Geba: a5 = 2 a10 = 64 {a5 = a₁ * q⁴ {a10 = a₁ * q⁹ {a₁ * q⁴ = 2 / : q⁴ {a₁ * q⁹ = 64

	2
a1 =
	q4

2
	* q9 = 64
q4

Jakub: Dalej rozwiązujesz tak:

	q9
2 *		= 64
	q4

2 * q⁵ = 64 q⁵ = 32 q = 2 lub q = −2 q = 2

	2		2		1
a1 =		=		=
	24		16		8

lub q = −2

	2		2		1
a1 =		=		=
	(−2)4		16		8

Gustlik: W ciągu geometrycznym zachodzi związek: a_m/a_k = q^m−k Można to wyprowadzić ze wzoru na wyraz ogólny ciągu i z twierdzeń o potęgach: a_m = a₁*q^m−1 (1) a_k = a₁*q^k−1 (2) Dzielę stronami równania (1) i (2) i otrzymuję: a_m/a_k = (a₁*q^m−1) / (a₁*q^k−1) = q^m−1 / q^k−1 ( bo a₁ się skróci) Zgodnie ze wzorem na iloraz potęg o tych samych podstawach liczę dalej tak: a_m/a_k = q^{(m−1) − (k−1)} = q^m−1−k+1 = q^m−k. A więc żeby obliczyć iloraz ciągu mając dwa dowolne jego wyrazy wystarczy podzielić wyraz o wyższym numerze przez wyraz o nizszym numerze, odjąć numery tych wyrazów i różnica numerów da potęgę q. W związku z tym mam prosty sposób na to zadanie: a₅ = 2 a₁₀ = 64 Dzielę a₁₀ przez a₅ i otrzymuję potęgę q odejmując numery wyrazów: a₁₀/a₅ = q⁵ (q⁵, bo 10 − 5 = 5) Podstawiam dane z zadania: 64/2 = q⁵ 32 = q⁵ /⁵√ q = 2 Ty mała uwaga do Jakuba − niechcący chyba popełniłeś błąd. Jeżeli q⁵ = 32, to q = 2, a nie −2, bo (−2)⁵ = −32. Potęgi i pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych są ujemne. Tak jak Ty to rozwiązałeś − dwa rozwiązania, jedno dodatnie, drugie ujemne, byłoby wtedy, gdyby była parzysta potęga q, np. q² lub q⁴, tylko wtedy byłby inny wynik. a₁ = a₅/q⁴ − "cofam się" o 4 numery od a₅ do a₁, dlatego dzielę przez q⁴. Podstawiam dane z zadania: a₁ = 2/2⁴ a₁ = 2/16 = 1/8 Mamy zatem ciąg: a1 = 1/8 q = 2

Jakub: Racja! Równanie q⁵=32, daje tylko jedno rozwiązanie q=2.

Kredo: a₇=a₄xq³ q=2 proste

Gustlik: Kredo − własnie tak robię. Ten przykład można rozwiązać tak:

a7
	= q3 (bo 7 − 4 = 3, dlatego q3)
a4

Podstawiam dane z zadania i otrzymuję:

8
	= q3
1

q³ = 8 /³√ q = 2

	a4
a1 =		(dzielę a4 przez q3 bo "cofam się" o 3 wyrazy od a4 do a1)
	q3

	1		1
a1 =		=
	23		8

Mamy więc ciąg:

	1
a1 =
	8

q = 2

Humanista: WIELKIE DZIĘKI! Jesteście naprawde niezastąpieni... Gdybym miał nauczyciela z maty takiego jakim wy jestescie ... Boże , Ty widzisz i nie grzmisz!? Pozdrowienia!

kamilap: Witam! Świetna strona, mimo, ze nie ma kontaktu z osoba tłumacząca , zadania sa zrobione w sposób przejżysty, wiadomo co , jak i dlaczego Bardzo przydatny pomysł, mysle ze nie tylko takim ,, nogą" z matematyki pomógł. Jednak mam pytanie w tym zadaniu wyszło q do 3, a nie jest przypadkiem q do 2 ? Przecież q do 3 gdy skróci się z g do 6 wyjdzie 2 ? Prawda? pozdrawiam!

Jakub: Rozpiszę to dokładniej

q6
	= q6−3 = q3
q3

	ax
Korzystam ze wzoru		= ax−y z 186.
	ay

Kontakt z osobą tłumaczącą jest poprzez komentarze

kamilap: Nooo tak ! Matematyka wcale nie jest taka trudna jak się wydaje Jestem mile zaskoczona szybką odpowiedzią na pytania Nie mogę się nacieszyć, ze trafiłam na tę stronę Wielkie dzięki! Oby wiecej takich stron

maciek: Jesteście po prostu naszym wielkim matematycznym guru.

Slog: Mam pytanie. Skąd a1=1/8 ? Dlaczego nagle zamiast q3 pojawia się 2 do 3

Jakub:

	1
Z równania q3=8 wyszło mi, że q=2. Podstawiłem to do równania a1 =		i policzyłem
	q3

a₁.

marta: Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego an w którym a₄=8 i a₇= 1/2, jest równy..

Chemikomaniaczka: Przepraszam skąd tam się bierze że q do potęgi 3 jest równe 8?

Jakub: Pisałem wyżej.

Martyna_21: Czy mogłabym prosić o odpowiedź dlaczego gdy w układzie równań w tym przykładzie wychodzi q³ to jest jedno rozwiązanie, a jak w poprzednim było q² to były dwa rozwiązania?

Jakub: Jak mam q³ = 8, to się zastanawiam, jaka liczba podniesiona do trzeciej potęgi daje 8. Jest tylko jedno takie rozwiązanie q = 2. Liczba −2 nie spełnia tego równania, bo (−2)³ = −8. Jak mam q² = 4, to się zastanawiam, jaka liczba podniesiona do trzeciej potęgi daje 4. Są dwie takie liczby q₁ = −2 i q₂ = 2. (−2)² = 4 2² = 4

Michał: A tak można? a7=a4*q³ − jest taki wzór? 8=1*q³ q³=8 q=2 an=a1*qⁿ⁻¹ a4=a1*q³ 1=a1*2³ a1=¹₈

Karol 0213: Witam ! Mam pewien problem, a mianowicie nie mam pojęcia dlaczego akurat nagle pojawiło się q³ , a nie q² ? ¹_q³ * q⁶ = 8

Jakub:

1		q6
	* q6 =		= q6−3 = q3
q3		q3

	q6
Kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia. Tak więc masz dzielenie		= q6:q3.
	q3

Jak dzielisz potęgi to odejmujesz ich wykładniki. Na stronie 186 masz wzory na potęgowanie.