Zając: Muszę stwierdzic że ta streona bardzo mi pomogła. Dzięki i pozdrawiam

ac: ¹_{√14+21+15+10}

ac: jak to zrobić bo tam w przykładach jest tylko jak mamy 3 pierwiastki w mianowniku...a jak zrobić jeśli mamy 4 pierwiastki w mianowniku

Jakub:

1
	=
√14+√21+√15+√10

1
	*
(√14+√21)+(√15+√10)

	(√14+√21)−(√15+√10)
		=
	(√14+√21)−(√15+√10)

	(√14+√21)−(√15+√10)
=		=
	(√14+√21)2 − (√15+√10)2

	√14+√21−√15−√10
=		=
	14+2*√14*√21+21 − (15+2*√15*√10+10)

	√14+√21−√15−√10
=		=
	14+2*√294+21 − 15 − 2*√150 − 10

	√14+√21−√15−√10
=		=
	14+2*√294+21 − 15 − 2*√150 − 10

	√14+√21−√15−√10
=		= dalej to już tak jak na przykładach z
	2√294−2√150-10

poprzedniej strony DZIĘKI MAREK! Teraz jest już dobrze.

Husarz: Panie Jakubie zawsze zmienia się znak na przeciwny jak w mianowniku jest powyżej 3 wyrazów?

Monia: Nie rozumiem dlaczego w niektórych przypadkach zmienia się znak na odwrotny, a w niektórych nie/

Jakub: Po prostu korzystam ze wzoru skróconego mnożenia (a+b)(a−b) = a² − b². W tym wzorze w nawiasach są rożne znaki, dlatego zawsze muszę mnożyć przez wyrażenie z przeciwnym znakiem. Jak są trzy wyrazy, to dwa pierwsze biorę w nawias i mam już dwa wyrażenia.

Justyś: A ja mam pytanie do drugiego przykładu : 5/(4+√3−√7) W podanym rozwiązaniu licznik wychodzi dodatni a mianownik ujemny, zatem całość jest ujemna. Gdy rozwiązywałam to sama to całość wyszła mi dodatnia. Winna jest temu przemienność dodawania. Pan przyjął 12+8√3 i potem 12−8√3, a ja nieco inaczej : 8√3+12 i potem 8√3−12 i całość wyszła mi dodatnia. Przybliżone wyniki nie są nawet przeciwne, więc któreś rozwiązanie jest złe. Albo ja zrobiłam błąd albo Pan zrobił błąd albo też oba rozwiązania są dobre. Tylko które zdanie jest prawdziwe ? Jakby się zastanowić: 5/(4+√3−√7) >0 czy to możliwe że wyrażenie po usunięciu niewymierności może zmienić znak ?

Justyś: A jednak to ja zrobiłam błąd... Eh ten nieszczęsny minus... Proszę o wybaczenie.

Tomek: Super stronka. Dzięki wielkie. Mam pytanko, dlaczego (√14+√21)−(√15+√10) = √14+√21−√15−√10 Czy to się wzięło dlatego, że przed nawiasem jest minus, a po opuszczeniu nawiasu zmieniamy znaki na przeciwne

Tomek: Jeszcze jedno pytanie. Czy nie powinno być 14+2*√294+21 − 15 − 2*√150 − 10 = 10+2√294−2√150 ( chodzi o przykład z góry)

Kone: A ja mam pytanie jak to jest,że 2√3+2−√2−√3 zamienia się na 2+√3−√2 ? ?

Jakub: 2√3+2−√2−√3 = 2√3−√3+2−√2 = √3+2−√2 = 2+√3−√2

Kone: No teraz już wiem ^^ dziękuje ..

nells: dlaczego (√2+√3)²−(√5)²=2+2√6+3−5 ?

nells: ?

Jakub: Korzystam ze wzoru skróconego mnożenia (a+b)² = a² + 2ab + b² (zobacz 55) (√2+√3)² = (√2)² + 2*√2*√3 + (√3)² = 2 + 2√6 + 3

nells: ahm... dziekuje

edyta: (8√3)² jk to obliczyc? (z dzialania 2 )

Karol: dlaczego w pierwszym zadaniu √2+√3 jest w nawiasie a nie np.√3+√5

lunaprv: czemu w 1 przykładzie jest (√2+√3)−√5 a nie np. (√2+√3)+√5

damian: a dlaczego 2+2 to 4

Marcin: Co do zadania wyzej mozna skrocic jeszcze −2√150 na −10√6

Mastah: Tutaj nie ma małego błędu czasem? 14+2*√294+21 − 15 − 2*√150 − 10 = 10+ 2*√294+21 − 2*√150 W obliczeniach jest bez 10

Ania: a czy w pierwszej linijce nie mozna by pomnożyć √2−1/ √6 + √2 − √3 * √6 − √2 + √3

Ania: a czy w pierwszej linijce nie mozna by pomnożyć √2−1/ √6 + √2 − √3 * √6 − √2 + √3 / √6 − √2 + √3 błąd

Ania: w ostatnim przykładzie w ostatniej linijce brakuje minusa przy mianowniku

Jakub: Minus w mianowniku skrócił się z minusem w liczniku, dlatego go nie ma. Nie można mnożyć przez to co proponujesz. Spróbuj to zrobić, a zobaczysz, że niewymierności w mianowniku nie zostaną usunięte.

edi: a ja i tak nie rozumie

cosik: Z jakiego wzory korzystamy robiąc to zadanie?

5
4+√3−√7

cosik: I jak można obliczyć to zadanie gdyby w mianowniku były 4 lub więcej pierwiastków?

Jakub: Jak masz 4+√3−√7 to grupujesz to w różnicę dwóch wyrażeń 4+(√3−√7) i mnożysz licznik i mianownik przez 4−(√3−√7) stosując na dole wzór skróconego mnożenia (a−b)² = a² − 2ab + b². Otrzymujesz w ten sposób w mianowniku wyrażenie tylko z jednym pierwiastkiem. Ta niewymierność jest już łatwa do pozbycia. Jak masz np. √3+√5+√7+√2 to grupujesz to w ten sposób (√3+√5)+(√7+√2), a następnie robisz podobnie jak wyżej.

cosik: dziękuję!

profesor: Błąd w rachunkach Jakuba z komentarza z 19 października. Powinno tam być jeszcze 10 w mianowniku.

hmm?: czy nie można tego obliczyć w inny sposób ? tylko za pomocą wzorów skróconego mnożenia ?

Jakub: @profesor Dzięki, poprawiłem. @hmm? Można mnożyć każdy wyraz w pierwszym nawiasie przez każdy wyraz w drugim nawiasie. Tylko to dłuższy sposób. Ze wzorów skróconego mnożenia jest prościej.

Bartek: Witam Mam drobne pytanie z zakresu szkoły podstawowej, a dopiero przy tych przykładach spostrzegłem, że tego nie wiem. Czy można odejmować swobodnie i dodawać takie liczby jak : 5√4 − 8√4 = −3√4 , bo zachodzi tu jakby nie patrzeć mnożenie, ale chyba właśnie tak postąpił autor w trzecim przykładzie. I drugie pytanie, które nasunęło mi się też przy trzecim przykładzie: w jakich sytuacjach ( czyli skąd mam wiedzieć ), kiedy w liczniku ustawić liczby całkowite na początku, a te pod pierwiastkiem na końcu, bo w pewnym momencie autor dokonał takiej operacji, co uprościło wynik. Ja nie zamieniłem ( robiąc samemu ) tych liczb w liczniku i wyszedł mi trochę inny wynik, więc chyba ma to jakieś znaczenie. Wybaczcie ten esej Czekam na odpowiedź i gratuluje świetnej strony. Bardzo mi ona pomaga.

Bartek: I jeszcze jedno, czy w drugim przykładzie można by przekształcić ostateczny wynik do postaci :

	−30+25√3−15√7+10√21
	12

Jakub: Dodawanie i odejmowanie tych samych pierwiastków jest jak najbardziej dozwolone. Przykładowo: 7√3 + 5√3 = 12√3 Jak w wyrażeniu występują różne pierwiastki, to możesz dodawać, odejmować tylko te same np. 7√2 + 6√5 − 4√2 + 3√5 = 3√2 + 9√5 i tego wyniku już nie da się uprościć. W ogóle na pierwiastki można patrzeć jak na jabłka i gruszki w misce. 7jabłek + 5jabłek = 12jabłek 7jabłek + 6gruszek − 4jabłka + gruszka = 3jabłka + 7gruszek Między np. 5√3 jest mnożenie. Masz rację. W wyrażeniu 7√3 + 5√3 są dwa mnożenia i jedno dodawanie. Kolejność wykonywania działań jest taka, że najpierw robisz mnożenie, a później dodawanie. Z tego powodu nie można jakoś najpierw dodać, a mnożenia 7√3 nie da się jakoś prościej zapisać. Z tego powodu dokonujemy działań na całych wyrażeniach 7√3 i 5√3. Trochę to zamieszane, ale tak tylko wyjaśniam, bo zwróciłeś uwagę na mnożenie. W codziennych działaniach nikt aż się tak nie wgłębia, tylko dodaje i odejmuje te same pierwiastki. Kiedy ustawić liczby całkowite na początku, a pierwiastki na końcu? Możesz to zrobić w dowolnym momencie. W zasadzie możesz zamiast np. 3−2√5 napisać −2√5+3. Jednak to pierwsze jest bardziej eleganckie, a to się w matematyce liczy Twoje uproszczenie wyniku w drugim przykładzie jest poprawne i jest on w tej postaci elegantszy od mojego . Ja tak nie robiłem, bo ludzie by się zastanawiali, po co pozbywam się tego minusa w mianowniku, a to nie jest takie ważne w usuwaniu niewymierności. Jednak jak najbardziej rób tak, jak już potrafisz.

Bartek: Stary, jesteś wielki ! Genialna strona, dużo lepsza od lekcji czy korepetycji Szacun !

Bartek: Tak sobie pomyślałem, że gdybyś ją przerobił na książkę i wydał, to byłby bestseller

Monika: Czy tutaj nie ma w błędu w przykładzie drugim? 16 + 8p(3) + p(3)² − 7 to nie jest 18 a nie 12?

Jakub: Dlaczego 18? Masz 16 + 8√3 + (√3)² − 7 = 16 + 8√3 + 3 − 7 = 16 + 8√3 − 4 = 12 + 8√3

Monika: Faktycznie, mój błąd rachunkowy. Dzięki za szybki odzew

Mr.Q: chodzi o znaki +/− dlaczego jest:

−2−3√3−5√2−4√6		2+3√3+5√2−4√6
	=
−23		23

Jakub: W pierwszym ułamku pomnożyłem licznik i mianownik przez (−1). W ten sposób otrzymałem prostszy ułamek, bez tylu minusów.

Ilona: pytanie do ostatniego zadania w mianowniku jest √6 + √2 − √3 następnie zamieniasz to w ten sposób: (√6 + √2) + √3 mam więc pytanie co do tego nawiasu z jakiego wzoru skorzystałeś by (√6 + √2) * (√6 + √2) dało w konsekwencji (√6 + √2)² przecież nie ma takiego wzoru, że jak się mnoży dwa nawiasy o tych samych liczbach i znakach to wychodzi nam taki wzór skróconego mnożenia, muszą być chyba przeciwne znaki w nawiasach? proszę o odpowiedz

Jakub: Jak mam √6 + √2 − √3 to mogę napisać nawias (√6 + √2) − √3. Taki nawias zawsze mogę napisać, bo to nie zmienia wartości wyrażenia. Przykładowo dla prostszych liczb 5 + 4 − 3 = (5 + 4) − 3 = 5 + (4 − 3) = 6 I dalej [(√6 + √2) − √3] * [(√6 + √2) + √3] = (√6 + √2)² − (√3)² to jest ze wzoru skróconego mnożenia (a−b)(a+b) = a²−b², gdzie a=√6+√2 i b = √3

Ilona: Dziękuję

cam: W pierwszym zadaniu przy końcu zadania √12 + √18 − √30 / 12 = Jak skrócic pierwiastki w liczniku ?

Marcin: Czy taki wynik koncowy jest prawidlowy?

−2+2√24+√12−5√3−5√2
1

Marcin: Sorki, nie dodałem że chodzi o ostatni przykład

Marcin: Ok, juz doszedlem gdzie zrobilem blad

Dociekliwy: Hmm, w drugim przykładzie chyba minus z mianownika powinien zostać przeniesiony na górę. A może się mylę?

Jakub: Racja, powinno być bez minusa w mianowniku. Nie jest to jakiś błąd, ale bardziej elegancko jest bez minusa. Dzięki, już poprawiłem.

Szila: mam pytanie o 2 przykład tam gdzie jest −30.czy dlatego ze zmieniasz znak przy kazdym przykladzie przy koncu? i dlaczego −30 a nie mniej przeciesz sie to da jeszcze skrócic nie I dlaczego tam w przykladzie u góry nie zmieniłes prosze o dokładniejsze wyjasnienie.

Szila: mam pytanie jeszcze jedno pisałes wyzej o przykładzie który napisał Mr.Q i napisales. W pierwszym ułamku pomnożyłem licznik i mianownik przez (−1). W ten sposób otrzymałem prostszy ułamek, bez tylu minusów. i moje pytanie do tego kiedy mam wiedziec przez co pomnozyc czy zawsze przez (−1) czy po prostu zmieniam znak...troszke nie kumam

Szila: mama nastepne pytanie małe tak jak napisałes to skad sie wzieło to na koncu to mozna tak po prostu to przekładac jest jakas teoria czy co kolwiek zeby wiedziec kiedy to zastosowac? 2√3+2−√2−√3 = 2√3−√3+2−√2 = √3+2−√2 = 2+√3−√2

smutna: to jest masakra jakaś

mento: mam pytanie czy w przykładzie 1 mogę uprościć końcowy wynik 2√3+3√2−√30/12 do wyniku √3+√2−√30/2

Jakub: Domyślam się, że najpierw podzieliłeś licznik i mianownik przez 2, a następnie przez 3 i otrzymałeś ostateczny wynik. Niestety nie możesz tak zrobić, ponieważ w liczniku masz sumę i różnicę, a nie iloczyn. Jak sumę i różnicę dzielisz przez jakąś liczbę, to musisz podzielić wszystkie składniki tej sumy lub różnicy. Tak więc jak na początku dzielisz na 2, to w liczniku powinieneś zapisać √3 + ³₂√2−¹₂√30. Jak widzisz pojawiają się ułamki, więc nie ma sensu dzielić licznika i mianownika przez 2, bo nic to nie uproszcza.

mento: dzięki Jakub później jak rozwiązywałem inne zadania to się domyśliłem ale dziękuje za tą stronę naprawdę pomogła mi bardzo powinno być więcej takich ludzi jak ty

Grzesiek: A czy jest możliwość, że w pierwszym zadaniu jest alternatywne rozwiązanie:

√12+√18−√30		6(√2+√3−√5)		√2+√3−√5
	=		=		?
12		12		6

Jakub: Nie można w ten sposób wyciągnąć 6 przed znak pierwiastka. √12 = √6*2 = √6 * √2 w tym momencie nie możesz tak po prostu z √6 zrobić 6, bo to różne liczby.

gewarl: Chciałbym tylko zapytać dlaczego (4+√3) do kwadratu = 16 + 8√6 ? to drugi przykład.

gewarl: bo przecież mnożę 2 * 4 * √3 czyli powinno być 8√3

Jakub: Gdzie Ty masz √6 w drugim przykładzie?

kasia:

	√2 + √3 − √5
a wtym pierwszym to nie powinno być		=
	(√2 + √3)2 −( √5 )2

√2 + √3 − √5		√2 + √3 − √5
	=		=
(2+ 2√6 +3) − 5		2− 2√6 −3 − 5

.....

Jakub: Dla −5 w mianowniku ten minus jest przy 5 i tylko liczby 5 dotyczy. Nie działa na wcześniejszy nawias.

Wersa: Dobry wieczór! Chciałam zapytać czy wyciągnięcie minusa z mianownika jest konieczne ? Inaczej działanie mogłoby zostać zaliczone jako nieskończone?

Wersa: (Jako zadanie nieskończone na maturze = niepełna ilość punktów możliwych do otrzymania) precyzuję bo wyszło mi masło maślane powyżej

4 ≠ 0: @Wersa, jak każą tylko usunąć niewymierność to usuwasz niewymierność i tyle. Liczba całkowita ujemna (z minusem) jest wymierna.

bolo: jeśli mamy w ostatnim przykładzie pod koniec,

√3−√2+2		√3−√2+2
	=
6+4√3+2−3		5+4√3

	√3−√2+2
dlaczego niewymierność przesuwa się do przodu a nie można tak ==>		a
	4√3+5

	4√3+5
później mnożyć przez		= dostaniemy wtedy w mianowniku 48−25
	4√3+5

Jakub: Dodawanie jest przemienne, więc możesz zamiast 5+4√3 napisać 4√3+5.

Ola: Mam pytanie odnośnie drugiego przykładu. Rozumiem wszystko, tylko nie wiem czemu na samym końcu nie skrócimy jeszcze −30 i 12? I jakie działanie dało nam 25√3 − 15√7 i 10√21

Jakub: Nie możesz skracać tylko jednego składnika sumy, którą masz w liczniku, z mianownikiem. Podobny przykład

20+6√3		10+3√3
	=
4		2

Nie można skrócić tylko 20 z 4. Jak już chcesz skracać, to wszystkie składniki w liczniku z mianownikiem. Jak się nie da wszystkich, to zostawiasz bez skracania. Takie skracanie było wcześniej

120 − 100√3 + 60√7 + 40√21
−48

Zauważyłem, że wszystkie składniki licznika dadzą się podzielić przez −4 i mianownik też da się podzielić przez −4. Tak też zrobiłem, dlatego w wyniku pojawiło się 25√3 − 15√7 i 10√21, o które pytasz.

Jurek: Mam pytanie co do początku przykładów. Jeśli mam sumę w jakimkolwiek przykładzie, przykładowo √6+ √2 −√3 z trzeciego przykładu, to czy mogę dać nawiasy gdzie chcę? Nie zmieni to wyniku całego zadania? Pozdrawiam.