Geometria analityczna - zadania. Andżelika: Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadań. Muszę nadrobić zaległości, a niestety nie ma pomysłu na ich rozwiązanie. Zadanie 1 Dany jest okrąg o równaniu (x + 7)² + (y − 2)² = 85. Punkty A i B są punktami przecięcia się okręgu z osią OY, a punkty C i D − punktami przecięcia się z osią OX układu współrzędnych. Oblicz obwód i pole czworokąta ACBD. Zadanie 2

	1
Na prostej o równaniu y =		x wyznacz punkty P i P' odległe o 4 od punktu R = (4, 5).
	2

Zadanie 3

	2		1
Proste o równaniach y = −		x + 4, y = −		x + 4 i y = 0 zawierają boki trójkąta ABC.
	3		2

a) Oblicz pole tego trójkąta. b) Wyznacz cosinus kąta między najkrótszym i najdłuższym bokiem trójkąta. Zadanie 4 Napisz równanie okręgu o środku w punkcie S = (−3, 1) stycznego do prostej l: y = −2x + 4 oraz oblicz długość boku trójkąta równobocznego wpisanego w ten okrąg.

Klekota: Zad 1. Punkty A i B wyznaczasz podstawiając do równania okręgu x=0 Punkty C i D wyznaczasz podstawiając do równania okręgu y=0 Jeśli zrobić roboczy rysunek sytuacji, to widać, że powstaje czworokąt składający się z czterech trójkątów prostokątnych, których pole jest bardzo łatwe do policzenia. Obwód składa się z przeciwprostokątnych tych 4 trójkątów, a te do wyliczenia Pitagorasem. Zad 2. P leży na danej prostej, więc ma współrzędne: P=(x, 1/2 x) |PR| = 4, wzór na odległość między punktami jest tu: https://matematykaszkolna.pl/strona/1248.html Podstawiając współrzędne P i R i przyrównując równanie do 4 − otrzymamy równanie kwadratowe ze względu na x. Rozwiązaniem są x₁ i x₂, które są współrzędnymi iksowymi P i P', współrzędne igrekowe liczymy z równania prostej. Zad 4. Równanie okręgu jest tu: https://matematykaszkolna.pl/strona/1468.html a i b mamy, brakuje tylko r. r jest odległością punktu S od prostej, wyliczamy ze wzoru https://matematykaszkolna.pl/strona/1249.html Zad 3 a) punkty przecięcia prostych wyznaczają wiechchołki. Jeden z boków leży na osi OX − weźmy go jako podstawę. wysokością będzie igrekowa wspołrzędna (a ściślej jej wartość bezwzględna) wierzchołka który jest w miejscu przecięcia pozostałych dwóch prostych. Masz podstawę i wysokość, masz pole trójkąta. b) dla cosinusa muszę zrobić sobie rysunek − za chwilę.

Andżelika: Dziękuję za poradę. Z zadaniem pierwszym, drugim i czwartym sobie poradziłam. Jednka nadal nie potrafię rozwiązać zadania trzeciego.

tn: Otóż przecięcia tych prostych to punkty stanowiące wierzchołki trójkąta. Znające je nie musisz się bawić w szukanie wysokości itd. jeśli poznasz wzór na pole trójkąta w układzie współrzędnych.

tn: nad tym cosinusem to się też dobrze zastanów

Mila: Obydwie proste przechodzą przez punkt C(0,4) Miejsca zerowe, to: 6 oraz 8 najkrótszy bok AB=8−6= 2

	1
PΔ=		* 2 *4
	2

2}średni bok AC= √(6−0)²+(0−4)²=√52= BC =√8²+4²=√80 cos oblicz z tw. cosinusów

marcyś: znajdź równanie okręgu o środku w punkcie S(2,1) i stycznego do prostej o równaniu y=x+3

marcyś:

Krzysiek : Zauwaz ze czesc rownania okregu juz masz bo masz podany srodek okregu . Po pelnego szczescia brakuje jeszcze promienia Mozesz obliczyc go tak. Zanien rownanie prostej ktora masz w postaci kierunkowej na postac ogolna Ax+By+C=0 Bedzie −x+y−3=0 Teraz masz postac ogolna prostej wiec ze wzoru na odleglosc punktu S od prostej wyznaczysz dlugosc promienia bo ten okrag ma byc styczny do prostej Mamy wzor

	IAxo+Byo+CI
d=
	√A2+B2

Z rownania prostej z postaci ogolnej nasze A=−1,B=1C=−3 Masz tez punkt S o wspolrzednych x_o=2 i y_o=1 Natomiast d bedzie dlugoscia promienia

	I(−1)*2+1*1−3I		4
d=		=		po uusunieciu niewymiernosci z mianownika dostaniemy
	√2		√2

d=2√2 a d jest rownwe promieniowi wiec zapiszemy r=2√2 Tylko ze w rownaniu okregu. jest r² wiec naze rownanie kregu bedzie mialo postac (x−2)²+(y−1)²=(2√2)²⇒(x−2)²+y−1)²=8 Prosze kliknacna lewej stronie jest taki link −geometria analityczna i tam jest wszystko co potrzebne do obliczen. Jescze jedno tam napisalem we wzorze na d 4 a nie −(4) bo tam jest wartosc bezwzgledna a wartosc bezwzgledna nie moze byc ujemna . Mysle ze powinno byc dobrze

marcyś: Rozwiąż równanie : 3x

marcyś: rozwiąż równanie 3xdo 3 +2xdo2+15x+10=0 b) w licznikux−3 w mianowniku 2−x to wszystko =2

marcyś: 3x3+2x2+15x+10=0 b)(x−3)/(2−x)=2

Krzysiek : tak na szybko bo sie spiesze do pracy. W a −poszukaj pierwistkow wsrod dzielnikow wyrazu wolnego czyli 10 dalej wiesz co robic

	x−3
w b		=2 mianownik≠ 0 ⇒2−x≠0⇒x≠2 −obie strony rownania *(2−x) aby pozbyc sie
	2−x

mianownika i to juz zwykle rownanie liniowe to sobie juz rozwiazesz i sprawdzisz czy rozwiazanie nalezy do dziedziny . Czesc.