równania trygonometryczne

równania trygonometryczne Kejt: Godziu pamiętasz jeszcze o mnie?

10 lut 21:19

Godzio: Cholera ! Masz tera ochotę

10 lut 21:43

Studentka: Drogi Godzio, mógłbyś zerknąć również na moje zadanie? emotka

Bardzo ładnie proszę

10 lut 21:45

ZKS: Ale jakieś zadania do zrobienia czy o co innego chodzi? emotka

10 lut 21:45

Godzio: Studentka nie znam tych pojęć, które masz w poleceniu więc niestety nie pomogę ... ZKS obiecałem Kejt, że pouczę ją trygonometrii z tych równań itd.

10 lut 21:46

Kejt: taak

10 lut 21:48

marcin: a może mnie ktoś pomoże, mam zadania które będą na egzaminie na studiach u mnie jutro lecz nie umiem ich rozwiązać, jest w stanie nawet za rozwiązania te symboliczna dyche na piwo komuś przelać, pomóźcie

10 lut 21:48

ZKS: W czym jest największy problem to może był bym w stanie pomóc ale nie wiem czy Kejt chce.

10 lut 21:49

Kejt: ZKS..uprzedzam, że ja jestem ciężkim przypadkiem

10 lut 21:50

Godzio: Podawaj przykłady jakich nie umiesz, nawet te proste, od początku będziemy lecieć marcin nie teraz, odświeżaj temat, może ktoś pomoże emotka

10 lut 21:51

ZKS: Hehe współczuję Godzio.

10 lut 21:54

Godzio: ZKS zajmij się towarzystwem

10 lut 21:55

Godzio: Kejt

10 lut 22:05

Studentka: Kochany Godziu, a mógłbyś zobaczyć kolejne zadanie które dodałam? emotka

10 lut 22:07

Godzio: Studentka na pewno nie w tej chwili, obiecałem Kejt, że ją pouczę ...

10 lut 22:08

Studentka: W takim razie czekam i liczę że znajdziesz dla mnie chwilkę emotka

10 lut 22:10

Kejt: choćby to: 2sin²x−2sin²cosx=1−cosx w zbiorze <0;2π> doszłam do: (cosx−1)(1−2sin²x)=0 ale dalej mi nie wychodzą wszystkie odpowiedzi..

	1
x=		π+kπ, k∊ℤ
	2

	π		π
i x=		+2kπ; x=−		+2kπ
	4		4

i nie wiem zbytnio jak tu ten przedział uwzględnić..

10 lut 22:11

Godzio: cosx = 1 ⇒ x = 2kπ

	1		√2		√2
sin²x =		⇒ sinx =		lub sinx = −
	2		2		2

czyli z pierwszego mamy:

	π		π		3
x =		+ 2kπ lub x = π −		+ 2kπ =		π + 2kπ
	4		4		4

z drugiego

	π		π		5π
x = −		+ 2kπ lub x = π − (−		) + 2kπ =		+ 2kπ
	4		4		4

Teraz do każdego rozwiązania wstawiasz całkowite k (np. −1,0,1 itd) dopóki nie wyjdzie Ci za przedział [0,2π]

10 lut 22:17

Kejt:

	π
ok..a skąd się wzięło π−		to jak mam kąt "ujemny" tak?
	4

10 lut 22:19

Godzio: Ja zawsze z tego schematu liczę (to widać na rysunku) sinx = a x = x_o + 2kπ lub x = π − x_o + 2kπ gdzie sinx_o = a

10 lut 22:26

Kejt: yeah! wyszło

już szukam czegoś jeszcze..

10 lut 22:36

Kejt: 2sin²x+sinx−1=0 z tym nawet nie mam zbytnio pomysłu na przekształcenie..

10 lut 22:43

ZKS: Podstawienie sinx = t ∊ <−1 ; 1>. emotka

10 lut 22:43

Kejt: ok

	1
t=−		i t=1
	2

czyli wychodzi:

	1
sin x=		i sinx=−1
	2

	1
sinx=
	2

	1		5
x=		π + 2kπ v x=		π+2kπ
	6		6

sinx=−1

	3		1
x=		π+2kπ v x=−		π+2kπ
	2		2

tak?

10 lut 22:59

Godzio: Te sinx/cosx = −1/0/1 mają jedno rozwiązanie, nie ma sensu rozbijać na 2 sinx = −1

	π
x = −		+ 2kπ
	2

10 lut 23:01

Kejt: (sinx+cosx)²=1 sin²x+cos²x+2cosxsinx=1 1+2cosxsinx=1 2cosxsinx=0 cosx=0 v sinx=0

	π
x=		+kπ v x=π+kπ
	2

co tu jest nie tak?

10 lut 23:18

ZKS:

	π
sinx + cosx = √2sin(x +		)
	4

	π
2sin²(x +		) = 1
	4

	π		1		π		√2
sin²(x +		) =		⇒ sin(x +		) = ±
	4		2		4		2

10 lut 23:21

ZKS: Albo Twoim bo widzę że dużo łatwiej.

2cosxsinx = 0 sin2x = 0.

10 lut 23:22

Kejt: ta pierwsza linijka to kosmos..

10 lut 23:22

k'k: rozwiąż równanie sin²x(sin²x+2cos²x)=cos²x(2−cos²x) to dla Ciebie.

10 lut 23:24

ZKS: Na moje nie patrz lubię wydłużyć drogę. emotka

Chyba że chcesz wiedzieć skąd co się wzięło?

10 lut 23:25

Kejt: dobra..już wiem..bez komentarza..zastanawiałam się czemu w odpowiedziach jest mnożenie.. −.−"

10 lut 23:26

Kejt: z chęcią zobaczę emotka

10 lut 23:27

ZKS:

	√2		√2
sinx + cosx = √2(		sinx +		cosx) =
	2		2

	π		π		π
= √2(sinxcos		+ sin		cosx) = √2sin(x +		)
	4		4		4

	√2		π		π
Korzystałem z sinxcosy + sinycosx = sin(x + y) i		= sin		= cos
	2		4		4

10 lut 23:32

Kejt: k'k wyjdzie:

	1		3		1		5
x=		π+2kπ v x=		π+2kπ v x=−		π+2kπ v x=		π+2kπ?
	4		4		4		4

10 lut 23:34

ZKS: Kejt spróbuj zrobić zadnie podane przez k'k. sin²x(sin²x + 2cos²x) = cos²x(2 − cos²x)

10 lut 23:35

ZKS: A już zrobiłaś heh. emotka

10 lut 23:35

Kejt: ZKS..cieszę się, że dało się to rozwiązać łatwiejszym sposobem..bo to nadal jest dla mnie mało zrozumiałe..

10 lut 23:38

ZKS: A pokaż jak zrobiłaś. emotka

Wtedy jak coś będę może mógł Ci inny sposób pokazać.

10 lut 23:38

ZKS: Później dam Ci zadnie które będzie polegało na wykorzystanie tamtego. emotka

10 lut 23:40

Kejt: sin²x(sin²x+2cos²x)=cos²x(2−cos²x) sin²x(1+cos²x)=cos²x(2−cos²x) (1−cos²x)(1+cos²)=cos²x(2−cos²x) 1−cos⁴x=2cos²x−cos⁴x 2cos²x=1

	1
cos²x=
	2

10 lut 23:40

Godzio: Kejt końcówka prościej 2cos²x = 1 2cos²x − 1 = 0 cos2x = 0

10 lut 23:46

ZKS: Mogłaś zrobić jeszcze tak. Tylko nie wiem czy łatwiej to już zależy od Ciebie. emotka

sin²x(1 + cos²x) = cos²x(1 + 1 − cos²x) 1 − cos²x = sin²x sin² + sin²xcos²x = cos²x(1 + sin²x) sin² + sin²xcos²x = cos²x + sin²xcos²x cos²x − sin²x = 0 cos²x − sin²x = cos2x cos2x = 0

10 lut 23:46

ZKS: Godzio mam nadzieje że się nie gniewasz. emotka

10 lut 23:47

Kejt: racja..zapomniałam o tym wzorku..

10 lut 23:47

Godzio: Nie, nie, szczerze to powinienem prosić o wybaczenie, trochę się zagadałem ze znajomymi i tak troszkę tu nie wchodziłem

10 lut 23:49

ZKS: Jak sporo zadań przerobisz to nigdy nie zapomnisz o żadnym wzorze zobaczysz.

10 lut 23:49

Kejt: zabrzmiało groźnie

10 lut 23:50

ZKS: Mam nadzieję że brat przyjedzie w weekend z laptopem to sobie pogramy chyba że będziesz zajęty.

10 lut 23:51

Godzio: W weekend jeszcze luzik emotka

10 lut 23:51

k'k: podać Ci kilka równań z Kiełbasy?

10 lut 23:52

ZKS: A kiedy zaczynasz II semestr? emotka

10 lut 23:53

Godzio: W poniedziałek

10 lut 23:54

Kejt: dziękuję, mam Kiełbasę.. chyba, że masz jakiś "świeższy" rocznik niż 09/10..chociaż w sumie nie wiem czy tam się coś zmienia aż tak bardzo..

10 lut 23:54

ZKS: sin(πlog(x)) + cos(πlog(x)) = 1 Takie zadanko. emotka

10 lut 23:55

ZKS: Szkoda bo ja mam jeszcze następny tydzień też wolny.

10 lut 23:56

Godzio: Hehe, Kejt nie przestrasz się, to tylko strasznie wygląda

10 lut 23:57

Studentka: Chłopaki ;> możecie jeszcze zerknąć na to zadanko? http://img836.imageshack.us/img836/6810/img9053m.jpg bo wciąż mi wychodzą jakieś krzaczki, a już jestem bliska łez przez głupi egzamin... :< z góry dziękuję emotka

10 lut 23:59

ZKS: Kejt na pewno się nie przestraszyła tylko pewnie już zabrała się za to zadnie. emotka

10 lut 23:59

Kejt: oczywiście

log(x) to jest zwykły logx tak?

11 lut 00:03

ZKS: Tak. emotka

11 lut 00:06

Godzio: Studentka detA₂ = −6, a później pisałaś dla 6 ... więc cała reszta się sypie, sposób rozwiązania jest poprawny.

11 lut 00:06

inka: hej emotka

mam może głupie i banalne pytanie, ale jeśli Δ jest ujemna to zbiór rozwiązan jest pusty?

11 lut 00:08

Studentka: czyli mam głupoty w zeszycie, bo miałam zapisane że detA to moduł z wyznacznika :<

11 lut 00:09

ZKS: inka to zależy czy masz równanie , nierówność.

11 lut 00:11

Studentka: inka zależy czy miałaś już liczby urojone emotka

11 lut 00:11

inka: nierówność

11 lut 00:11

Godzio: Modułu nie powinno być

11 lut 00:12

Godzio: x² + x + 1 > 0 Δ < 0 x ∊ R x² + x + 1 < 0 Δ < 0 x ∊ ∅ zależy emotka

11 lut 00:12

Kejt: dobra..zrobiłam..ale wyszło mi coś dziwnego.. D∊(0;+∞) sin(πlog(x)) + cos(πlog(x)) = 1 /² sin²(πlog(x))+cos²(πlog(x))+2sin(πlog(x))cos(πlog(x))=1 1+2sin(πlog(x))cos(πlog(x))=1 2sin(πlog(x))cos(πlog(x))=0 sin(2πlog(x))=0 2πlogx=π+kπ 2logx=1+k logx²=1+k i co ja mam z tym zrobić? pewnie gdzieś się walnęłam..

11 lut 00:13

ZKS: To zależy też jaką masz nierówność zobacz tutaj 93.

11 lut 00:13

inka: czyli jak mam takią nieróność −x² −1<0 to zbiór jest pusty?

11 lut 00:15

Godzio: x² + 1 > 0 x ∊ R

11 lut 00:17

inka: wielkie dzięki emotka

11 lut 00:18

Godzio: Kejt nie gubisz rozwiązania podnosząc do kwadratu ? Nie rób lepiej takich operacji, x = 2 /² x² = 4 x² − 4 = 0 (x − 2)(x + 2) = 0 x = 2 lub x = −2 Z jednego zrobiły Ci się dwa, więc lepiej nie ryzykować emotka

11 lut 00:18

Kejt: ups..

11 lut 00:19

Godzio: Post ZKS z 10 lut 23:32

11 lut 00:20

Kejt: tak się właśnie zastanawiałam czy tego nie trzeba użyć..ale wyglądało to dosyć przerażająco więc zostawiłam..

11 lut 00:21

ZKS:

	√2
Pomnóż obydwie strony równania przez		. Bo tak jak pisze Godzio gubi się
	2

rozwiązanie. emotka

11 lut 00:24

ZKS:

	√2
sinx + cosx = 1 / *
	2

	π		π		√2
sinxcos		+ sin		cosx =
	4		4		2

I teraz wzorek.

11 lut 00:25

Godzio: https://matematykaszkolna.pl/forum/126901.html Musisz naprawić błąd

11 lut 00:26

Kejt: wyszło mi:

	1		3
logx=		+2k v logx=		+2k
	4		4

chyba nadal jest coś nie tak..?

11 lut 00:30

Godzio:

	π
Coś na pewno, nie uwzględniłaś tego		z sinusa
	4

11 lut 00:31

Kejt:

	1
ale ja miałam tam		π..w tym pierwszym..tylko π się skróciło..
	4

nie wiem o co chodzi..

11 lut 00:33

ZKS: Teraz dokończ.

	π		√2
sin(πlog(x) +		) =
	4		2

11 lut 00:34

Kejt: aa..tutaj...już wiem..

11 lut 00:35

Godzio: Kejt Ty za rok matura ? Jeśli tak to wiedz, że takie błędy odpuszczam Ci tylko w tym roku

11 lut 00:36

ZKS: Kejt i zrób takie w zamian tamtego poprzedniego. emotka

√3sinx + cosx = 2

11 lut 00:37

Kejt: tak..za rok..znaczy..przeżyję?

11 lut 00:37

Kejt: wyszło:

	1
logx=2k v logx=		+2k
	2

mam coś z tym dalej robić..?

11 lut 00:38

Kejt: wyszło:

	1
logx=2k v logx=		+2k
	2

mam coś z tym dalej robić..?

11 lut 00:38

Godzio: x obliczyć

11 lut 00:39

inka: ok, teraz mam coś bardzo trudnego emotka

pkt. A(−4,2) oraz B(2,6) są symetryczne względem prostej k. wyznacz równanie prostej k. proszę się nie śmiać

jestem w klasie maturalnej o profilu humanistycznym

11 lut 00:39

Kejt: dobra..to było głupie pytanie..przyjmijmy, ze go nie było..dobrze?

11 lut 00:40

Godzio: k to prosta prostopadła do prostej przechodzącej przez A i B. Wykorzystaj jeszcze to, że k przechodzi przez środek odcinka AB emotka

11 lut 00:41

Kejt: wychodzi: x=100^k v x=√10*100^k

11 lut 00:41

inka: tu licze długość odcinka AB i coś tam sobie sama wymyślam C i coś z tymi wektorami?

11 lut 00:43

ZKS: Kejt i jak z tym zadaniem co podałem przed chwilą? emotka

11 lut 00:46

Kejt: nie przyjmuję przeprosin

nie no..nie wiem co z tym paskudnym pierwiastkiem zrobić..

11 lut 00:47

ZKS: To znaczy że nie jesteś zła skoro nie przyjmujesz przeprosin.

No chwilę się zastanów co z nim można zrobić. emotka

11 lut 00:51

Kejt: no nie jestem, to prawda..hmm..udać, że go nie było?

11 lut 00:53

pigor: ... emotka

no to dla inki : np. tak : wektor AB=[6,4] i S=(−1,4) − środek AB ⇒ 4x−6y+C=0 i 4(−1)−6*4+C=0 ⇒ C=28 , więc 4x−6y+28=0 ⇔ 2x−3y+14=0 − szukane równanie prostej k . ... emotka

11 lut 00:53

Kejt: mogę podzielić..ale to nic nie da...mogę pomnożyć..ale to też nic nie da..a za potęgowanie dostanę po łapkach.

11 lut 00:56

ZKS: Można podzielić tylko przez jaką liczbę aby można było zamienić √3 na funkcję trygonometryczną. emotka

11 lut 00:57

Kejt: o! nad tym też myślałam..tylko nie widziałam w tym sensu..

11 lut 00:58

Kejt: aa..przez 2?

11 lut 00:58

inka: pigor dzięki emotka

11 lut 01:02

ZKS: Przez 2 dobrze. emotka

Teraz zapisz tutaj. emotka

11 lut 01:02

Kejt:

√3		cos x
	sin x+		=1
2		2

	cos x
sin60^osinx+		=1
	2

11 lut 01:04

Kejt: hmm..chyba lepiej zrobić z tego pi..

	π		cosx
sin		*sinx+		=1
	3		2

11 lut 01:04

ZKS:

	cosx
A jak możesz inaczej zapisać		= cosx * ? I też zamień to na funkcje trygonometryczną.
	2

11 lut 01:05

Kejt:

	1		π
cosx*		=cosx*cos
	2		3

11 lut 01:06

Kejt: to wyjdzie wzór dla sin(α+β)?

11 lut 01:08

Kejt: cofam to..tego nie było..

11 lut 01:08

Kejt:

	π
cos(		−x)=1
	3

tak? czy na odwrót? i czy w ogóle o to chodziło..

11 lut 01:10

ZKS: Masz wzory sinxcosy + sinycosx = sin(x + y) lub jeżeli zamieniasz przy sinusie na sinusa i przy cosinusie na cosinus to korzystasz z cosxcosy + sinxsiny = cos(x − y).

11 lut 01:10

Kejt: tak! więc jednak

11 lut 01:11

ZKS: Cosinus jest funkcją parzystą więc to bez różnicy jak zapiszesz. emotka

	π		π
cos(		− x) = cos(x −		)
	3		3

11 lut 01:12

Kejt: okej..

	π
x=		−2kπ?
	3

11 lut 01:14

ZKS:

	π
x =		+ k * 2π Według mnie tak powinnaś napisać.
	3

11 lut 01:20

Kejt: no tak, tak.. dobra..mogę coś na dobranoc jeszcze? zrobię i lecę spać..

11 lut 01:20

ZKS: Za chwilkę Ci coś napiszę bo też zaraz się będę zbierał.

11 lut 01:27

Godzio: A wy dalej działacie

11 lut 01:32

ZKS: 3^sin²x = 3^cos²x + 2

11 lut 01:32

ZKS: Godzio widziałeś tego battlefield powrót do karkand? emotka

11 lut 01:35

Godzio: Nie, ale to chyba nic nowego czy ... ?

11 lut 01:36

ZKS: Mapy , bronie , jakiś nowy tryb dodany chyba ale właśnie nie wiem czy warto to kupić.

11 lut 01:41

Godzio: Ja na pewno nie kupie, nie opłaca się chyba

11 lut 01:44

Kejt: wyszło:

	π		3
x=		+2kπ v x=		π+2kπ
	2		2

11 lut 01:44

ZKS: Zapisz jak zrobiłaś bo coś Ci źle musiało wyjść.

11 lut 01:47

ZKS: Ja się zastanowię jeszcze nad tym ale chyba też na razie tego nie kupię. emotka

11 lut 01:48

Kejt: damn

3^sin²x=3^cos²x}+2 3^sin²x−3^1−sin²=2 sin²x=t t∊<−1;1>

	3
3^t−		=2
	3^t

3^2t−−2*3^t=3 3^t=a, a>0 a(a−2)=3 a²−2a=3 Δ=16 √Δ=4 a₁=−1 <− nie spełnia założenia a₂=3 3^t=3 t=1 sin²x=1 sinx=1 v sinx=−1

	π		3
x=		+2kπ v		π + 2kπ
	2		2

ten błąd zapewne wynika z tego, że prawie w ogóle nie rozwiązywałam równań funkcji wykładniczych..

11 lut 01:53

Godzio: Jest ok sinx = ±1

	π
x = ±		+ 2kπ −− równoważna odp
	2

11 lut 01:54

Kejt: dzięki Ci Godziu

ale teraz moje ego nie zmieści się w pokoju

11 lut 01:55

ZKS: Tak rzeczywiście jest w porządku w odpowiedzi chyba się pomylili. emotka

11 lut 01:58

Kejt: w odpowiedzi się pomylili, a ja mam dobrze?

no ładnie..dobra..lepiej pójdę spać zanim całkiem mi odbije..dobranoc Panom, do dzisiaj emotka

11 lut 02:00

ZKS: Dobranoc. emotka

11 lut 02:03

Godzio: Dobranoc emotka

11 lut 02:34