Kamila: mam strasznie,ale to strasznie głupie pytanie− co to właściwie jest to lim?

xxa: http://pl.wikipedia.org/wiki/Granica_ci%C4%85gu <−−− granice ciągów

gfgff: y'=sinx

gfgff: jak to obliczyć

Jakub: y' = sinx oznacza, że zadajesz sobie pytanie: pochodna jakiej funkcji daje sinx. Odpowiedź ze wzorów 359: y= −cosx + C, gdzie C to dowolna liczba.

math: i nic dalej nie wiem o granicy

Jakub: Tutaj i14 masz o granicy ciągu i funkcji.

Pochodna: Umiem obliczać pochodną funkcji, znam jej zastosowania, ale mogę zrozumieć tak po ludzku czym jest właściwie pochodna. Jak ją zdefiniować w języku "niematematycznym"?

Jakub: Pochodna określa jak szybko funkcja rośnie lub maleje. Przykładowo f'(1) = 3 − dla x = 1 pochodna wynosi 3 f'(2) = 7 − dla x = 2 pochodna wynosi 7 Oznacza, to że funkcja dużo szybciej rośnie w x=1 niż w x=2. Pochodna ma duże zastosowanie praktyczne. 1) Pochodna drogi po czasie to prędkość. Im szybciej samochód pokonuje drogę, tym ma większą prędkość (pochodną). 2) Pochodna prędkości po czasie to przyspieszenie. Im szybciej samochód zwiększa prędkość tym ma większe przyspieszenie (pochodną). Zobacz też na 970.

Pochodna: Dzięki wreszcie wiem o co chodzi

Pochodna: Jeszcze tylko jedno pytanie. Dlaczego szybciej rośnie w x=1 niż w x=2? Nie powinno być odwrotnie?

Jakub: Oczywiście, moja pomyłka, dla x=2 rośnie szybciej, bo tam ma większą pochodną.

Pochodna: Dzięki

Przeterminowany: a ja dalej nic z tego niewiem

kolos: co oznacza h we wzorze f'(x₀)= l i m ^{f(x₀+h)−f(x₀)}_h ^h→0

kolos: i może ktoś tak troszkę bliżej wytłumaczyć pojęcie pochonej?

Jakub: Gdzie ty masz pochoną Zobacz na rysunki na poprzedniej stronie. Gdy "h" maleje prosta zaczyna coraz bardziej upodabniać się do stycznej. Styczna jest w pewnym sensie interpretacją geometryczną pochodnej.

kolos: ok, z ,,pochoną" przesadziłem. dzięki, już rozumiem

przed kolkami: ide na inchalacje potem sie odchamie i tak tego nie zrozumiem

maciejka: a jak to zobaczyc gdzie funkcja szybciej rosnie? ja nie czaje, skad mam wiedziec ze dla x=2 rosnie szybciej? chodzi o to ze jakbym miala ta styczna traktowac jako prosta to sprawdzam czy ona rosnie czy maleje czy jest stala? jak x1<x2 i ich pochodne sa odpowiednia wieksze czyli (x1)'<(x2)' to znaczy ze ta styczna jest rosnaca? ja to sobie tak tłumacze na chłopski rozum bo nic innego mi nie przychodzi do głowy

Jakub: Na chłopski rozum wygląda tak. Przykładasz do wykresu styczną. Im ona jest bardziej pionowa tym szybciej w punkcie styczności funkcja rośnie. Oczywiście mając wzór funkcji trudna za każdym razem rysować wykres i przykładać w różnych punktach styczne. Dlatego liczymy wzór pochodnej funkcji i wartości tej pochodnej dla różnych x. Im większą wartość ma policzona pochodna tym szybciej rośnie.

maciejka: zadam głuuuupi pytanie, co to oznacza ze funkcja rosnie szybciej w punkcie stycznosci. założmy rysuje sobie wykresik i na nim moge nieskonczenie wiele stycznych do niej narysowac tak.? no i jak mam takie mizerne 3 rysunki i coraz bardziej te styczne są pionowe, punktystycznosci to te kropki, a nie rozumiem jak funkcja moze rosnac w tym punkcie skoro w tym punkcie moge jedynie odczytac wartosc dla danego argumentu, a jezeli chodzi o styczna to rozumiem to tak ze mamy obliczyc kąt nachylenia, czyli im wiekszy kat nachylenia stycznej z tym punktem stycznej tym funkcja rosnie szybciej? pomieszałam chyba chodzi mi o to ze mam 3 rysunki, na kazym z nich jest narysowana taka sama funkcja( włacz wyobraźnie i teraz tak, w zaleznosci gdzie umieszcze sobie punkt stycznej, taki bede miala kat nachylenia tej stycznej do osi x? bo tutaj na rysunku to im wiecej argumenty sie bardziej w prawo tym kat nachylenia stycznej jest wiekszy. moze i w mojej wypowiedzi jest blad na bledzie matematycznym ale jakos trzeba to ogarnac, no to sie rozpisałam

maciejka: uciete mam rysunki o.O

maciejka:

Jakub: Oczywiście funkcja nie może rosną w jednym punkcie. Pisząc, że coś rośnie mamy na myśli, jak się zmienia otoczenia tego punktu. Chodzi o bardzo małe otoczenia i dlatego w definicji pochodnej h (czy jak w u ciebie Δx) dąży do zera. To oznacza, że mamy na myśli bardzo, bardzo małe otoczenie punktu, ale jednak różne od zera. A punkt z otoczeniem może rosnąć szybciej lub wolniej i najlepiej poprowadzić styczną, bo wtedy dokładnie widać (otoczenie jest zbyt małe), jak rośnie otoczenie wokół punktu. Na pierwszym twoim rysunku w miejscu styczności otoczenie rośnie wolno, drugim szybciej, a na ostatnim najszybciej.

maciejka: te otoczenie to powiedzmy jakby był mix tych rysunków, tyle ze w powiekszeniu bo sam powiedziałes ze nie da rady narysowac otoczenia czerwony wykres−otoczenie punktu niebieska kropka− punkt dla którego jest te otocznie styczne zionola różowa i brązowa to są te punkty na otoczniu dzieki którym sprawdza sie czy punkt rosnie czybciej liub wolniej? jak mówiles x1, x2 to ja tutaj moge wziąc zieloną kropke i rózowa bo sa na otoczeniu punktu i sprawawdzam pod jakim katem jest nachylona styczna o widze ze dla drugiej kropki wykres jest wiecej pionowy . to wszystko jest latwe i trudne jednoczesnie, najpierw musze zrozumiec co to własciwie jest a później to juz z górki , ale kto powiedział ze matematyka jest łatwa na studiach

Jakub: Dobrze myślisz, tylko rozpatrujesz bardzo duże otoczenie punktu niebieskiego. Jak je zmniejszysz ze cztery razy, to zobaczysz, że wszystkie stycznie w różnych punktach x₁, x₂ z tego otoczenia są mniej więcej tak samo nachylone. To nachylenie właśnie określa, jak szybko funkcja rośnie lub maleje w danym otoczeniu.

maciejka: no to jak mówisz ze to co pisze to dobry tok myslenia to chyba nie zgine w tych pochodnych tak szybko

pochodne są ble :(: nie rozumiem

uou: (e^x)' = (e^x)'' = (e^x)''' = ... = ∫e^x dx = e^x a co to jest e to jest to _+∞

	1
∑ x=0 (		)
	x!

tom21: witam, jak policzyć drugą pochodną z x²*e^1/x pierwsza mi wyszła : e^1/x*(2x−1) a drugą nie wiem jak policzyć, wychodzą jakieś skomplikowane rzeczy...

nakos: Mam takie pytanie, otóż rozumiem pojęcie pochodnej, potrafię ją obliczyć, ale mam takie pytanie. 2 pochodna jest to pochodna na pochodnej pierwszej, czy jest to pochodna która jest bardziej zbliżona do zera, niż pierwsza?

Patryk: Może wiecie coś więcej o tym ? f'(x)=πr² = 2πr

	4
f'(x)=		πr3 = 4πr2
	3

wzory wiadomo do czego

studentka: a to nie jest tak, że jak ta styczna jest pionowa, to nie ma pochodnej?

TomTNS: Nie jestem pewien czy dobrze rozumuję. Pochodna to pewien rodzaj przekształcenia funkcji w taki prosób by dowiedzieć się jak szybko lub wolno zmieniać będzie się wartość funkcji zanim funkcja lub podstawiana zmienna osiągną podaną wartość lub w danym punkcie. Pomaga to np. planować wielkość produkcji w fabrykach, przy danej funkcji kosztów i f. popytu i różnych zmiennych, lub szybko wskazać dla jakich kombinacji zmiennych egzogenicznych nasze zainwestowane pieniążki najszybciej się rozmnożą (przy okazji: całka pozwala natomiast szybko zliczyć wszystkie wartości funkcji za jednym zamachem z danego przedziału wartości dla zmiennej (np. z okresu od t=3 do t=10) − pomocne to jest gdy np. chcemy wyliczyć i zsumować jednocześnie wartość wszystkich odsetek przy ich ciągłej lub np. dziennej kapitalizacji. Ręcznie lub na kalkulatorze w tradycyjny sposób nam się nie uda. Ale mniejsza o to. Czy nie prościej jest wyobrażać sobie, że na osiach współrzędnych wykres przedstawia tor małej rakiety (taką smugę), oś X to czas (t), a oś Y to jej wysokość (h)? Wtedy wszystko od razu staje się jasne. Pododną jest prędkość wznoszenia się (lub opadania − jeśli pochodna jest ujema, co jest logiczne) tej wspomnianej rakietki. Im "smuga" jest bardziej stroma, wtedy oznacza to że w krótkim czasie (mała zmiana x) rakietka usiosła się na większą wysokość (duże y) − wtedy wartość pochodnej jest wyższa (czyli jak gdyby zmiana (delta) wartości funkcji w stosunku do zmiany wartości zmiennej jest większa − stąd te trójkąty i tangensy ). W przypadku dość płaskiego toru lotu rakietki pochodna będzie przybierać małe wartości lub wręcz zbliżać się do zera, co oznacza że z upływem czasu prędkość wznoszenia rakietki z wykresu była bardzo mała (jeśli pochodna = zero w danym punkcie czasu, np. 4 sekunda lotu, oznaczato, że wysokość nie ulega zmianie, a więc rakietka jest zawieszona w powietrzu i pewno za chwilę zacznie opadać − pochodna ujemna, lub znowu rosnąć (np. f. logarytmiczna). W punktach w których pochodna = 0 są zazwyczaj tzw. ekstrema fukcji, czyli jej maksymalne lub minimalne wartości (w danym przedziale, lokalnie). Aby sprawdzić czy mamy do czynienia z maksimum lub minimum funkcji stosuje się odpowiednie metody interpretacji (dla funkcji rożniczkowalnych ekstremów szukamy kilkuetapowo, a na koniec badamy jeszcze drugą pochodną .

Szesnastka: Jestem wdzięczna adminowi tej strony. Wszystko jest przejrzyste. To tutaj zaczynam rozumieć nowe pojęcia, które mnie intrygują.

Marcin: Panie Jakubie, czy takie wyjaśnienie pochodnej, które sobie skonstruowałem na podstawie komentarzy na tej stronie jest poprawne? Pochodna określa jak szybko funkcja rośnie lub maleje w bardzo małym otoczeniu punktu x₀ gdzie h → 0, czego obrazem na wykresie jest styczna.

Jakub: Tak. To jest dobre obrazowe wyjaśnienie czym jest pochodna.

mateczek: https://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=riMfC4sxyX4 takie moje wariacje na temat pochodnej oglądać w HD

Jerkoos: x₀ to miejsce zerowe ale czym do wafla jest to h? chyba nie wysokość

Jakub: h to odległość między liczbami x₀ i x₀ + h na osi Ox. Widać to na rysunku.

Jerkoos: Dzięki ^^ Jestem akurat człowiekiem który patrzy na wzory a potem nie myśli o innych rzeczach więc akurat mogę się czegoś nauczyc