malinka: super materiał...bardzo przydatny

Gustlik: Jakubie − pragnę tutaj zaproponować taki schematyczny rysunek, który ułatwia obliczanie funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokatnym. Czy mógłbyś to dodatkowo zrobić na tej stronce? Np. dla kąta α: Rysuję trójkąt prostokątny, boki oznaczam literami a, b, c tak samo jak Ty, Rysuję strzałki pomiędzy bokami i opisuje je oznaczeniami funkcji trygonometrzycznych kąda α, strzałki pokazuja kierunek liczenia tych funkcji, a więc który bok przez który mam dzielić: − dla sinα strzałka od przyprostokątnej a do przeciwprostokątnej c, narysowana przy drugim kącie ostrym − przy kącie β, − dla cosα strzałka od przyprostokątnej b do przeciwprostokątnej c, narysowana przy kącie α, − dla tgα strzałka od przyprostokątnej a do przyprostokątnej b narysowana przy kącie prostym, − dla ctgα strzałka od przyprostokątnej b do przyprostokątnej a narysowana przy kącie prostym, skierowana odwrotnie jak dla tgα. Analogicznie rysuję dla kąta β: − dla sinβ strzałka od przyprostokątnej b do przeciwprostokątnej c, narysowana przy drugim kącie ostrym − przy kącie α, − dla cosβ strzałka od przyprostokątnej a do przeciwprostokątnej c, narysowana przy kącie β, − dla tgβ strzałka od przyprostokątnej b do przyprostokątnej a narysowana przy kącie prostym, − dla ctgβ strzałka od przyprostokątnej a do przyprostokątnej b narysowana przy kącie prostym, skierowana odwrotnie jak dla tgβ.

Jakub: Funkcje trygonometryczne dla kąta α

	a		a
sinα=		tgα=
	c		b

	b		b
cosα=		ctgα=
	c		a

Jakub: Funkcje trygonometryczne dla kąta β

	b		b
sinβ =		tgβ =
	c		a

	a		a
cosβ =		ctgβ =
	c		b

Gustlik: O właśnie − taki właśnie stosuję schemat. Czy mógłbyś to zamieścić na głównej stronie z trygonometrii?

Jakub: Na stronie głównej staram się podawać wiadomości w jak najprostszej skondensowanej postaci. Nie bardzo jest tam miejsce na dwa sposoby liczenia funkcji trygonometrycznych. Jak ktoś będzie dociekliwy, to zajrzy tutaj.

Agusz: fajna stronka dobrze, że istnieje ktoś kto zna się na matmie

Dudi: Racja, tu jest super po objaśniane. Dzięki Jakub ^^.

magda: ale te wzory stosuje się gdy kąt α jest < β bo kiedy α będzie > od β to będzie on oznaczony na górze i wtedy α liczymy ze wzoru zgodnego dla kąta β ?

magda: ale te wzory stosuje się gdy kąt * α jest > β bo kiedy *α będzie < od β to będzie on oznaczony na górze i wtedy α liczymy ze wzoru zgodnego dla kąta β ? poprawka

Jakub: Te wzory są prawdziwe niezależnie czy α<β, czy α>β.

z II LO: Witam mam proste pytanie Czy to bedzie blad jezeli w zadaniu napisze cos30(st.) zamiast sin60(st.)? Prosze o szybka odpowiedz

Jakub: Hmm. Jedyne co mogę napisać, że cos30^o = sin60^o = ¹₂. A czy można dać cos30^o zamiast sin60^o? To zależy od zadania.

zorczarowana: Mam pytanie do twierdzenia Talesa. Do proporcji...w jednym zadaniu jest trójkąt: I na lekcji dobieraliśmy proporcje O/C przez C/D równa się C/B przez B/A Natomiast na korepetycjach dziewczyna uczyła mnie, że O/C przez C/D równa się OC+CB przez B/A W obu przypadkach wyjdzie inny wynik, teraz nie wiem jak rozwiązywać zadanie...pomóżcie, proszę.

Jakub: Dziewczyna na korepetycjach ma rację, w szkole robiliście źle. Może nauczyciel się pomylił. Zapytaj go.

Łukasz1994PZA: Super że to się tutaj znajduje, naprawdę super. Dzisiaj właśnie zacząłem edukację w liceum (mat−fiz) i Pani nam juz w pierwszy dzień kazała sobie przypomnieć fuckcje i inne pierdoły bo będzie sprawdzian powtórzeniowy. Ja nic nie pamiętałem więc wpisałem w google i jest. Elegancko zrobione. Teraz już wszystko wiem o fuckcjach. Coś czuję że dostanę piątkę <cwaniak2>

Klaudia: super materiał bardzo mi pomógł

Natala: Jakub! jesteś świetnym nauczycielem pierwszy raz coś zrozumiałam Pisałam niedawno sprawdzian z tego działu i nie mogłam uwierzyć w to, że rozwiązałam wszystkie zadania może będą ze mnie ludzie? Wiem jednak, że robiłam jeden błąd: źle odczytywałam z tablicy z miarami kątów sin, cos itd. Mógłbyś tu wspomnieć, że należy liczby po przecinku zaokrąglać to na 100% pomoże innym Dziękuję bardzo za pomoc i pozdrawiam

Karol: panie Jakubie WAŻNA SPRAWA czy można wytłumaczyć tą tabelkę dlaczego takie liczby a nie inne

Paweł: Przyłączam się do pytania przedmówczyni. Pamiętam że pani profesor narysowała nam dwa trójkąty i dalej nie wiem co robić.

Jakub: Już jest. Kliknijcie link "obliczanie tych wartości" pod tabelką na poprzedniej stronie.

Januszek75: oznaczenie trojkąta błędne − wierzchołki oznacza się w kierunku przeciwny do wskazówek zegara

sokrates4567: a sec α i cosec α

Ein: Ubóstwiam tę stronę! Można z niej nauczyć się WSZYSTKIEGO do matury! Jakub, naprawdę podziwiam Cię za ogrom pracy jaki w nią włożyłeś.

szatek: Pomóżcie Uzasadnij , że nie istnieje kat ostry α taki że sinα+cosα = 5/3

Jakub: sinα + cosα = ⁵₃ /()² (sinα + cosα)² = ²⁵₉ sin²α + 2sinαcosα + cos²α = ²⁵₉ sin²α + cos²α + 2sinαcosα = ²⁵₉ 1 + sin2α = 2⁷₉ sin2α = 1⁷₉ Takie równanie nie ma rozwiązania, ponieważ sinus nie ma wartości większych od 1. Z tego wynika, że pierwsze równanie też nie ma rozwiązania.

***********: heh strona niezla mam 15 lat a wszystko rozumiem z tego co tu jest w przeciwienstwie do wikipedi ~~

marta: kąt α jest ostry i cosα=3/7 wtedy ? sinα? jak to rozwiazac

gimnazjalista: marta ja to policzyłam na kalkulatorze wyszło mi że α ≈ 64,62 stopni

Jakub: Na kalkulatorze to można tylko przybliżoną wartość sinα policzyć. W matematyce trzeba podawać dokładne wartości. To zadanie najlepiej zrobić jak na 1540.

gimnazjalista: o, faktycznie, super ! trygonometria jest taka ciekawa !

Jaga: Ja mam takie pytanko. Skoro mam daną przyprostokątną naprzeciw kąta i przyprostokątną przy kącie − mam wyliczyć przeciwprostokątną. To skąd mam wiedzieć czy wybrać tg czy ctg ?

Jaga: Ojej błąd − miało być że wyliczyć przyprostokątną naprzeciw − dana jest przyprotsokątna przy kącie.

ewela: super stronka

Gustlik: Wymysliłem ostatnio wierszyk do "strzałkowego" schematu obliczania funkcji trygonometrycznych, opisanego przeze mnie, a narysowanego przez Jakuba: Sinus − w opozycji, Cosinus − w koalicji Tangens − do domu Cotangens − z domu. Oczywiście nie są to fachowe definicje funkcji trygonometrycznych, a jedynie "sztuczka mnemotechniczna" ułatwiająca ich liczenie. Wierszyk znacznie ułatwia rysowanie strzałek we właściwym miejscu trójkąta i w odpowiednim zwrocie, zwlaszcza gdy trójkąt jest obrócony, narysowany "krzywo", czyli gdy nie "stoi" na żadnej z przyprostokątnych. Wielu osobom w takich przypadkach się to miesza, liczą funkcje z niewłaściwych boków, a za pomocą "schematu strzałkowego" i wierszyka rysują strzałki tam, gdzie trzeba i we właściwym kierunku i potem wartości funkcji już łatwo obliczyć. Wyjaśnienie: Sinus − w opozycji, bo strzałka "biegnie" po "przeciwległym" do danego kącie ostrym,, a więc " w opozycji" do kąta, którego sinus liczymy, Cosinus − w koalicji, bo strzałka "biegnie" po danym kącie ostrym, a więc "w koalicji" z kątem, którego cosinus liczymy, Tangens − do domu, bo strzałka "biegnie" w stronę kąta, którego tangens liczymy, Cotangens − z domu, bo strzałka "biegnie" od kąta, którego cotangens liczymy,

:D: może to głupie co napiszę ale myślę ze te trójkąty powinny być narysowane |_\ zadania z matematyki przeważnie pokazują trójkąt w tej pozycji ale to tylko tak napisałem i tak jest dobrze

daria: ale mi się podoba ta stronka bardzo pomaga

Kamil: bardzo pomocna strona

Uziu: dzięki tej stronie w końcu skończyły się moje problemy z matmą strona na 6+ brawo dla autora

asdgs: brawwo Jakub Gada

luska: super strona

kkkasiula: ee to ze strzałkami wymiata nigdy nie mogłam zapamiętać tego no nigdy a tu proszę

adam: Jakubie czyli sin α i sin β to to samo/moge liczyc i z tego i ztegonie rozumiem tego zbytnio.ja zawsze liczylem z sin,cos,tg,ctg α.po co ta β jest?bardzo prosze o szybka odpowiedz,zalezy mi na tyum bardzo

Jakub: Chodziło mi o to, aby pokazać, że jak masz w trójkącie dwa kąty, tak jak np. na rysunku 60^o i

	x		x
30o, to można x policzyć zarówno z cos60o =		jak i z sin30o =		. Dlatego
	7		7

wypisałem też sinβ itd. Pamiętaj jednak, że to tylko wykorzystanie definicji, które są wyżej. Jak wiesz, że np.

	przyprostokątna naprzeciw kąta
sinus kąta =
	przeciwprostokątna

to nie ma znaczenia, czy ten kąt to 30^o, 60^o, α, czy β i tak ułożysz właściwą równość.

adam: dzieki wielkie.Juz rozumiempozdrawiam.nich Pana trzyma kciuki za mnie i za wszystkich zdajacych mature dzisiaj koncze material

Barbadoska : Dzień Dobry. Od Tygodnia zastanawiam sie jak rozwiązac te pożal sie boże zadania i... no nie potrafię Może Panu udałoby się zrobić kilka. Z góry dzięki 1) Wyzacz wartość tożsamości kąta α jeśli sin α = ⁵₁₃ 2) W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna o długości 4√2 m, nachylona jest do przyprostokątnej pod kątem 60 stopni. Ta przyprostokątna ma długość....? 3) Wartość wyrażenia ^{cos60 stopni}_{sin45 stopni} − tg30 stopni = 4) Rozwiąż równanie cos α = sin 45 stopni. Dla α ε (0 stopni ; 90stopni) 5) Kąt α jest ostry i cos α = ¹ ₅ Oblicz 1−2 tg α 6) Dach domu ma kształt trójkąta równoramiennego, którego ramiona mają długość 8m a podstawa 10m. Wyznacz przybliżony kąt nachylenia dachu do płaszczyzny poziomego stropu.

JA ;): Dla humanistów : spróbujcie popatrzec na kat ja na mysz od ogona do uszu zawsze jest sinus od dołu do uszu cosinus od ogona do dołu tanges i od dołu do ogona cotanges

Leopold: Ja jestem wdzięczny niesamowicie, że istnieje taka strona. Zrozumiałem trygonometrię w czterdzieści minut. Zaoszczędziłem pieniądze.

asia: Dla mnie najlepszym określeniem co to tg , ctg, sin , cos jest ułamek o przy i przeciw prostokątnych. Nie ma bata, jak to zapamiętasz, to trójkąt może stać nawet do góry "nogami"a zawsze znajdziesz odpowiednie boki trójkąta do przeciwległego kata Dzięki Jakubie !

adam: suuuuper stronka. Uwielbiam Pana Jakuba

adam: liczba sin²45⁰ równa jest liczbie A= cos45⁰ B= cos60⁰ C= tg45⁰ D= tg60⁰ proszę o odpowiedź i rozwiązanie

Bartecki: Dzięki ci wielkie,dzięki tej stronie 5 wpadła

lililibi: DZIĘKUJE<3 Tylko jeszcze, mam pytanie. Co jesli mam jedną niewiadomą ? Wiem, że do tego używa sie Pitagorasa.. ale w jaki sposob?

Jakub: Z jedną niewiadomą jest po prostu łatwiej dobrać odpowiednią funkcję trygonometryczną, aby policzyć tą niewiadomą.

Zdezorientowana: Jakubie, mam problem, skąd mam wiedzieć kiedy mam wybrać sin czy cos itd?nie rozumiem....

W: Brawo, znakomita strona!

Arleton: ctg nie ma na podstawowej maturze

Jakub: Nie ma. Jednak kiedyś było i jeszcze w niektórych szkołach uczą, dlatego dodałem.

krejman: Mógłby mi ktoś wytłumaczyć dlaczego sin α dla α równej 90 stopni wynosi 1?

littleMi: wydaje mi sie ze pomyliliscie oznaczenia a i b a powinno byc na dole a b z boku. przy kazdym zadaniu ktore rozwiazuje cos jest nie tak. ogolnie zadania super bardzo pomagaja. pozdrawiam

Jakub: Nie ma znaczenia jak są ułożone a, b na rysunku. Ważne, aby na ich podstawie poprawnie układać wzoru według reguł np.

	długość przyprostokątnej naprzeciwko α
sinα =
	długość przeciwprostokątnej

KOMAR: Proponuję podanie uczniom takiego ciągu dla wartości funkcji sinus z pierwszej ćwiartki 0 30 45 60 90 √0 √1 √2 √3 √4 sinα −−−−− −−−−− −−−−− −−−−− −−−−− 2 2 2 2 2 resztę można sobie wyprowadzić

OjciecMaPojutrzeSprawdzian: Pierwiastek z Matki wszystkich dobroci......dzięki! ...się dowiedziałem się, że mam tłumaczyć bo "nie rozumie wszystkiego", beton zbrojony