Sprawdzian kombinatoryka rumpek: Godzio, ICSP, Eta i inni macie może jakieś ciekawe zadania z kombinatoryki? Takie na sprawdzian rozszerzony? Bo trzeba zacząć sobie powtarzać, a czasami jeszcze pomylę przez niedoczytanie zadania kombinacje i wariacje . Jakie zadania np.: mogą się znaleźć na takim sprawdzianie rozszerzonym? Jeżeli ktoś ma jeszcze zadania ze sprawdzianu z kombinatoryki to bardzo proszę

ICSP: Wybacz ale kombinatoryką się nie zajmuję Możesz za to zrobić mi jedno zadanko : Na ile sposobów można rozmieścić 5 nierozróżnialnych kul w 8 różnych szufladach. P.S. Nie wiem jak to zadanie zrobić więc ktoś inny będzie musiał ci sprawdzić

rumpek: W₈⁵ = 8⁵ teoretycznie

rumpek: chociaż mi tutaj coś nie tak zalatuje z wyrazami "nierozróżnialne" "różne" trzeba będzie sie zastanowić jeszcze. I tak kombinatoryka to jest najgorszy dział dla matematyków jak to powiedziała moja nauczycielka

rumpek: "nierozróżnialne" = identyczne

rumpek: Jest tu ktoś z wolontariuszy ?

Aga: Jeśli kule są rozróżnialne, to odpowiedź rumpka jest poprawna. Jeśli kule nie są rozróżnialne. 1)Wszystkie kule w jednej szufladzie , z 8 szuflad wybieramy jedną na 8 sposobów. 2) Kule umieszczamy w dwóch szufladach . , najpierw wybieramy 2 szuflady z 8 na

	8 2
		=28sposobów.i umieszczamy w nich kule, możemy to zrobić na 4 sposoby, do każdej pary

szuflad wrzucamy kule ( 4 kule i 1 kula lub 1kula i 4 kule lub 2kule i 3 kule lub 3kule i 2kule) czyli 28*4, lub

	8 3
3) kule umieszczamy w trzech szufladach		*6

	8 4
albo w 4		*5

	8 5
i na koniec w pięciu , czyli w każdej po jednej kuli.

	8 3		8 4		8 5
Odp.8+28*4+		*6+		*5+		.

Mam nadzieję, że mój tok rozumowania jest poprawny, chociaż przyznam, że nie pamiętam bym takie zadania rozwiązywała.

rumpek: Naprawdę nie ma nikt ciekawych zadań? Tak na maturkę rozszerzoną aby sobie poćwiczyć i zarazem na sprawdzian ?

Jarek: Jeśli to dalej aktualne to wrzucę Ci zadania z arkuszy maturalnych poz. roszerzony. Nie wiem jak kombinatoryka, ale większość zadań jest naprawdę dużo powyżej arkuszy CKE/Operon. Z tym, że jutro wieczorem wrzucę zadania koło 18.

rumpek: Nadal aktualne naturalnie Dzięki bardzo.

dudusiek11: Z talii 52 kart losujemy bez zwracania 8 kart. Ile jest możliwości wylosowania trzech asów

dudusiek11: Z talii 52 kart losujemy bez zwracania 8 kart. Ile jest możliwości wylosowania trzech asów prosze o calkowite wyliczenie bo ja tego nie kumam

rumpek: Zrobiłem w poprzednim

rumpek: Znaczy w twoim temacie?

dudusiek11: Ile można wykonać różnych trójkolorowych chorągiewek mając do dyspozycji 6 barw Równiez prosze o wyliczenie tego zadanka

dudusiek11: ale jak to dalej obliczyc

rumpek: Odpowiadam w twoim temacie. Mi tu proszę nie śmiecić

dudusiek11: ale jak ma to dalej pomnozyc i czy mam uzyc silnie

Eta: Proszę bardzo zad.1/ Do 10−ciu ponumerowanych szuflad wkładamy losowo 11 rękawiczek,wśród których jest dokładnie jedna para. Jakie jest prawdopodobieństwo,że żadna z szuflad nie będzie pusta oraz rękawiczki tworzące parę znajdą się w różnych szufladach ? zad.2/ Z cyfr {0,1,2,3,5,6} tworzymy liczbę czterocyfrową. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 25 ? a) cyfry nie mogą się powtarzać b) cyfry mogą się powtarzać zad.3/ 10 pań wśród których są panie A,B,C idą "gęsiego" górską ścieżką. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia,że panie AiB będą szły obok siebie i pani C nie będzie szła obok pani B ? powodzenia

rumpek: Dziękuje Zabiorę się do nich albo dzisiaj po północy albo jutro bo zaraz na "Back To The Future" śmigam

Jarek: 1. liczby P(A∩B),P(A),P(B),P(A∪B) tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny.Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A\B. 2.

	4		3
Wykaż,że jeśli A,B⊂Ω wiadomo że P(A)<		,P(A∩B)>		, to P(A\B)<0,2
	7		8

trudne są, bo chcę sprawdzić co umiesz.

rumpek: Chociaż zadanie 2 jest kuszące Z = {0,1,2,3,5,6} (6 liczb) Jest podzielna, gdy ostatnia cyfra to 5 lub 0, zatem: −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− a) bez zwracania 1) gdy ostatnią liczbą jest 0: − − − − (liczba 4 cyfrowa) 1. ostatnią liczbę mogę wybrać na 1 sposób (musi to być zero) 2. pierwszą liczbę mogę wybrać na 5 sposobów (0 już poszło) 3. drugą liczbę mogę wybrać na 4 sposoby (2 już wykorzystane) 4. trzecią liczbę mogę wybrać już tylko na 3 sposoby 1 * 5 * 4 * 3 = 60 2) gdy ostatnią liczbą jest 5 1. ostatnią liczbę mogę wybrać na 1 sposób (musi to być 5) 2. pierwszą liczbę mogę wybrać na 4 sposoby (nie może to być 0 i 5) 3. drugą liczbę mogę wybrać na 4 sposoby (dwie już wykorzystane) 4. trzecią liczbę mogę wybrać na 3 sposoby (wiadomo dlaczego ) 1 * 4 * 4 * 3 = 48 Sumując: 60 + 48 = 108 sposobów −−−−−−−−−−−−−−− b) ze zwracaniem podobnie jak wyżej: 1) gdy ostatnie jest 0 1. ostatnią liczbę mogę wybrać na 1 sposób (będzie to 0) 2. pierwszą liczbę mogę wybrać na 5 sposobów (nie może być 0) 3. drugą liczbę mogę wybrać na 6 sposobów 4. trzecią liczbę mogę wybrać na 6 sposobów 1 * 5 * 6 * 6 = 180 2) gdy ostatnie jest 5 1. ostatnią liczbę mogę wybrać na 1 sposób ( będzie to 5) 2. pierwszą liczbę mogę wybrać na 4 sposoby (nie może to być 0 i 5) 3. drugą liczbę mogę wybrać na 6 sposobów 4. trzecią liczbę mogę wybrać na 6 sposobów. 1 * 4 * 6 * 6 = 144 Sumując: 180 + 144 = 324 sposoby Robione na szybko więc mogą być błędy.

rumpek: Prosiłem o zadania z kombinatoryki, nie z prawdopodobieństwa

Eta: Nie osłabiaj mnie rumpek (chcę jeszcze trochę pożyć do bani ! czy liczba 115 , 35 dzieli się przez 25 ? Jaka jes cecha podzielności przez 25 ?

rumpek: No na necie jeszcze szukałem bo nie pamietałem , że podzielna przez 25 to na końcu 0 i 5. Zobaczę na innej.

rumpek: No tu jest: http://matma.prv.pl/cechy.php A ja opierałem się na tym: http://www.sciaga.pl/tekst/47116-48-podzielnosc_liczb_przez_2_3_4_5_8_9_10_25_100

rumpek: Zaraz naprawimy, i dopiero teraz zobaczyłem, że tam jest "oblicz prawdopodobieństwo"

Eta:

Eta: No to nie licz prawdopodobieństwa ( skoro tak się upierasz Napisz ile jest takich liczb podzielnych przez 25 w obydwu przypadkach a) b)

Jarek: Wrzuciłem Ci zadania dajesz mistrzu Ciekawe jak sobie poradzisz.

rumpek: a) bez powtórzeń nie ważne co jest na końcu, cyfry nie mogą się powtarzać, 0 nie może być pierwsze. − − − − (liczba 4 − cyfrowa) pierwszą na 5 sposobów, drugą na 5 sposobów, trzecią na 4 sposoby, ostatnią na 3 |Ω| = 5 * 5 * 4 * 3 = 300 Zdarzenia sprzyjające to będzie gdy na końcu (jako iż nie mogą się powtarzać to tylko): 25, 50 1^o Gdy na końcu 25 −−25 pierwszą liczbę na 3 sposoby (prócz 0 2 i 5) drugą liczbę na 3 sposoby i potem po jednej. 3 * 3 * 1 * 1 = 9 2^o Gdy na końcu 50 pierwszą liczbę na 4 sposoby, drugą na 3 i potem po jednej 4 * 3 * 1 *1 = 12 Sumując: |A| = 12 + 9 = 21 Teraz prawdopodobieństwo:

	|A|
P(A) =
	|Ω|

	21		7
P(A) =		=		= 0,07
	300		100

Zaraz będzie kolejne

Eta: Do bani!

rumpek: b) z powtórzeniami Z = {0,1,2,3,5,6} (6 liczb) Z powtórzeniami, zatem: 1 liczbę mogę wybrać na 5 sposobów (prócz 0), drugą liczbę na 6 sposobów tak samo jak 3 i 4 |Ω| = 5 * 6 * 6 * 6 = 1080 I znowu zdanie sprzyjające (tu już będę rozpatrywał 00, 25, 50) 1^o Gdy na końcu będzie 00 −−00 pierwszą liczbę mogę wybrać na 5 sposobów, drugą na 6 sposobów i potem po 1 5 * 6 * 1 * 1 = 30 2^o Gdy na końcu będzie 25 −−25 pierwszą liczbę na 5 sposobów, drugą na 6 sposobów i potem po 1 5 * 6 * 1 * 1 = 30 3^o Gdy na końcu będzie 50 pierwszą liczbę mogę wybrać na 5 sposobów, drugą na 6 sposobów, i potem po 1 5 * 6 * 1 *1 = 30 Sumując: |A| = 30 + 30 + 30 = 90 (lub od razu zauważyć można było, że 30 * 3 ) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	|A|
P(A) =
	|Ω|

	90		30		3		1
P(A)=		=		=		=
	1080		360		36		12

Może teraz będzie ok

Eta: Ojjjjjjjjj sory Nie popatrzyłam ( myślałam ,że ze wszystkich cyfr jest tworzona ta liczba

rumpek: Ale że jak do bani

rumpek:

Eta: ok

rumpek: oba?

Eta: No to napisz podobnie dla wszystkich cyfr pięciocyfrową podzielną przez 25 z powtórzeniami !

Eta: Oba (ma)

rumpek: Jeżeli oba dobrze to czas iść przy filmie "Ferdydurke" czytać

rumpek: Za pierwszym razem internet wprowadził człowieka w błąd i teoretycznie zrobił dla liczb podzielnych przez 5

Eta: https://matematykaszkolna.pl/forum/115730.html Zadanka dla Ciebie

Jarek: 1.W pudełku jest 15 kul w tym co najmniej dwie żółte, a pozostałe czerwone. a) Ile kul żółtych, a ile czerwonych jest w pudełku, jeśli w losowym wyborze dwóch kul z

	2
pudełka prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul żółtych wynosi		?
	35

b)Dla wyznaczonej liczby kul żółtych i czerwonych oblicz prawdopodobieństwo tego że wybierając losowo dwie kule otrzymamy jedną kulę czerwoną,a drugą żółtą. 2.W klasie 3a jest 10 dziewczyn i 15 chłopaków. Oblicz prawdopodobieństwo ,że w losowo wybranej delegacji trzyosobowej tej klasy będzie co najwyżej jedna dziewczyna.

tytyryty: To zadanie z kulami (pierwsze napisane) to chyba tak niech x_i oznacza ilość kul w i−tej szufladzie dla i=1,....,8. Mamy w sumie pięć kul ∑_{i=1 do 8}x_i=5 i był wzór na liczbę całkowitoliczbowych rozwiązań takiego równania (bodajże kombinacje z powtórzeniami) nei pamiętam dokładnieChyba to samo co kombinacje z powtórzeniami.

ICSP: że ja na to wcześniej nie wpadłem....

	n+k−1 k
Ckn =

czyli mamy:

12 5		12!		8*9*10*11*12
	=		=		= 798 xD
		7!*5!		1*2*3*4*5

Jarek: http://www.zadania.info/d21/1

rumpek: Eto jakbyś mogła zobaczyć na ten wątek: https://matematykaszkolna.pl/forum/29190.html myślę, że Basia w podpunkcie d) (podzielne przez 10) się pomyliła

Eta: Jest ok

	1 1		10 2
bo		=1 −−− wybór 10−ki i wybór pozostałych bez 10−ki *

	2 2		9 1
lub		=1 wybór 2−ki i 5−ki i wybór 1−ej z pozostałych dowolnych

	10 2		9 2
co daje 1*		+ 1*

Eta: poprawka

	10 2		9 1
co daje 1*		+1*

rumpek: No nie jest ok bo ma zbiór z którego to zadanie jest i tam jest odpowiedź : 71

10 2		10!		9 * 10
	=		=		= 9 * 5 = 45
		2! * 8!		2

9 1
	= 9

45 + 9 = 54

rumpek:

rumpek: miało być: "No nie jest ok, bo ma zbiór z którego to zadanie jest mam go i tam jest odpowiedź .. "

rumpek: no jasny gwint "No nie jest ok bo mam zbiór z którego to zadanie jest i tam jest odpowiedź ..." Teraz dobrze

Basia: nie będę dostosowywać wiedzy do odpowiedzi w zbiorach zadań; żadnego egzaminu bym nie zdała

rumpek: Szperając na internecie znalazłem:

10 2		4 1		5 1		4 2
	+		*		+		= ....

45 + 6 + 20 = 71

Basia: masz rację rumpek; odszczekuję podzielna przez 10 ⇔ {10, dowolna, dowolna} lub {5, parzysta≠10, nieparzysta≠5} lub {5, parzysta≠10, parzysta≠10} (tak musi być, jeżeli warunki mają być rozłączne)

	10 2		4 2
co daje:		+1*4*5 + 1*		= 45+20+6

Basia: hau, hau, hau.......................

kylo1303: Jako, że mi tez przydalby sie trening z prawdopodobienstwa to pozwolilem sobie skorzystac z niektorych zadan, fajnie by bylo gdyby ktos je sprawdzil. zad.1/ Do 10−ciu ponumerowanych szuflad wkładamy losowo 11 rękawiczek,wśród których jest dokładnie jedna para. Jakie jest prawdopodobieństwo,że żadna z szuflad nie będzie pusta oraz rękawiczki tworzące parę znajdą się w różnych szufladach ? Zaczne od rozstawienia rekawiczek A i B (AB sa jednakowe, naleza do tej jedynej pary). Musza byc w innych szufladach, wie licze na ile sposobow moge wybrac 2 szuflady:

10 2
	*2=90 (mnoze przez dwa bo w kazdej mozliwosci moge zamienic miejscami A i B.

Zostalo mi 8 szuflad i 9 rekawiczek, zapelniam wiec dowolnie pozostale szuflady: 8!*10 (ostatnia rekawiczke moge wlozyc do dowolnej szuflady). W sumie daje mi to 90*8!*10 mozliwosci, czyli inaczej 10!*10.

	10!*10		10!
|Ω|= 1011 P(A)=		=
	|Ω|		1010

Czy to dobry wynik/rozumowanie? Zaraz napisze wyniki do zadan Jarka. Thx from above

kylo1303: 1. W pudełku jest 15 kul w tym co najmniej dwie żółte, a pozostałe czerwone. a) Ile kul żółtych, a ile czerwonych jest w pudełku, jeśli w losowym wyborze dwóch kul z

	2
pudełka prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul żółtych wynosi
	35

b)Dla wyznaczonej liczby kul żółtych i czerwonych oblicz prawdopodobieństwo tego że wybierając losowo dwie kule otrzymamy jedną kulę czerwoną,a drugą żółtą. 2. W klasie 3a jest 10 dziewczyn i 15 chłopaków. Oblicz prawdopodobieństwo ,że w losowo wybranej delegacji trzyosobowej tej klasy będzie co najwyżej jedna dziewczyna. ad. 1 n−kule żółte 15−n − kule czerwone Ω= 15*14

	n 2
Dwie kule żółte: A=

	A		n(n−1)		2
P(A)=		=		=
	Ω		15*14		35

35n*(n−1)=2*15*14 n²−n=4*3 n²−n−12=0 n₁=−3 n₂=4 Odp. 4 żólte i 11 czerwonych b) B=11*4

	44		22
P(B)=		=
	15*14		105

ad. 2 10dz i 15ch co najwyżej 1 dziewczyna, czyli: d,ch,ch lub ch,ch,ch

	10 1		15 2
−d,ch,ch:		*		=1050

	15 3
−ch,ch,ch		=455

A=1505 Ω=25*24*23

	A		301
P(A)=		=
	Ω		2760

rumpek: Odnośnie zad 1 (z tych kul) a) i b) dobrze, jednak dałbym jeszcze złożenie n≥2, wtedy byłoby idealnie Zad 2. źle

	25 3		25!		25 * 24 * 23
|Ω| =		=		=		= 25 * 4 * 23 = 2300
			3! * 22!		6

|A| = C₁₅³ * C₁₀⁰ + C₁₀¹ * C₁₅² = 1505

	1505		301
P(A) =		=
	2300		460

rumpek: Sorki Zad 1 też jest źle

	15 2		15!		15 * 14
|Ω| =		=		=		= 15 * 7 = 105
			2 * 13!		2

Masz wyciągnąć więc losowo, a nie korzystać z wariacji bez powtórzeń

kylo1303: Glupi blad (ten sam w obu zadaniach). Nie wiem dlaczego skorzystalem z wariacji, powiedzmy ze to chwilowe zacmienie. A zadanko z rekawiczkami (chyba najciekawsze) zrobiles?

rumpek: w czwartek na kartce; ale nie przepisywałem bo za dużo pisania mi wyszłoby

rumpek: Jak chcesz, mam dla Ciebie ciekawe zadanko. Nie trudne i nie łatwe "Wiedząc, że w urnie znajduje się n kul czarnych i 2n kul białych. Losujemy jednocześnie dwie kule. Rozstrzygnij co będzie bardziej prawdopodobne: czy wylosowanie 2 kul tego samego koloru czy może wylosowanie 2 kul rożnych kolorów"?

kylo1303: A− 2 tego samego kolory B− 2 rozne n∊N

	n 2		2n 2
A=		+

B= n*2n=2n²

	(n−1)n		2n(2n−1)		n2−n+4n2−2n		5n2−3n
A=		+		=		=
	2		2		2		2

	5n2−3n		4n2		n2−3n		n(n−3)
A−B=		−		=		=
	2		2		2		2

A−B≥0 ⇔ n∊(−∞,0> u <3,∞) A−B<0 dla n∊ {1,2} Moc omegi jest taka sama, wiec wystarczy przyrównać ziory A i B zeby zobaczyc ktore prawdopodobienstwo jest wieksze: P(A)<P(B) dla n∊{1,2} P(A)>P(B) dla n>2 gdzie n∊N

rumpek: jeżeli : "P(A)<P(B) dla n∊{1,2} P(A)>P(B) dla n>2 gdzie n∊N" to jest odpowiedź to jest ona błędna

kylo1303: Aaaa przepraszam, nie doczytalem zadania Odp. Prawdopodobienstwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru jest wieksze od prawdopodobienstwa wylosowania dwoch kul roznych kolorow.

kylo1303: kurde, źle! Od[. Bardziej prawdopodobne jest zajscie zdarzenia A niz zdarzenia B.

rumpek: I tak źle i tak źle Pierwsza forma − dobre myslenie lecz złe przedziały

kylo1303: No nic, teraz jade na mecz ale jak wroce to bedzie drugie podejscie.

ZKS: rumpek nadal chcesz zadnie z kombinatoryki?

rumpek: ZKS jak masz jakieś możesz podrzucić Ale na poziomie liceum

ZKS: Liceum liceum oczywiście. Na peronie stało 4n osób, n ∊ N₊. Gdy przyjechał pociąg, złożony z czterech wagonów, każda z nich losowo wybierała wagon do którego wsiądzie. Liczba wszystkich możliwości umieszczenia tych osób w pociągu tak, aby w każdym wagonie znalazła się ta sama liczba osób wyniosła 369600. Ile osób stało na peronie?

rumpek: Z jakiego zbioru to zadanie jest ? Bo coś mi się przypomina, że albo na lekcji było albo gdzieś już to robiłem <myśli>

ZKS: Z oficyny edukacyjnej Pazdro.

rumpek: No to dlatego kojarzę

rumpek: Takie pytanie odnośnie zadania: "Ze zbioru {1,2,..,11} losujemy dwie liczby, ile jest sposobów takich aby iloczyn wylosowanych liczb tworzył liczbę podzielną przez 7". Zna ktoś jakiś szybki sposób, czy wypisywanie Ile tak będzie tych liczb? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Wpierw: 1 * 7 = 7 2 * 7 = 14 3 * 7 = 21 4 * 7 = 28 5 * 7 = 35 6 * 7 = 42 8 * 7 = 56 9 * 7 = 63 10 * 7 = 70 11 * 7 = 77 Czyli mi wychodzi 10 teoretycznie ale zastanawiam się czy jakiś inny iloczyn nie utworzy takiej liczby.

ZKS: Sprawdź czy liczby 7 , 14 , 21 , 28 , 35 , 42 , 56 , 63 , 70 , 77 dzielą się przez inne liczby. Np. 28 : 2 = 14 lecz 14 do wyboru nie ma , 70 : 5 = 14 , 63 : 3 = 21 lecz nie mamy do wyboru.

rumpek: Poprawnie czy niepoprawnie ? 10?

ZKS: Jeżeli losujemy po 2 liczb to tak.

ZKS: Ale ze zwracaniem czy bez?

rumpek: Jakby było 3 to co wtedy?

rumpek: losujemy (kombinacje)

ZKS: Jeżeli 3 to 7 * coś * coś

rumpek: czyli sprawdzać tę liczbę która zawiera 7 tylko tak? jako liczbę? (oczywiście 3 liczby)

ZKS: Tak bo inny iloczyn Ci nie da liczby podzielnej przez 7. Musisz tak zrobić abyś mógł z tej liczby wyłączyć 7.

rumpek: dzięki

kylo1303: Wracajac do zadanka z godziny 20 : A−B>0 ⇔ n∊(−∞,0) u (3,∞) A−B<0 dla n∊ {1,2} A=B dla n=3 Odp. Jesli n∊{1,2} to P(B)>P(A) Jesli n=3 to P(A)=P(B) Jesli n>3 i n∊N to P(A)>P(B) A jezeli i to rozwiazanie jest zle to prosze o podanie poprawnej odpowiedzi

rumpek: poprawnie

kylo1303: ufff... Musze jeszcze cos porobic z Prawdopodobienstwa calkowitego i warunkowego, ale to juz skorzystam z ksiazki. Zadanka ktore tutaj wypisaliscie tez zrobie, mam nadzieje ze nie masz/macie nic przeciwko temu ze w pewnym sensie "zasmiecam" temat.

rumpek: Mam pytania odnośnie zadań: 1. Ile jest sposobów rozdzielenia 3 różnych przedmiotów między pięć osób. 2. Ile istnieje sposobów takich, że można z talii 52 kart wyciągnąć pięć tak aby były w nich: a) dwa walety i trzy karty mniejsze od siódemki b) cztery tego samego koloru 3. Ile istnieje sposobów rozdzielenia 3 piłek (różnych kolorów) pomiędzy siedem osób. Każdy może otrzymać tylko jedną piłkę. Ad 1.

5 2		5!		4 * 5
	=		=		= 10
		2! * 3!		2

Ad 2. a) dwa walety i trzy kart mniejsze od siódemki kart mniejsze od siódemki to {dwójka, trójka, czwórka, piątka, szóstka} 5 * 4 = 20

4 2		20 3
	*		= 6 * 1140 = ...

b) cztery tego samego koloru − jest 13 kart tego samego koloru

13 4		39 1		13 4		39 1		13 4		39 1		13 4		39 1
	*		+		*		+		*		+		*		= ...

	13 4		39 1
lub krótko		*		* 4

Ad 3.

7 3
	= ..

Proszę o sprawdzenie tych zadań, bo mam wątpliwości szczególnie do Ad.3 oraz do Ad.2 b)

aa: w 1 3 z 5 ale obliczenia ok

aa: reszta jest OK

rumpek: racja Ad. 1

5 3
	= ...

rumpek: To z kartami też? bo najwięcej mam wątpliwości wychodzi to, że nigdy nie grałem w karty

kylo1303: Na moje oko z kartami jest ok

Aga: W zad, 1.pierwszy przedmiot może otrzymać 1lub druga, lub 3 lub 4 lub 5 osoba, więc można go przydzielić na 5 sposobów. Drugi przedmiot również na 5 sposobów, trzeci też na 5 sposobów. odp. 5*5*5=5³. Zad. 3.Pierwszą piłkę można przydzielić każdej spośród 7 osób , mamy 7 sposobów drugą piłkę można przydzielić jednej osobie spośród 6 osób, które nie mają piłki,(bo jedna już piłkę dostała)i, można to zrobić na 6 sposobów. trzecią piłkę przydzielamy osobie, która nie ma piłki( 2 już mają), możemy to zrobić na 5 sposobów. odp. 7*6*5 Ad.2b dobrze.

rumpek:

	5 3
Akurat Zad 1. myślałem tak samo jak ty lecz potem nauczycielka powiedziała, że

i chyba zad 3. podobnie to dobrze ze z kartami jest dobrze

Aga: Z kombinacji korzystasz jeśli kolejność nie jest istotna, np wybór kart z talii, wybór delegacji , losowanie kul z urny, wybór punktów rozmieszczonych na okręgu, wybór trzech odcinków z których da się zbudować trójkąt.

kylo1303: Aga, moim zdaniem w zadaniu 3 jednak kombinacja jest wlasciwie uzyta. Trzeba po prostu pomyslec o tym od innej strony, tzn pilki maja byc u innych osob, wiec po rozdaniu bedziemy mieli 3 osoby z pilkami. Dlatego wystarczy policzyc ile takich roznych trojek mozemy wybrac. Co do zadania 1 to nie ma powiedziane ze ktos nie moze miec kilku wiec chyba 5³ moze byc (sam sie nad tym zastanawialem czy aby na pewno dobrze)

Aga: Można z 5 osób wybrać trzy osoby, ale jeśli będą do podziału np. zeszyt, parasol i laptop to z punktu widzenia osoby nie ma znaczenia jaki przedmiot otrzyma? Przecież w tym zadaniu może się zdarzyć, że wszystkie przedmioty otrzyma jedna osoba, tylko nie wiadomo która, ewentualnie jedna otrzyma 2 przedmioty i jeszcze któraś 1 przedmiot.

kylo1303: A nie, cofam jednak. Jest powiedziane ze pilki maja byc rozne, wiec jednak kombinacja nie jest wlasciwie uzyta.

rumpek: Ktoś się jeszcze przyłączy do konferencji? Ad 1.

5 3
	= 10

Ad 3. 7 * 6 * 5 = ... (w Ad na pewno kombinacje nauczycielka mówiła, a zad 3 wpierw napisałem wariacje a potem powiedziała, że też kombinacje trochę dziwne jak dla mnie )

Aga: Dopisek , że piłki są różnych kolorów ma znaczenie. Gdyby piłki były jednego koloru, jednej wielkości (nierozróżnialne) to jak najbardziej trzeba zastosować kombinacje.

rumpek: Czyli w Ad 1. Kombinacje są właściwe? tj.:

5 3
	= ...

a w Ad. 2 wariacja bez powtórzeń tak?

Aga: 1) wariacje z powtórzeniami 2)kombinacje 3) wariacje bez powtórzeń.

kylo1303: Wydaje mi sie ze w zadnym zdaniu nie stosujemy kombinacji (poza kartami, ale o tym nie mowimy). Sam na poczatku przeczytalem o pilkach i przyjalem ze sa takie same, jesli nie sa to trzeba wariacje. Ta sama rzecz ma sie z zadaniem pierwszym, gdyby to byly takie same przedmioty to kombinacje, ale jako ze sa inne + mozemy je rozdac dowolnie to trzeba tak jak napisala Aga,tj. 5³

rumpek: Tutaj zadanie podobne do Ad 1 (pierwsze od góry) https://matematykaszkolna.pl/forum/113748.html więc obstawiam kombinacje

rumpek: Pozostało tylko poczekać na Etę lub Basię jak one tak powiedzą, znaczy że ostateczna odpowiedź

kylo1303: A ja mam pytanie troche innego typu, chcialbym uslyszec co inni sadza na temat jednego zadania. Przykladowe zadanie: Mamy flage, podzielona na 3 sektory. Mamy przykladowo 3 kolory. Ile jest sposobow utworzenia trojkolorowej flagi? Zazwyczaj odpowiedz do takich zadan to 3³ (wariacje z powtorzeniami). Ja jednak uwazam ze to nie jest poprawnie sprecyzowane zadanie, bo w koncu jesli te same kolory sa obok siebie, to wtedy "zlewaja sie", tzn. jesli w kazdym sektorze uzyjemy tego samego koloru, to flaga nie bedzie 3kolorowa tylko jedno. Czy z punktu formalnego da sie obronic takie stanowisko (na przyklad na maturze) czy raczej nie?

kylo1303: "Ile jest sposobów rozdania 4 piłek między 7 osób?" Tutaj sa kombinacje bo pilek nie rozrozniamy. W tym zadaniu dajmy na to pilki dostana A B C D. W twoim przedmioty rozrozniamy, Gdybysmy uzyli kombinacji to przykladowo przedmioty powedrowalyby do A B i C, ale nie okreslac jaki przedmiot do kogo. A moglby dostac czerwona pilke, B niebieska a C zielona, a przeciez moze byc tez inaczej (A zielona, B czerwona C niebieska). Kombinacje tego nei uwzgledniaja.

Aga: Przeczytaj uważnie i zwróć uwagę na różnice, które są. W tamtym zadaniu są wszystkie piłki jednakowe, więc nie ma z czego wybierać. Dostaję piłkę i już, ale jeśli są różnych kolorów to zgody może nie być, bo ja np. wolę piłkę białą niż czarną,więc z mojego punktu widzenia otrzymanie kuli białej nie oznacza tego samego co otrzymanie kuli czarnej.

rumpek: Przykład: masz 6 prezenty i dajesz jakoś tak 8 osobom (prezenty) są równe. I tutaj też będzie kombinacja, bo to zadanie robiłem jako pierwsze na lekcji z kombinacji

kylo1303: Wszystko sprowadza sie do tego czy przedmioty sa jednakowe czy inne. Jesli sa inne to wazne jest kto jaki dostanie. Kiedy sa takie same to nie ma to znaczenia.

Aga: To ostatnie zadanie oczywiście z kombinacji, bo wszystkie prezenty,są jednakowe.

Aga: @ rumpek już dałeś się przekonać?Nie mam więcej argumentów.

rumpek: Spoko Też wpierw zrobiłem te zadania wariacjami, tylko potem zostałem "poprawiony" na kombinację. Dlatego chcę się dowiedzieć co jest poprawne. Ale poczekam jeszcze na fachowca z kombinatoryki

rumpek: Dopytuje tak o to zadanie, bo zapewne będę miał takie na sprawdzianie. I jakbym zrobił wariacją to będę musiał jakieś argumenty pewnie wytoczyć jakby się nie zgadzało. Odnośnie tego zadania z prezentami to tam było "masz 6 prezenty i dajesz jakoś tak 8 osobom (prezenty są różne ) " i tutaj to zostało rozwiązane kombinacjami. Jednakże ja na początku lekcji też zrobiłem wariacjami bo było że są różne

Aga: Przecież napisałeś równe.o 14:33

rumpek: właśnie dlatego poprawiłem bo się pomyliłem. Co można było odczytać bo od kiedy prezenty są równe

rumpek: Więc jakby były różne to chyba wariacje z tymi prezentami, cio ?

kylo1303: Ewentualnie jesli jestes pewien ze robiles z kombinacji, to moze wygladalo to tak:

7 3
	−wybor 3 osob z siedmiu ktore dostana pilke

6− tyle jest sposobow podarowania 3 roznych przedmiotow 3 osobom. W sumie daje nam:

7 3		7*6*5*6
	*6=		=7*6*5=210 czyli to samo co wariacje bez powtorzen
		6

rumpek: Na pewno kombinacje ...

rumpek: Znaczy na pewno było powiedziane, że kombinacje chociaz tak nie uwazam Dobra czekam na Etę

Aga: A dlaczego nie . Kupujesz 6 identycznych piłek i dajesz dzieciom jeśli będzie sześcioro dzieci , to każde dostanie po piłce i rozdzielisz piłki na 1 sposób, wybierasz 6 osób z pośród 6 osób.

	7 6
Jeśli masz 7 osób, to wybierasz z nich 6 osób , możesz to zrobić na		=7 sposobów,

(jedna osoba nie dostanie piłki )

rumpek: Coś temat ucieka na boczny tor. Nie pytałem o zadanie z tymi piłkami − bo to na pewno kombinacje (bo są jednakowe). Ale pytałem z tym prezentem, skoro są różne więc wariacje z powtórzeniami? Bo 6 różnych prezentów i daje 8 człowieczkom no to 6⁸

kylo1303: Oczywisice jesli nie ma zastrzezenia ze kazdy ma dostac tylko jeden prezent.

rumpek: no tak tak

kylo1303: A ktoś odpowie na pytanie z 14.29?

Aga: Na maturze powinno być jasno sformułowane. Wg. mnie jeśli użyjesz dwa kolory, to nie będzie flaga trójkolorowa odp,z 14:29 3³ chyba nie.

kylo1303: Mamy 15 par rękawiczek, wśród których dowolne dwie pary różnią się od siebie. Wybieramy losowo 4 rekawiczki. a) opisz przestrzen zdarzen elementarnych b) oblicz prawdopodobienstwo A− wsrod wylosowanych rekawiczek sa dwie pary B− wsrod wylosowanych rekawiczek nie ma ani jednej pary.

	30 4
Ω=		=35*29*27

	15 2		1
A=		=105 P(A)=
			261

Problem jest w B: Wedlug mnie, jesli nie ma byc par to: 1. pierwsza rekawiczke losujemy dowolnie − 30 2. druga losujemy dowolnie, ale po odjeciu 2och rekawiczek: 30−1 wylosowana−1do pary=28 3. analogicznie do drugiej, czyli mamy 26 4. zostaje nam 24 rekawiczek, wiec wybor jest dowolny. Wiec wychodziloby mi ze B=30*28*26*24 jednak nie jest to dobra odpowiedz bo moc B nie moze byc wieksza od Ω. Analizujac odpowiedz (nie mam zadnych podpowiedzi etc) wychodziloby, ze zbior B=30*28*26*2 (akurat liczbe 2 moglbym zrozumiec, ale gdzie sie podzialo 24? ) Gdzie popelniam blad?

kylo1303: I drugie zadanie (tutaj uwazam ze wszystko robie dobrze, a wynik sie nie zgadza)

	1		1
Wykaż, że jeżeli A,B⊂Ω oraz P(A)=		i P(B)=		, to:
	4		3

	1		7
1.)		≤P(A∪B)≤		i
	3		12

	1
2.) P(B−A)≥
	12

A∪B= A∪(B−A) zbiory sa rozlaczne, wiec: P(A∪B)=P(A)+P(B−A) B=(A∩B)∪(B−A) tutaj rowniez sa rozlaczne, wiec: P(B)=P(A∩B)+P(B−A) Powstaje nam uklad rownan z 2 niewiadomymi: P(A∪B)=P(A)+P(B−A) P(B)=P(A∩B)+P(B−A) P(A∩B)=P(B)−P(B−A) P(B)−P(B−A)=P(A)+P(B−A) P(B)−P(A)=2P(B−A)

1		1
	−		=2P(B−A)
3		4

1
	=2P(B−A)
12

	1
P(B−A)=
	24

Dalej moge oczywiscie policzyc P(A∩B) ale nie wyjdzie, tak jakby bylo bez dwojki (dwa razy wieksze prawdopodo. ) Jakies uwagi/bledy?

rumpek: Teraz na szybko zrobię ci to pierwsze zadanie, natomiast drugie wykaż za jakieś 3h bo wybywam No więc: (zadanie z rękawiczkami)

	30 4
|Ω| =		= ...

	15 2
|A| =		= ...

	15 4
|B| =		* 24 , ponieważ

* ma nie być pary więc może być {l₁, l₂, r₅, l₆ } * mogę traktować go jako zbiór 15−elementowy * liczbę z tego zbioru mogę wybrać na dwa sposoby (kolejność ma znaczenie) dlatego jest 2⁴, ponieważ mogę wybrać l₁ lub r₁ itp. a, że mamy wybrać 4 takie skarpety to do potęgi czwartej Na szybko wyszły mi odpowiedzi:

	1
P(A) =
	261

	208
P(B) =
	261

kylo1303: Dobra, rozumiem. Robilem tak jak ty (mowie o zbiorze B), czyli przyjalem ze jest 15 rekawiczek

	15 4
i z tego 4 (		). Tylko potem przemnozylem tylko x2, jako ze jest L i P. Potem juz

odszedlem od tego pomyslu bo drugi sposob myslenia byl blizszy odpowiedzi i staralem sie dorobic obliczenia do wyniku Dzieki.

rumpek:

vladimirovna: https://matematykaszkolna.pl/forum/116678.html Może w ramach przygotowań? Ja tego nie rozumiem

rumpek: Jeszcze takie proste zadanie sprawdzić, czy dobrze Ile można otrzymać możliwości wyników rzucając 4 różnokolorowymi kostkami. 6⁴ = ... Przed sprawdzianem chce wszystko powtarzać, aby potem nie zrobić żadnego głupiego błędu I jeszcze pytanie: W szufladzie jest 9 ponumerowanych kul. Losowo wyciągamy cztery kule. Ile jest możliwości

9 4
	= ...

?

rumpek: Odpowie ktoś?

rumpek:

Jack: dobrze, dobrze Tylko troszkę proste te zadania jak na powtórzenie przed sprawdzianem

rumpek: Trudniejsze akurat wiem jak robić Ze zbioru z roku 2004 "matematyka zbiór zadań do liceów i techników klasa III zakres rozszerzony" zrobiłem bez problemu, ale mam pytania co do takich prostych. Bo niby proste a człowiek się myli Jack jakbyś mógł wypowiedzieć się w sprawie postu mojego z godziny: 12 gru 13:36 Zrobiłem tak jak uważa nauczyciel, ale potem w postach wyjaśniałem że robiłem to wpierw Zad 1. Wariacja z powtórzeniami Zad 2. Wariacja bez powtórzeń Co ty o tym sądzisz

Jack: Zad 1. Kombinacja nie wystarczy, ponieważ nie uwzględnia permutacji wybranych elementów. Musisz zastosować wariację: wybierasz 3 osoby z 5 które dostaną przedmiot, a potem te przedmioty

	5 3
wśród tych osób permutujesz, czyli		*3! = V5 3 (wariacja bez powrzeń, jakkolwiek się

ją oznacza).

rumpek: Jack ale zauważ, że nie ma nic napisane, że osoba dostanie tylko jeden przedmiot więc * pierwszy przedmiot mogę dać pierwszemu, drugiemu, trzeciemu, czwartemu lub piątemu ludzkowi * drugi tak samo jak pierwszy * jak wyżej 5³ = ....

rumpek: Więc w zadaniu 1 chyba wariacja z powtórzeniami, a nie bez powtórzeń <myśli>

Jack: Zad 2 a) wg mnie jest ok. b) tez jest ok (zdecydowanie preferowałbym ten krótszy zapis) Zad 3 Podobnie jak w Zad1 nie dałeś permutacji... Teraz jak patrzę na Zad1 i Zad3 to uświadamiam sobie, że w Zad1 trzeba jeszcze uwzględnić sytuacje, gdy jedna osoba zgarnia wszystkie przedmioty, nie dopatrzyłem tego − dlatego w Zad1 będziesz miała wariację z powtórzeniami W₅³=5³)

Jack: tak tak, z powtórzeniami <dobrze myśli>

rumpek: Czyli nauczyciel się pomylił z tą kombinacją Dzięki bardzo

Jack: pewnie tak... każdemu się zdarza w natłoku zadań