Magda: jak funkcja maleje w przedziale (−∞, 1> i rośnie <1,∞), to jak bedę chciala określić czy pkt. o współrzędnej x =1 to jak mam napisać skoro zawiera się w dwóch przedziałach . x=1=p czyli wierzchołek to do czego to się zalicza

Jakub: Tak jak ja napisałem. Liczba 1 znajdzie się w obydwu przedziałach. To tak jak ze słupkiem granicznym. Polacy i Czesi mówią, że ich państwa sięgają do tego słupka granicznego i nikt się nie zastanawia, do kogo on należy.

FKS_1939: jak określam monotoniczność funkcji to wszystkie przedziały nie mogą być otwarte

Jakub: Teraz na maturze używa się określenia "maksymalne przedziały monotoniczności". W takim przypadku na pewno przy −2 lub 1 na poprzedniej stronie powinny stać ostre nawiasy. W niektórych podręcznikach (szczególnie starszych) używa się wciąż okrągłych nawiasów. Tak jak pisałem, nie jest to specjalnie ważne. Istotne jest, co to za liczba graniczna.

..: wszystko fajnie, ale czy do przedziałów nie wystarczy policzyć tylko p?

mati7: a jak się liczy monotoniczność jak się ma tylko jedna niewiadomą np. x2 − 4

Jakub: Zgadza się. Do wyznaczania przedziałów wystarczy tylko policzyć p, a następnie ustalić na podstawie "a", czy funkcja ma skierowane ramiona do dołu czy do góry. Ja jednak chciałem narysować wykres, ponieważ dla osób, które dopiero się tego uczą, jest łatwiej to wszystko zobaczyć na rysunku. Z tego powodu policzyłem obydwie współrzędne wierzchołka W = (p,q) i narysowałem parabolę. @mati7 Policz p i q dla y=x²−4, narysuj wykres. Tak jak ja to zrobiłem na poprzedniej stronie.

Asia: Jak to funkcja wzrasta w przedziale ( − nie skończoności ,1> a maleje <1 , + nieskończoności) chyba na odwrót?

Jakub: Dobrze jest. Druga funkcja rośnie dla x∊(−∞,1) i maleje dla x∊(1,∞).

Lisek: Chyba mnie uczono ze starych podręczników. Jeśli coś rośnie w danym punkcie to nie może równocześnie maleć. To tak jakby osoba była zarówno chłopcem i dziewczynką (no chyba, że... )

Jakub: Jak nie może, jak może. W fazie embrionalnej (zarodek) nie wiadomo, czy mamy do czynienia z chłopcem czy dziewczynką. Jest na to za wcześnie. Tak samo jest z tym punktem. To nie jest tak, że on rośnie i maleje jednocześnie. Nie ma sensu pytać, co się dzieje w punkcie. Sam punkt nie może rosnąć czy maleć czy jednocześnie jedno i drugie. Po prostu nie wyznaczamy monotoniczności samego punktu.

Nika: tak wogule żeby narysować wykres najpierw trzeba obliczyć miejsca zerowe i to na ich podstawie ustalamy monotoniczność

Patryk: do rozwiązania zadanie wwystarczy wiedzieć jak skierowane sa ramiona paraboli i Xw

Jakub: Tak. Jak masz współrzędne wierzchołka i wiesz czy do góry czy do dołu są skierowane ramiona paraboli, to możesz narysować przybliżony wykres i na nim już wszystko widać.

Komar: a czy przypadkiem w trakcie liczenia p i q, w mianowniku nie powinna wyjść liczba dodatnia? Jeżeli liczba ujemna, która znajduje się w nawiasie jest mnożona przez parzystą to wtedy wynik powinien wyjść na plusie...

Jakub: Chyba Ci się pomyliło z potęgowaniem. Liczba ujemna podniesiona do potęgi dodatniej daje wynik dodatni. Jak masz 2 * (−3) to wychodzi −6, bo plus razy minus daje minus.

Paweł : Witam ! Gdy mamy określić czy funkcja jest malejąca w przedziale np ( −∞ , −3) To wzór tej funkcji bd wyglądał: f(x)= −(x+3)² + 1 Czy − 3 to p ? Nie umiem tego ogarnąć. Dziękuję za pomoc

Paweł : Witam ! Gdy mamy określić czy funkcja jest *rosnąca w przedziale np ( −∞ , −3) To wzór tej funkcji bd wyglądał: f(x)= −(x+3)2 + 1 Czy − 3 to p ? Nie umiem tego ogarnąć. Dziękuję za pomoc

Jakub: Wystarczy, że narysujesz przybliżony wykres funkcji f(x) = −(x+3)² + 1. Jej wierzchołek to W = (−3,−1) i ramiona ma skierowane do dołu.

Paweł : Oczywiście, nie pomyślałem, że można w ten sposób. To zadanie między innymi miałem ostatnio na próbnej maturze ( organizowaną przez mojego nauczyciela), było to zadanie za 1 pkt i daltego zapytam jeszcze o najszybszy sposób rozwiązania. Już kumam, serdecznie dziękuję.

Paweł : i jeszcze jedno pytanie, rozjaśniające już totalnie wszystko, gdy wyznaczam przedziały monotoniczności funkcji to patrze na oś X czy Y ?

Jakub: Na oś x. Piszesz np. funkcja rośnie dla x z przedziału (−∞,−3).

Paweł : Dziękuje !

Sławek: A zatem można postawić pytanie czy dla x=p dana funkcja kwadratowa ma f'(p)>0 i jednocześnie f'(p)<0, skoro f'(p)=0? Oczywiście f' oznacza pochodną funkcji f.

Jakub: Dziwne pytanie, bo sam sobie odpowiedziałeś. Dla x=p (gdzie p to pierwsza współrzędna wierzchołka), masz f'(p) = 0, więc nie może być f'(p) < 0 lub f'(p) > 0.

Sławek: Pytanie nie jest dziwne, ale zasadne, gdyż: to że f'(p)=0 znaczy, że funkcja w tym punkcie ma extremum i nie jest rosnąca, bo nie prawdą jest f'(p)> 0, a ni też nie jest malejąca bo nie prawdą jest, że f'(p)<0. Powołanie się na przykład ze słupkiem granicznym jest mało przekonywujące. Myślę, że bardziej pasowałoby tu porównanie do wspinania się na szczyt. Kiedy stoimy na szczycie to już się nie wspinamy, ale też jeszcze nie rozpoczęliśmy schodzenia....

Patryk: może to pytanie jest trochę banalne ale wg mnie zapis ze funkcja maleje x∊(−∞;−2> oraz rośnie w x∊<−2;∞) jest trochę mylący wychodzi na to ,ze funkcja dla argumentu x=−2 jednocześnie rośnie i maleje a tak naprawdę jest tam stała dlaczego zapis maleje w x∊(−∞;−2) oraz rośnie w x∊(−2;∞) jest niepoprawny ?

Jakub: Oba zapisy są poprawne. Matematycy się nie umówili, który zapis będą stosować i każdy stosuje jak lubi. Liczba −2 jest liczbą graniczną i z faktu, że należy do obu przedziałów (−∞,−2> i <−2,∞) nie można jeszcze wyciągać wniosku, że jest tam malejąca i rosnąca jednocześnie. Aby coś było rosnące lub malejące musi się rozciągać na pewną długość w przestrzeni. Punkt nie ma rozmiarów, więc nie może być rosnący lub malejący.

Patryk: rozumiem

grzyb95: A zbiór wartości γ∊

Jakub: Zbiór wartości z wykresu odczytujesz. Dla pierwszej funkcji masz y ∊ (−18,∞). Dla drugiej funkcji masz y ∊ (−∞,15).