granica krzysiek: Granice Oblicz granice:

	√n + 1 − √n
a)
	√n + 7 − √n

Jakim sposobem to rozwiązać:

(√n+1−√n)(√n+1+√n)(√n+7+√n)
	=
(√n+7−√n)(√n+7+√n)(√n+1+√n)

	(n + 1 − n)(√n + 7 − √n)
=		=
	(n + 7 − n)(√n + 1 − √n)

= ? Czy to ślepa uliczka?

ff: raczej dobra:

	√n+1 −√n
an =
	√n+7 −√n

lim a_n = g zauważyłeś, że

	1
an =
	7an

przechodząc z n → ∞

	1
g =
	7g

g = ¹_√7 (bo ciąg jest dodatni)

Artur_z_miasta_Neptuna: ff

	1
granica wyniesie
	7

krzysiek: ale jak "rozpracować to": √n + 7 − √n ? czyli wyciągnąć odpowiednie elementy.

krzysiek:

zombi: a to się nie robiło czasem jakoś w stylu √n(1+⁷_n)−√n ?

krzysiek:

7   √n * √1 − − √n   n		1 − 0		1
	=		=
1   7 (√n *√1 + − √n)   n		7 − 0		7

ok?

zombi: Oui

krzysiek: A możecie wytłumaczyć mi jakie elementy brać dla twierdzenia o trzech ciągach, tj.: jak określić: a_n ≤ b_n ≤ c_n, czyli jak dobrać a_n i c_n jest jakiś schemat na to?

krzysiek:

krzysiek:

krzysiek: :(

krzysiek:

ICSP: tak aby pasowały Do każdego przykładu co innego

krzysiek: Mógłbyś podać przykład (nauczyć mnie)?

ICSP: To daj jakiś przykład Ja nie mam chwilowo żadnego pod ręka .

krzysiek: No to może coś takiego:

	n2 + 1		n2 + 2		n2 + 3		n2 + n
an =		+		+		+ ... +
	n3 + 1		n3 + 2		n3 + 3		n3 + n

ICSP: Pierwszy pytanie : Który z tych ułamków jest największy

krzysiek:

n2 + n
n3 + n

ICSP: pomyśl zanim odpowiesz

Ajtek: Ja się nie wypowiadam . Cześć ICSP . Ktoś się pod Ciebie podszył w innym wątku widziałem .

ICSP: Witaj Ajtku Jaki wynik ci wyszedł ?

krzysiek: (i) dla n = 1

	1 + 1		2
		=		= 1
	1 + 1		2

(ii) dla n = 2

	4 + 1		5
		=
	8 + 1		9

(iii) dla n = 3

	8 + 1		9
		=
	27 + 1		28

	n2 + 1
Więc największy jest
	n3 + 1

Ajtek: W czym?

ICSP: xD ICSP już gada głupoty

	n2 + 1		n2 + 2		n2 + n
weźmy an =		+		+ ... +
	n3 + 1		n3 + 2		n3 + n

sprawdzę czy większe będzie

n2 +1		n2 + n
	czy		dla n = 3
n3 + 1		n3 + n

10		12
	=
28		30

300		336
	=
840		840

	n2 + n
zatem największym rzeczywiście będzie ostatni czyli
	n3 + n

teraz ogranicz to z dwóch stron na zasadzie następującej : z dołu za wszystkie wyrazy podstaw najmniejszy wyraz. z góry za wszystkie wyrazy podstaw największy wyraz

krzysiek: ups, pomyliłem się z podstawianiem ale chyba i tak pierwszy będzie największy?

ICSP: ostatni będzie największy

krzysiek: albo masz rozdwojenie jaźni albo ktoś się pod Ciebie podszywa i która odpowiedź jest poprawna?

ICSP:

	n2 + n
największy :
	n3 + 2

teraz ograniczaj z dołu przez same najmniejsze wyrazy a z góry przez same największe wyrazy

ICSP:

n2 + n
	*
n3 + n

krzysiek: a dlaczego największy? podstawiając poszczególne elementy pod n otrzymamy, że jest to ciąg malejący?

ICSP: ale sprawdzamy dla jednego konkretnego n a nie dla wszystkich.

ICSP: Spójrz dokładniej jak ja sprawdziłem który wyraz jest większy

krzysiek: ok już widzę, mógłbyś napisać co dalej?

ICSP: napisałem już dwa razy jak masz to ograniczyć.

krzysiek:

	n2 + 1		n2 + n
czyli:		≤ an ≤		?
	n3 + 1		n3 + n

ICSP: nie. Za każdy wyraz masz podstawić z dołu najmniejsza oraz za każdy wyraz masz podstawić z góry największy. Na tym właśnie polega oszacowanie.

krzysiek: nie rozumiem

ICSP: to zrobię to najpierw dla przykładu :

	n2 + 1		n2 + 2
an =		+
	n3 + 1		n3 + 2

z dołu oszacowuję przez same najmniejsze wyraz a z góry oszacowuje przez same największe wyrazy :

n2 + 1		n2 + 1		n2 + 2		n2 + 2
	+		≤ an ≤		+
n3 + 1		n3 + 1		n3 + 2		n3 + 2

krzysiek: czyli to będzie, aż takie długie?

n2 + 1		n2 + 1		n * (n2 + 1)
	+		+ ... +		≤ an ≤
n3 + 1		n3 + 1		n3 + 1

n2 + n		n2 + n		n * (n2 + n)
	+		+ ... +
n3 + n		n3 + n		n3 + n

?

ICSP: już lepiej ale nadal jest błąd. Skąd wzięło się to n w ostatnim wyrazie

krzysiek: tak jak napisałeś "oszacowania" i zrozumiałem, że tyle ile jest elementów to przemnożyć najmniejszy element i największy, czyli źle

ICSP: poprawię ci oszacowanie dolne. Z górnym powinieneś już sobie poradzić sam :

n2 + 1		n2 + 1		n2 + 1		n2 + 1
	+		+ ... +		= n *
n3 + 1		n3 + 1		n3 + 1		n3 + 1

≤ a_n ≤ ...

krzysiek:

	n2 + 1		n2 + n
n *		≤ an ≤ n *
	n3 + 1		n3 + n

ICSP:

krzysiek: i to działa dla większości? że wybieramy największy element i najmniejszy?

ICSP: Zazwyczaj działa. Czasem wystarczy wybrać sam największy : ⁿ√ 3ⁿ + 4ⁿ + 5ⁿ ograniczamy jako : ⁿ√5ⁿ ≤ ⁿ√ 3ⁿ + 4ⁿ + 5ⁿ≤ ⁿ√5ⁿ + 5ⁿ + 5ⁿ trzeba robić przykłady a z czasem samo przyjdzie

krzysiek:

	n3 + n		1   n3(1 + )   n2		1
zatem:		=		=		= 1
	n3 + 1		1   n3(1 + )   n3		1

	n3 + n2		1   n3(1 + )   n		1
oraz		=		=		1 = 1
	n3 + n		1   n3(1 + )   n2		1

zatem a_n → 1 ?

krzysiek: ale w tym ⁿ√3ⁿ + 4ⁿ + 5ⁿ można zrobić tak: 3 * ³√3ⁿ ≤ a_n ≤ 3 * ⁵√5ⁿ ?

ICSP: nie można

krzysiek: dlaczego? post z godziny: 22:49 dobrze jest?

ICSP: a co ty teraz zrobiłeś ? zamieniłeś pierwiastek stopnia n na pierwiastek stopnia 3 oraz stopnie 5 dodatkowo wyjdą Ci dwie różne granice. Nie jestem również pewien co do prawidłowości tego oszacowania. z 22:49 jest ok

krzysiek: ok mam jeszcze kilka przykładów z takim oszacowywaniem:

	1		1		1		1
an =		+		+		+ ... +		To tutaj taki sam
	n2		n2 + 1		n2 + 2		(n + 1)2

schemat?

krzysiek:

	1
czyli tutaj największym wyrazem będzie		?
	n2

ICSP:

	1
tam na końcu nie ma przypadkiem
	n2 + n

krzysiek:

	1
nie jest
	(n + 1)2

ICSP: rozpisałem sobie ostatni wyraz i mam ze :

1		1		1
	<		<
n2 + 2n + 1		n2 + n		n2 + 2

	1		1
zatem największy będzie		a najmniejszy
	n2		(n+1)2

krzysiek: zatem:

	1		1
n *		≤ an ≤ n *
	(n + 1)2		n2

n		n
	≤ an ≤
n2 + 2n + 1		n2

1		1
	≤ an ≤
1   n + 2 +   n		n

Zatem a_n → 0 ?

ICSP: chyba

krzysiek: a jak zrobić: a_n = rⁿ − 1, 0 < r < 1 z 3 ciągów?

ICSP: a wzorek na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego znamy?

krzysiek: niee

ICSP: to szkoda. Nie ma sensu używać trzech ciągów do tak prostego zadania

krzysiek: możesz pokazać jak to zrobić?

krzysiek: ajć pomyłka: a_n = rⁿ; −1 < r < 1

krzysiek: mógłbyś też napisać jak zrobić: a_n = √3ⁿ + 2ⁿ√3ⁿ + 1 ?

ICSP: Co do tego z r − [C{Godzio]] ci pomoże

ICSP: co do drugiego. Proponuję wymnożyć

Krzysiek: co do poprzedniego, skoro r∊(−1,1)

	1
to można to zapisać jako: r=
	a

	1		1		1
wtedy: (		)n =		→		=0
	a		an		∞

Godzio: Dowód rozbijemy na 3 części: 1.Pokażę najpierw, że jeżeli a_n² → 0 to a_n → 0. Ustalmy ε > 0. Z istnienia granicy a_n² mamy, że istnieje N, takie, że dla n ≥ N mamy: |a_n²| < ε ⇔ a_n² < ε ⇔ |a_n| < √ε Weźmy teraz ε₁ = √ε |a_n| < ε₁, zatem a_n → 0. 2. Pokażemy, że jeżeli 0 < r < 1 to lim_n→∞rⁿ = 0

	1
Weźmy ε > 0. Możemy zapisać:		= 1 + q dla q > 0. Wtedy:
	r

	1		1
|rn − 0| = |rn| =		<		(z nierówności Bernoulliego)
	(1 + q)n		1 + qn

1		1 − ε
	< ε ⇔ n >
1 + qn		ε * q

	1 − ε
Zatem dla n > N = [		] + 1 mamy:
	ε * q

|rⁿ − 0| < ε zatem lim_n→∞rⁿ = 0 3. Teraz zauważmy, że jeżeli − 1 < q < 0 to: (qⁿ)² → 0 to qⁿ → 0 (korzystamy z 1.) Co kończy dowód

ICSP: i za to lubię Godzia

krzysiek: A takie pytanie, bo często w dowodach korzysta się z epsilona, czemu ona ma służyć?

krzysiek:

krzysiek: To może drugie: a_n = √3ⁿ + 2ⁿ√3ⁿ + 1 = √3ⁿ * 3ⁿ + 3ⁿ + 2ⁿ + 3ⁿ * 2ⁿ + 2ⁿ = = √3²ⁿ + 3ⁿ + 6ⁿ + 2ⁿ i co dalej?

krzysiek:

	1		6n		2n
= √32n(1 +		+		+		) = ?
	3n		32n		32n

krzysiek:

krzysiek:

krzysiek: proszę o pomoc

krzysiek:

Godzio: Epsilon służy temu, żeby pokazać, że coś jest małe

krzysiek: a możesz powiedzieć, czy ten mój przykład dobrze rozpisałem?

kylo1303: 3²ⁿ=9ⁿ (wg. mnie ladniej to wyglada), wylaczasz sobie to przed nawias, tak jak zrobiles:

	1		2		2
9n*(1+(		)n+(		)n(		)n) i to pod pierwiastkiem. Widac ze wszystkie ulamki
	3		3		9

beda dazyc do 0, wiec zostanie √9ⁿ→∞ Przy czym to bylo jasne od poczatku, jeszcze przed wymnozeniem. Moze w twoim przykladzie ten pierwiastek jest n−tego stopnia?

krzysiek: ok, a taki przykład: a_n = ⁿ√n, gdzie n = n² ?

kylo1303: ee, czyli ogolnie to ma byc taki: ⁿ√n² ?

kylo1303: Granica bedzie 1 bo lim ⁿ√n=1 (ⁿ√n²=ⁿ√n*ⁿ√n=1*1=1)

krzysiek: nie taka, inaczej: a_n = ³√n gdzie 3 = n²

kylo1303: Nie rozumiem tego zapisu "gdzie n²=3 " ... Albo to moze wykracza poza moje kompetencje

Godzio: Chyba o to chodzi: ⁿ²√n To też dąży do 1

kylo1303: To nie mozna zamiast "3" dac "y" i pote y=... ? Jak mozna robic takie podstawienia pod liczbe?

Godzio:

krzysiek: Godzio mógłbyś to rozwiązać?

krzysiek: zostaną mi jeszcze dwa przykłady do zrobienia:

	1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ... − 2n
a) an =
	√n2 + 2

	1 + 3 + 9 + ... + 3n
b) an =
	3n

chodzi mi przede wszystkim o to, czy moglibyście to zwinąć do jakiś wzorów

kylo1303: Tak. "b" masz wzor na sume c. geometrycznego. W "a" widze 2 sposoby: 1. podzielic sobie na 2 ciagi arytmetyczne, zastosowac wzor na sume ciagu i potem odjac te sumy. 2. Utworzyc pary liczb, zauwazyc ze z kazdej pary wychodzi "−1" i potem policzyc ile jest par

krzysiek: mógłbyś to zwinąć? ponieważ staram nadrobić się zaległości z liceum

kylo1303: Tzn co zwinąć? Wzory są tutaj: https://matematykaszkolna.pl/strona/264.html https://matematykaszkolna.pl/strona/279.html Jak nie dasz rady to wtedy napisz to pomoge, ale najpierw sprobuj sam rozwiazac (podstawic do wzorkow)

krzysiek:

	1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ... − 2n
czyli dla an =		będzie:
	√n2 + 2

b_n = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2n + 1 c_n = 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n Można tak to zrobić?

kylo1303: Mozna, ale bedzie "2n−1 i 2n", a nie "2n i 2n+1". Aczkolwiek tutaj lepiej zauważyć ze liczby mozna poparowac: (1−2)+(3−4)+(5−6)+...+(2n−1−2n)=(−1)*n= −n Ale ciagami aryt. tez ci wyjdzie.

krzysiek:

	−n		−n		−1
zatem będzie:		=		=		= −1
	√n2 + 2		2   √n2(1 + )   n2		1

krzysiek:

Godzio: Tak

krzysiek: a ten drugi przykład jak będzie leciał?

	1 + 3 + 9 + ... + 3n
b)		=
	3n

Godzio: Suma ciągu geometrycznego:

	1 − qn + 1
a1 + a1q + ... + a1qn = a1 *
	1 − q

krzysiek:

	1 + 3 + 9 + ... + 3n		3n + 1 − 1   2
b)		=		=
	3n		3n

	3n * 3 − 1		1   3 −   3n		3
=		=		=
	2 * 3n + 3n		2		2

	1 − 3n + 1		1 − 3n + 1		3n + 1 − 1
1 + 3 + 9 + ... + 3n =		=		=
	1 − 3		−2		2

dobrze?

Godzio: Ok, tylko druga linijka ..+3ⁿ, ale to chyba przez przypadek bo później tego nie ma

krzysiek:

	1
A wiesz może jak zrobić coś takiego: oblicz granicę: limn→∞ ( 1 +		)n ?
	n2

kylo1303: To juz musisz skorzystac z tego:

	1
lim(1+		)an=e
	an

krzysiek: tylko jak to rozpisać?

Godzio:

	1
[(1 +		)n2]1/n → e0 = 1
	n2

krzysiek:

	1
a dlaczego dodałeś tam		? Skąd to wiesz ?
	n

krzysiek:

krzysiek:

Godzio: aⁿ = (aⁿ²)^1/n = a^{n2 * 1/n} = aⁿ bo (aⁿ)^m = a^{n * m}