Matura rozszerzona poprawkowa 2009 Kuba: Zamieszcze zadania które pamiętam

Kuba: a₁ = x a₂ = 4x − 1 a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ = 25 jest to ciąg arytmetyczny gdzie n≥1 oblicz x i sume od a₁1 − a₂5

Kuba: prosze kogoś o rozwiązywanie tych zadań

Kuba: y + 2x − 1 = 0 znajdź najmniejszą wartość punktu A jaką przyjmuje kwadrat odległości od osi. Punkt A znajduje się na tej prostej.

Kuba: podaj wzór funkcji logarytmicznej (tej na rysunku) trzeba było narysować funkcje g(x)=|f(x) − 2| ( ja narysowałem tak (wykres czerwony) i trzeba było z wykresy rozwiązać nierówność f(x)≥g(x)

Kuba: 7 osób z Basią i Jackiem wybrało się do kina, w jednym rzędzie siadają. Na ile sposobów można rozmieścić te 7 osób tak żeby Basia i Jacek siedzieli obok siebie? I jakie jest prawdopodobieństwo rozmieszczenia tych 7 osób tak żeby basia nie siedziała obok jacka?

Kuba: Nie pamiętam zabardzo treści ale pamiętam rysunek. W podstawie ostrosłupa jest prostokąt gdzie |AB| = 7 a |BC| = 14 Krawędź CS jest prostopadła do podstawy. Kąt najdłuższej krawędzi do podstawy wynosi 50^o oblicz jego objętość. rysunku nie było trzebabyło go narysować.

Kuba: wiem że doszedłem do takiej prostej y = − √3 x + 6√3 + 18 i miałem napisać wzór nierówności gdzie A zawiera się w półpłaszczyźnie tej prostej. A=(√10, 28) i ja napisałem y<− √3 x + 6√3 + 18

Kuba: y = x² − mx + m + 3 dana jest funkcja kwadratowa (powyżej) mamy znaleźć 2 pierwiastki takie że suma odwrotności tych pierwiatków jest mniejsza od zera.

Kuba: i jeszcze był trójkąt prostokątny gdzie kąty α i β są kątami ostrymi i musimy udowodnić tgα + tgβ ≥ 2

AS: Zadanie 1. a1 = x . a2 = 4*x − 1 , r = a2 − a1 = 4*x − 1 −x = 3*x − 1 a3 = a2 + r = 4*x − 1 + 3*x − 1 = 7*x − 2 a4 = a3 + r = 7*x − 2 + 3*x − 1 = 10*x − 3 a5 = a4 + r = 10*x + 3 + 3*x − 1 = 13*x − 4 Z warunków w zadaniu a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 25 35*x − 10 = 25 ⇒ 35*x = 35 ⇒ x = 1 Szukany ciąg to: 1 , 3 , 5 , 7 , 9 w którym a1 = 1 , r = 2 a25 = a1 + 24*r = 1 + 24*2 = 49 Suma wyrazów S₂₅ = 25/2*(1 + 49) = 25*50/2 = 625

Kuba: 4 zadań nie pamiętam... jak mi się przypomni to napisze A prosze kogoś o rozwiązanie tych 8 co podałem.

Kuba: AS tzn trzeba było policzyć sume od a₁₁ do a₂₅ ale x wyszedł mi taki jak Tobie jedno chociaż narazie dobrze

AS: Jeżeli punkt A znajduje się na prostej y + 2*x − 1 = 0 to odległością tego punktu od osi Ox jest rzędna tego punktu,a w naszym przypadku y = 1 − 2*x. Kwadrat odległości d = y² = (1 − 2*x)² = 1 − 4*x + 4*x² Jest to parabola o równaniu y = 4*x² − 4*x + 1 Minimum znajduje się w wierzchołku paraboli a = 4 , b = −4 , c = 1

	−b		4		1
xw =		=		=
	2*a		8		2

Najmniejsza wartość ymin = 1 − 2*(1/2) = 1 − 1 = 0

Kuba: nie wiem czy dalej te zadanie będzie dobrze jak odległość była napisana od OSI czyli nie Ox i Oy?;> czy wystarczy od Ox?

Kuba: aaa i ten rysunek gdzie są funkcje logarytmiczne ta 1 i 2 przesuneły mi się w prawo...czyli na 1 powinna już być 2 a po lewej od 1 powinna być własnie 1.

Eta: zad. z prawdopodobieństwem. 1/ zd. A −−− B i J siedzą obok siebie to B, J −−− rozmieszczamy na 2! −− sposobów bo B,J i J,B tak mogą przemieszczać się na pięciu miejscach czyli 5*2! sposobów pozostałych pięć osób może się przemieszczać też na pięciu miejscach czyli na 5!sposobów zatem : moc A = 5*2!*5!= 10*5! = 1200 sposobów Odp: Jeżeli Basia i Jacek siedzą obok siebie to takich ustawień jest 1200 2/ wprowadzamy zd. przeciwne do A A^' −−− Basia i Jacek nie siedzą obok siebie to mocA^' = mocΩ − mocA = 7! − 10*5! = 5!( 6*7 − 10) = 30*5! zatem :

	mocA'		30		30		15
P(A') =		= U30*5!}{7!} =		=		=
	mocΩ		6*7		42		21

odp: Prawdopodobieństwo tego,że Basia i Jacek nie siedzą obok siebie wynosi ¹⁵₂₁

Kuba: dobra narysuje jeszcze raz bo tam jest jeszcze jeden błąd to do tych logarytmów niebieski to f(x) czerwony to g(x) (oczywiscie według mnie) bo trzebabyło narysować.

Kuba: jest czyli prawdopodobieństwo to ¹⁵₂₁ = ⁵₇ tyle ile mi wyszło yeah ale co do ilości sposobów mi wyszło 120 (policzyłem 1 * 1 * 5!)

Eta: Przepraszam , ale pomyłkowo wpisałam ,że zmieniaja się na 5 −− ciu miejscach , a powinno być oczywiście ,że na 6 −ciu miejscach. zatem błąd mi się wkradł przy przepisywaniu . moc A = 6*2!*5! = 12*120= 1440 1/ odp; 1440 sposobów 2) już analogicznie: mocA^' = 7! − 12*5! = 5!( 42 − 12) = 30*5!

	15
odp: P(A') =
	21

Eta: no tak , oczywiście nie skróciłam

	5
P(A') =
	7

Kuba: policze dla innych tą Sume od a₁₁ do a₂₅ razem jest tych wyrazów 25 − 10 = 15 a₁₁ = 1 + 10r = 1 + 20 = 21

	21 + 49
S15 =		* 15 = 525
	2

Więc ja chyba popełnilem jakiś błąd rachunkowy przy tej sumie nawet

Bogdan: f(x) = log_ax f(2) = 1 ⇒ log_a2 = 1 ⇒ a¹ = 2 ⇒ a = 2 f(x) = log₂x (niebieska linia) → wektor przesunięcia w = [0, −2] f(x) − 2 = log₂x − 2 (zielona linia) g(x) = |log₂x − 2| (czerwona linia)

Kuba: ehhh czyli tylko podałem poprawnie wzór funkcji f(x)

Bogdan: Nie było f(x + 2), ale było f(x) − 2, czyli wykres f(x) o dwie jednostki w dół.

Kuba: już rozumiem coś mi głupiego do głowy strzeliło że się tak wyrwałem z tym w lewo...

Kuba: nie pomyślałem też z tymi sposobami bo mogłem po prostu 5040 odjąć 3600 = 1440 a prawdopodobieństwo dobrze mi wyszło...

Kuba: Może ktoś pisał też z rozszerzonej poprawke? Może mam jakiś błąd w zapamiętanych i napisanych tych zadaniach tutaj? Może ktoś pamięta 4 pozostałe zadania? Jak pisałeś jakie miałeś(aś) wyniki?

AS: Aneks do zadania − przeoczyłem zapis a₁₁ a₁₀ = a1 + 9*r = 1 + 9*2 = 19

	10
S10 =		*(a1 + a10) = 5*20 = 100
	2

S = S25 − S10 = 625 − 100 = 525

Kuba: no tak też można dzięki AS

Kuba: Może ktoś pisał też z rozszerzonej poprawke? Może mam jakiś błąd w zapamiętanych i napisanych tych zadaniach tutaj? Może ktoś pamięta 4 pozostałe zadania? Jak pisałeś jakie miałeś(aś) wyniki?

martoos: Do zadania z prosta 2x+y−1=0 zadanie brzmiało tak: Znajdz współrzedne punktu A leżacego na prostej 2x+y−1=0 tak aby suma kwadratów odległosci punktu A od osi układu współrzednych była najmniejsz.

martoos: kolejne zadanie. Wykaż , że w trójkacie prostokątnym gdzie α iβ sa kątami ostrymi, to tgα + tgβ≥2

martoos: trapez ABCD gdzie AB || CD jest opisany na okregu o promieniu r. Przekątna AC jest nachylona do podstawy AB pod katem α. Oblicz obwód tego trapezu w zaleznosci od kata α i prominia r

martoos: Podaj ile miejsc wspolnych ma okrag o rownaniu x²+y²−2x−6y=0 z prosta do ktorej naleza punkty M=(2009,4012) i N (−50;−106).

martoos: i poprawiam zadanieo rysunku ostrosłupa..Trzeba bylo narysowac. Przynajmniej ja to tak odebralam P.S z Gory przepraszam za błedy w pisowni pisze w pospiechu

martoos: wiem że doszedłem do takiej prostej y = − √3 x + 6√3 + 18 i miałem napisać wzór nierówności gdzie A zawiera się w półpłaszczyźnie tej prostej. A=(√10, 28) i ja napisałem y<− √3 x + 6√3 + 18 Tu bład były dane punkty A (niepamietam wspoł) B(niepamietam wspoł) i C (−{10},26) było trzeba za pomoca nierownosci opisac polplaszczyze ograniczona prosta zawierajaca punkty A i B oraz zawierajaca punkt C..mnie wyszlo y< −{3}x+20 O ile dobrze pamietam.. wyznaczylam rownanie prostej zawierajacej punkty A i B nastepnie sprawdzilam czy punkt c zawiera sie pod czy nad wykresem funcji i wykazalam nierownosc

Kuba: Marta ja właśnie gdzieś już wyżej napisałem że trzeba było go narysować, i ja go narysowałem bo tyle pamiętałem i z rysunku przypominałem sobie jakie były polecenia

Kuba: Heh ja zrobiłem to samo Marta z tą prostą przechodzocą przez punkt a A i B i ta prosta wyznaczała półpłaszczyzne w której zawiera się punkt C, no ale na to czy pod czy nad sami musieliśmy wpasć. To nie dobrze że mamy rózne proste bo ktoś z nas napewno ma źle:(

martoos: i wlasnie to mnie marwii

martoos: Poprawka: y = x2 − mx + m + 3 dana jest funkcja kwadratowa (powyżej) mamy znaleźć 2 pierwiastki takie że suma odwrotności tych pierwiatków jest mniejsza od zera. wyznacz wszytkie wartpsci prametru m dla ktorych rownanie ( powzej) ma dwa rozne pierwiatki takie ze suma odwrotnosci tych pierwiatskow jest mniejsza od 1

Bogdan: Zadanie. Znajdź współrzędne punktu A leżącego na prostej 2x+y−1=0 tak, aby suma kwadratów odległości punktu A od osi układu współrzędnych była najmniejsza. Rozwiązanie. 2x + y − 1 = 0 ⇒ y = 1 − 2x Punkt A = (x_A, y_A) |x_A| − odległość punktu A od osi y, |y_A| − odległość punktu A od osi x. z = |x_A|² + |y_A|² → min z = x_A² + y_A² i y_A = 1 − 2x_A z = x_A² + (1 − 2x_A)² → z = x_A² + 1 − 4x_A + 4x_A² z(x_A) = 5x_A² − 4x_A + 1 Funkcja z(x_A) jest funkcją kwadratową, której wykres jest parabolą ramionami

	4		2
skierowanymi w górę, posiadającą minimum dla xA =		=		.
	2*5		5

	2		1
yA = 1 − 2xA = 1 − 2*		=
	5		5

	2		1
Odp.: A = (		,		)
	5		5

Bogdan: Suma odwrotności pierwiastków (wzory Viete'a):

	1		1		x1 + x2		−b   a		−b
Δ ≥ 0 i		+		=		=		=
	x1		x2		x1*x2		c   a		c

Eta: a) y = x² −mx +m +3 musi być spełniony układ warunków: 1/ Δ≥0

	1		1
i 2/		+		<0
	x1		x2

po sprowadzeniu do wspólnego mianownika i zastosowaniu wzorów Viete^'a otrzymamy:

	x2 +x1		−ba		−b
to:		=		=
	x1*x2		ca		c

zatem drugi warunek jest:

	−b
		<0
	c

ad1) Δ= m² −4m −12 to Δ≥0 <=> m² −6m −12≥0 <=> ( m−6)(m +2) ≥0 <=> m∊(− ∞, −2 > U < 6,∞) ad2/

	−b		m
		<0 <=>		<0 , przy załozeniu ,że m ≠ −3
	c		m+3

mamy: m( m +3) <0 <=> m∊( −3, 0 ) wybierając cz. wspólną obydwu warunków otrzymamy: odp: m⊂( −3, 2 > przykład b) podobnie: 1/ Δ>0 −−− bo pierwaiastki maja być różne

	−b
i 2/		<1
	c

wyznacz teraz ten przedział..... już z pewnością potrafisz .

Eta:

Bogdan: Dobry wieczór Eto Jak oceniasz zadania z matury poprawkowej, czy były łatwe? Moim zdaniem były dość proste, ale niektóre wymagały jednak trochę pomyślunku, ale tylko trochę.

Eta: Witam Bogdanie Podobnie i moim zdaniem ,zadania nie były trudne. Spodziewałam się ,że będą trudniejsze. Jeżeli chodzi o "pomyślunek" , to bardzo dobrze ,że układający zadania przede wszystkim kładą nacisk na logiczne myślenie. W matematyce logiczne myślenie to 3/4 sukcesu ,a o to przecież chodzi . Jak sam tu często pisałeś ; " to egzamin dojrzałości "

martoos: tak w pierwszym zamiast −b/c napialam −bc:( a wszytko dlatego ze nie pisalam po koli tylko w glowie liczylam.. a mam nadzieje ze duzo punktow mi nie ucieknie

Kuba: no mi na maturze wyszedł przedział od −3 do plus nieskończoności ale od razu po prostu policzyłem chyba sume odwrotności tych pierwiastków mniejszych od zera... ^−b_c < 0

m
	< 0
m+3

m(m+3) < 0 i nie wiem skąd mi wyszedł taki przedział i czy on jest dobrze m∊ (−3, +∞)

Kuba: nie pamietam czyy miało być mniejsze od zera czy od 1

Kuba: Eta i Bogdanie rozwiążecie reszte ?;>

Bogdan: Kubo, zapisz pozostałe zadania w pełnej treści w oddzielnym poście, pomożemy rozwiązać.

Kuba: no pełnej treści nie pamiętam, i tak o dziwo zapamiętałem 8 na 12 zadań no ale dobra wstawie w odzielne posty to co jest jeszcze nie zrobione jaki powinien być końcowy przedział w sumie odwrotności tych pierwiastków?

Kuba: 1. było z odwrotnością tych pierwiastków. (zrobione) 2. było z prostą i punktem gdzie suma kwadratów odległości od osi(zrobione) 3. z logarytmami (zrobione nie do końca) Czyli pierwsze pytanie z tą nierówności logarytmiczną. Bogdanie trzeba było na podstawie wykresu rozwiązać nierówność f(x) ≥ g(x), jak to rozwiązać? Na to narazie nowego wątku nie otworze...

Bogdan: Podziwiałem Kubo Twoją pamięć, czekamy na to, co pamiętasz w innym poście.

Bogdan: Podaj treść zadania, a nie jego nr.

Kuba: O i Marto pamiętasz dalej kolejność tych zadań?;> 4. chyba było żeby wykazać tgα + tgβ ≥ 2 Więc nowy wątek będzie dla tego zadania

Bogdan: Czy chodzi o α i β w trójkącie prostokątnym?

Kuba: ale Bogdanie (rozwiązałeś to zadanie, jedyne w tym wątku z logarytmami i wykresem) i na podstawie tego wykresy mieliśmy rozwiązać nierówność f(x) ≥ g(x), jak to rozwiązać? Zamieszczam je tutaj bo tu jest ten wykres

Kuba: tak chodzi o te kąty, dla trójkąta prostokątnego(już powstał oddzielny wątek)

Bogdan: Ok. f(x) = log₂x g(x) = |log₂x − 2| f(x) ≥ g(x) ⇔ log₂x ≥ |log₂x − 2| ⇒ |log₂x − 2| ≤ log₂x Założenia: 1. x > 0 2. log₂x ≥ 0 ze względu na wartość bezwzględną (przypominam, jeśli |wyrażenie| ≤ a, to a ≥ 0) log₂x ≥ 0 ⇒ log₂x ≥ log₂1 ⇒ x ≥ 1 Z założeń: x > 0 i x ≥ 1 otrzymujemy: x ≥ 1. |log₂x − 2| ≤ log₂x −log₂x ≤ log₂x − 2 ≤ log₂x ⇒ log₂x⁻¹ ≤ log₂x − log₂4 ≤ log₂x

	1		x
log2		≤ log2		≤ log2x
	x		4

1		x
	≤		≤ x
x		4

1		x		x
	≤		i		≤ x
x		4		4

Po rozwiązaniu tego układu nierówności i uwzględnieniu założenia: x ≥ 1 otrzymujemy odp.: x ≥ 2 Można jednak odczytać rozwiązanie z rysunku, patrzymy, gdzie wykres funkcji f(x) (niebieska linia) pokrywa się z wykresem g(x) (czerwona linia) oraz gdzie niebieski wykres jest nad czerwonym wykresem. Stwierdzamy, że f(x) ≥ g(x) dla x ≥ 2.

martoos: Z tw Pit: |AB|² + |AC|² = |BC|² (wł. trójkata prostokątnego) kąt ABC = α kąt ACB=β tgα=|AC|/|AB| tgβ=|AB|/|AC| tgα+tgβ≥2 |AC|/|AB| + |AB|/|AC|≥2≥ |AC|²+|AB|²/|AC||AB|≥2 i teraz moment kulminacyjny czyli wyjasnienie slowne dlaczego ta nierownosc jest spelniona.Powiem szczerze ze nie dokonca potrafilam to dowiesc.. oczywiscie napisalam ze |AB|,|AC|,|BC| przymuja wartosci wieksze od zera (dodatnie) poniewaz sa bokami trójkata i teraz nie mam zielonego pojecia czy to co napisze zaraz jest poprawne.., ze najmniejsza mozliwa warosci dla tych bokow jest liczba 1 i wykazalam (poprzez podstawienie) ze ta nierownosc jest prawdziwa.

Sabin: Pomnóż przez |AC||AB| i przenieś wszystko na lewą stronę. Po lewej stronie będziesz miała rozwinięty wzór skróconego mnożenia, czyli lewa strona ≥ 0 i już.

martoos: no faktycznie ..dzieki

xDeee: Zal

xDeee: β∞∞∞NauKa pisma xDe Nie no normalka Ggg xDdeee

xDeee: Dobra Coś trudniejszego Ile to 2 + 2 ♥