=2 1−cos2x+sin2x=2

	√2
sin2x−cos2x−1 /mam dopisane "/*		"
	2

	π
2sinx−sin(		−2x)=1
	2

	π   2x+ −2x   2		π   2x− +2x   2
2cos		sin		=1
	2		2

	π		π
2cos		sin(2x−		)=1
	4		4

	π		√2
sin(2x−		)=		/mam dopisane "=>? prawie koniec"
	4		2

	π		π		√2
(sin2x*cos(−		) − (cos2xsin(i		)) =
	4		4		2

	√2		√2		√2
sin2x		−cos2x(−		)=
	2		2		2

Czy 2 ostatnie linikji są potrzebne, to nie wiem. Nie wiem gdzie tam jest ten "prawie koniec" Zadanie 3b jest niestety całe źle. Bardzo proszę o pomoc!

Paweł: Podbijam

Paweł: Podbijam

Mila: Napisz dokładnie treść zadań, których nie rozwiązałeś. To odczytałam, to rozwiązuję jeszcze raz.

	1
sin(x)+cos(x)=		/ *sin(x)
	sin(x)

sinx≠0⇔x≠kπ, k∊C sin²x+sin(x)*cos(x)=1 jeżeli Pani narzuciła sposób z jedynką trygonometryczną , to tak: sin²x+sin(x)*cos(x)=sin²x+cos²x sinx*cosx−cos²x=0⇔ cosx(sinx−cosx)=0⇔ cosx=0 lub sinx−cosx=0 i x≠kπ

	π		cosx
x=		+kπ lub sinx=cosx⇔		=1⇔ctgx=1
	2		sinx

	π		π
x=		+kπ lub x=		+kπ
	2		4

To samo wychodzi, gdybyś dokończył poprzedni sposób, który podałam , czyli:

	π		√2
sin(2x−		)=		⇔
	4		2

	π		π		π		π
2x−		=		+2kπ lub 2x−		=π−		+2kπ ⇔
	4		4		4		4

	π
2x=		+2kπ lub 2x=π+2kπ⇔
	2

	π		π
x=		+kπ lub x=		+kπ
	4		2

Paweł: Treść zadań brzmiała: podpunkt c − Doprowadź do postaci logarytmicznej. zad 3 a,b − Rozwiąż równania

Mila: Przeanalizuj i naucz się tego, co dzisiaj napisałam. Resztę jutro. Dobranoc.

Mila: 3cos²x − sin²x−2sinx=0 Czy takie to równanie?

Paweł: Dokładnie takie. Dziękuję bardzo za pomoc, obiecuje przeanalizować przykład i z niecierpliwością czekam na jutro. Dobrej nocy i pozdrawiam

Mila: https://matematykaszkolna.pl/strona/1578.html Tu masz równania elementarne. Drugi komentarz Pani: wg wskazówki tak:

	√2
sin2x−cos2x=1 /*
	2

	√2		√2		√2
sin2x*		−		cos2x=		⇔
	2		2		2

	π		π		√2
sin2x*cos		−sin		cos2x=		⇔ ze wzoru na sin(α−β)=....
	4		4		2

	π		√2
sin(2x−		)=		, to rozwiązałam, po słowach:" to samo wyjdzie..."
	4		2

Resztę będę wyjaśniać po 16. I linijka masz podane wiadomości.

Mila: Przykład c) jest inny niż w poprzednim wątku, ten można łatwo doprowadzić do prostszej postaci.

1+tg2α*tgα
	= [ zał. sinα≠0 i cosα≠0 i cos2α≠0]
ctgα+tgα

	sin2α*sinα   1+   cos2α*cosα
=		=
	cosα   sinα   + sinα   cosα

	cos2α*cosα+sin2α*sinα   cos2α*cosα
=		=
	cos2α+sin2α   sinα*cosα

[Do licznika stosuję wzór:cos(x−y)=cosx*cosy+sinx*siny, gdzie: x=2α,y=α]

	cos(2α−α)		1		cosα		sinα*cosα
=		:		=		*		=
	cos2α*cosα		sinα*cosα		cos2α*cosα		1

	sinα*cosα		1		sin2α		1
=		=		*		=		tg2α
	cos2α		2		cos2α		2

jeśli dobrze przepisany przykład, to taki ma być wynik

Mila: Natomiast ostatnie równanie , to chyba , błędnie przepisałeś, albo ma być tak rozwiązane, jak w poprzednim wątku, napisz jakie masz komentarze , to zorientuję się co ma być.

Mila: Te komentarze Twojej Pani są bardzo ciekawe.

Paweł: Bardzo dziękuję za pomoc. Sam w życiu tego bym nie zrobił, gdyż takich zadań w ogóle nie mieliśmy. Co do ostatniego równania, to pani nie postawiła przy nim żadnego komentarza, jedynie w linijce 2 czyli: 3cos²x−sin²x−sin2x=0 3(1−sin²x)−sin²x−2sinx=0 // w tem miejscu przed = mam " i pokreślone" Niestety nie bardzo wiem, co to może oznaczać. Ja nie widzę tutaj innego rozwiązania. Najwyżej oddam raz jeszcze z tak samo rozwiązanym zadaniem i po sprawdzeniu o ile dopisze mi szczęście dowiem się co może być źle. Raz jeszcze dziękuję

Mila: 3cos²x − sin²x−2sinx=0 Czy 3cos²x−sin²x−sin2x=0 Dokładnie popatrz., bo to zmienia zupełnie sposób rozwiązania.

Mila: Napisz to równanie, bo to co tam napisałeś 19:51 to jest źle , nie może być tak, że sin2x zastępujesz wyrażeniem 2sinx. I słusznie Ci Pani podkreśliła i zasygnalizowała błąd.

Paweł: 3cos²x−sin²x−sin2x Przepraszam, za moje błędy. Ostatnimi czasy nie wiem jak mam na imie

Mila: 3cos²x−sin²x−sin2x=0 /*(−1) sin²x+sin2x−3cos²x=0 (sin²x+2sinx*cosx+cos²x)−4cos²x=0 stosuję wzór (a+b)²=a²+2ab+b² (sinx+cosx)²−(2cosx)²=0 rozkładam na iloczyn ze wzoru: (a²−b²)=(a−b)*(a+b) (sinx+cosx−2cosx)*(sinx+cosx+2cosx)=0 (sinx−cosx)*(sinx+3cosx)=0⇔ (sinx−cosx)=0 lub (sinx+3cosx)=0⇔ sinx=cosx /:cosx lub sinx=−3cosx /: cosx

sinx		sinx
	=1 lub		=−3⇔
cosx		cosx

tgx=1 lub tgx=−3

	π
x=		+kπ lub x=arctg(−3)+kπ
	4

Przepisz dokładnie. Na wszelki wypadek skonsultuj się z kolegami w sprawie treści, może jeszcze jest inaczej?

Paweł: Dziękuuuje bardzo. Co do treści, w tym właśnie jest problem − każdy dostał inne zadania. Nie może być za łatwo... Raz jeszcze baardzo dziękuję, nie wiem co bym bez Pani zrobił. Pozdrawiam

Mila: Powodzenia.