bozenna: Witam. Serdeczne dzięki,bardzo mi pomogłeś to zrozumieć.czy mogę skorzystać jeszcze raz z twojej dobrotliwości? Bozenna.

Jakub: Oczywiście

mateusz: Uważam ze ta strona jest bardzo dobra jest wszystko porządnie wyjaśnione nie tak jak niektórzy nauczyciele tłumaczą na lekcjach. Teraz akurat mam mam dosyć dobrego nauczyciela ale kilka lat temu miałem takiego co nic nie umiał wytłumaczyć, robiliśmy jedno zadanie przez cała lekcje wielkie dzięki Mateusz

Gustlik: NWD i NWW na rozszerzeniu? Przecież to się robi w podstawówce ! Do czego MEN chce doprowadzić...

Jakub: Zgadza się. NWD i NWW nie ma już na podstawie. Co nie zmienia faktu, że wiele nauczycieli przerabia to i chwała im za to.

Gustlik: Podoba mi się Twój sposób liczenia NWW za pomocą mnożenia pierwszej liczby przez niezakreślone czynniki z drugiej. Wcześniej spotkałem się ze sposobem takim, że wybierało się wszystkie czynniki z obu liczb, a powtarzające się − stamtąd, gdzie było ich więcej (czyli w wyższej potędze) i potem mnożyło tak wybrane czynniki. Np. jeżeli 280 = 2*2*2*5*7 = 2³*5*7, a 150 = 2*3*5*5 = 2*3*5², to wybieramy następujące czynniki: 2³ (bo ten z wyższą potęgą), potem 3, bo występuje w drugiej liczbie, potem 5² (wyższa potęga) i na końcu 7, więc NWW(280, 150) = 2³*3*5²*7 = 4200. Twój sposób jest zdecydowanie lepszy, bardziej obrazowy i zrozumiały dla uczniów. Pozdrawiam. Mam też dobry sposób na liczenie NWW z 3 i więcej liczb. Licząc NWW(a, b, c) można postąpić nastepująco: − obliczamy NWW z dwóch pierwszych liczb, czyli NWW(a, b) Twoim sposobem i otrzymujemy wynik, oznaczmy go sobie np. literą m, czyli m = NWW(a, b), − obliczamy NWW(m, c) również Twoim sposobem. W podobny sposób można obliczać NWW z 4, 5 i więcej liczb. Ta metoda jest bardzo przydatna, np. przy sprowadzaniu większej liczby ułamków do wspólnego mianownika, zwłaszcza tam, gdzie mianowniki są duże i wspólnego mianownika nie da się obliczyć w pamięci.

Jakub: Dobrze że opisałeś też "starą" metodę. Też działa chociaż jest trudniejsza w opisaniu. W szkole faktycznie najpowszechniejszym zastosowaniem NWW jest szukanie wspólnego mianownika.

kris_garg: Bardzo dobry i super prosty sposób na NWD jest strasznie brzmiący "Algorytm Euklidesa" proponuje dodać to do tej strony

anonymous: a co jeśli trzeba obliczyć nwd lub nww 3 liczb

Jakub: Liczysz nwd dla 2 liczb, a następnie liczysz nwd wyniku i trzeciej liczby. Z nww podobnie.

Karol: ,,zakreślam wspólne dzielniki" nie rozumiem

Kardia: Super strona. Bardzo dziekuje Panu za ta prace! Wprawdzie nie jestem osoba w wieku szkolnym, ale chetnie tutaj zagladam, aby przypomniec sobie cos niecos z dawnych lat i aby moja glowa miala cos do "myslenia". Przepraszam, ze pisze bez polskich liter, ale nie mam polskiej klawiatury. Pozdrawiam i jeszcze raz dziekuje!

math: a mozna tez obliczac NWW w ten sposob: NWW(a,b)= ^ab_NWD(a,b)

Jakub: Można. Mój sposób jest podobny do twojego wzoru.

ana: NWW (20,30)=100 wtedy wychodzi 0.2 i 0.3 i to 100 jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 20 i 30

Jakub: Jak 100 może być wielokrotnością liczb 20 i 30, jeżeli się nie dzieli na 30

ana: przepraszam mój błąd

ziomek: warty wspomnienia jest algorytm Eukiledesa dla znajdowania NWD. Wytłumaczę go, bo przydaje się gdy mamy znaleść NWD(a,b) dla bardzo dużej liczby ,wydaje się szybki i prosty. np jeżeli mamy pare liczb (a,b) dla którym mamy znaleźć NWD i a > b to można zrobić tak że prowadzimy rozkład wg algorytmu dajmy że szukamy NWD(a,b) przy czym a=1924 i b=338 1.dzielimy 1924 przez 338. wyjdzie nam że 1924:338=5+reszta(oznaczę ją r) i r= 234 w tym wypadku więc robimy taki myk,że przedstawiamy to jako iloczyn k*b+r 1924=k *b +r⇒1924=5*338+234 dalej mamy że a₁=338, b₁=234 338=k*b₁+r⇒338=1*234+104 i dalej analogicznie aż nie otrzymamy że r=0 tutaj to do momentu aż 234=2*104+26 104=4*26+0 gdy już otrzymamy że r=0 to wtedy NWD jest ta reszta przed zerem więc tutaj NWD(1924,338)=26

xxx: Sposób fajny, ale jak np. mam znaleźć NWW(120,54) to jak go zastosować? 54 nie ma dzielników których nie miało by również 120.

xxx: Jednak nie było pytania , już rozumiem

Jakub: Jednak odpowiem. Po pierwsze 120 i 54 mają wspólne dzielniki: 2, 3. Po drugie jakbyś trafił na liczby, które nie mają wspólnych dzielników, to je pomnóż, aby otrzymać NWW. Przykładowo NWW(6,35) = 6*35 = 210. Takie liczby nazywają się w matematyce "względnie pierwsze".

Velizzy: Dzieki , juz to rozumiem !

Veroniqe: Dzięki za pomoc !

as: Miło że się trafiło... bo dziecku trzeba pomóc "ich szkolną metodą" (klasa 6) A tu... starość nie radość i choć matma była moim konikiem, to bez odświeżenia pamięć już słabnie... PS. Jeszcze bardziej by było miło, gdyby znalazł się przykład na wyliczanie NWW i NWD dla 3 liczb. Pozdro.

Ada: "Jakub: Jednak odpowiem. Po pierwsze 120 i 54 mają wspólne dzielniki: 2, 3. Po drugie jakbyś trafił na liczby, które nie mają wspólnych dzielników, to je pomnóż, aby otrzymać NWW. Przykładowo NWW(6,35) = 6*35 = 210. Takie liczby nazywają się w matematyce "względnie pierwsze". " Taka mi się nasunęła myśl, w komentarzu użyłeś stwierdzenia "względnie pierwsze". Ale nie ma wyjaśnienia na stronie "teoretycznej" Myślę więc, że dobrze by było dodać wyjaśnienie i przykład na stronie głównej (z teorią). Ktoś, kto szuka teorii, rzadko zagląda do komentarzy.

Marzena: bardzo przydatne wiadomości, skorzystałam, dzięki

Dominik: dzięki za pomoc mam jutro sprawdzian

Damian : Dzięki.

Przejrzysta: Dziękuję bardzo, choć trochę zrozumiałam, a z matematyki orłem nie jestem Pozdrawiam.

Okalaka: Najlepiej tu wytłumaczyłeś dziekuję Ci bardzo

XXX: NWD i NWD miałem w podstawówce !

Jakub: Liczby względnie pierwsze mają tylko jeden wspólny dzielnik − liczbę 1. Zresztą tylko dlatego, że przez 1 wszystko można podzielić. Przykłady liczb względnie pierwszych: 6, 13 8, 9 21, 40

przerażony krejzol: czy jeżeli tło w komentarzach robi mi się zielone to znaczy że jestem daltonistą?

Daniel: Jak by trzeba było to płaciłbym Panu za każde moje wejście na tą stronę . To porównywalne do korepetycji Pozdrawiam.

alisska:

	a*b
NWW można policzyć z łatwego wzoru :
	NWD

w naszym przypadku wyglada to nastepujaco :

	280*150
NWD=10 zatem
	10

	42000
NWD=		= 4200
	10

dEJWID17: Jak obliczyć NWD liczb 72 i 110 ? Mi wychodzi 4 ponieważ są tylko 2 wspólne dzielniki ( 2*2 ). Z góry dzięki za pomoc.

P.S.: W odpowiedzi do alisska:

	42000
Napisałeś (aś) , że NWD=		= 4200
	10

Chodziło zapewne o NWW ! Czyli

	42000
NWW=		= 4200
	10

P.S.: W odpowiedzi do dEJWID17: Liczysz to takimi sposobami jak były podane tu na stronie, nic innego. Wspólnym dzielnikiem tych liczb jest tylko 2. Jeśli to robisz rozkładając na czynniki pierwsze każdą z tych liczb, zauważysz, że wspólne dzielniki to tylko 2. Dla liczby 72 wychodzą następujące: 2,2,2,3 dla liczby 110 wychodzą następujące: 2,5. Mnożysz tylko jeśli kilka jest wspólnych dla każdej liczby. Dla liczby 72 mamy jednakowe aż 3 dwójki ale dla 110 mamy tylko 1 dwójkę, zatem nic już nie mnożysz. gdyby dla 110 były 2 dwójki, wówczas mógłbyś pomnożyć 2 razy 2. Dlatego to nie prawda. Powinno być tak: NWD (72,110) = NWD (110, 72) = 2

P.S.: Ah sorry dla 110 wychodzą nie tylko 2,5 ale jeszcze 11, z pośpiechu uknął mi ten czynnik, jednak to nie zmienia faktu ani sprawy, bo 11 nie jest dwójką

P.S.: Mam lewy dzień dzisiaj więc jeszcze raz wypisze te czynniki: Dla 72: 2,2,2,3,3 Dla 110: 2,5,11 Jak wymnożycie je wyjdzie kolejno liczba 72 i 110. Jak widać nie pokrywa się nic po za 2. To oznacza że tylko 2 może być wspólnym podzielnikiem i zarazem jest też największym z możliwych.

squash: Witam, dziękuję bardzo za tak wspaniały serwis dotyczący matematyki. Mam małą uwagę do tego tematu. Moim zdaniem w opisie NWD powinna być uwaga, że jeśli nie ma wspólnych dzielników to NWD to "1" lub zapisać regułę jako NWD= 1 * [lista mnożonych dzielników]

Jakub: Wydaje mi się, że to już wynika z samej nazwy NWD = Największy Wspólny Dzielnik. Jasne jest, że dla np. 11 i 13 największym wspólnym dzielnikiem jest 1.

radus: dzięki wielkie pomogłeś!

P.S.: Znalazłem inne przedstawienie Algorytmu Euklidesa do obliczania NWD: Jeśli oznaczę: NWD(a, b) to: Jeśli a=b to największy wspólny dzielnik to a. (zakończ obliczenia) Jeśli a>b to za a podstaw a−b i dalej kontynuuj porównywanie liczb jeśli a≠b Jeśli a<b to za b podstaw b−a i dalej kontynuuj porównywanie liczb jeśli a≠b Np.: NWD(64,28) 64−28=36 NWD(36,28) 36−28=8 NWD(8,28) 28−8=20 NWD(8,20) 20−8=12 NWD(8,12) 12−8=4 NWD(8,4) 8−4=4 NWD(4,4)=4 a więc NWD(64,28)=4 Warto dodać, że NWD(a, a) = |a| jeśli a ∊ ℤ, podobnie dla NWW: NWW(a, a) = |a| jeśli a ∊ ℤ

P.S.: W odpowiedzi do squash: Zgadzam się z wypowiedzią Jakuba, ta sprawa jest jasna, gdyż NWD dla liczb pierwszych zawsze jest równe jeden gdyż takie liczby mają tylko jeden wspólny podzielnik ze sobą, jest nim jedynka. Zachodzi bowiem wzór: NWD(a, b) = 1 jeśli a≠b ⋀ a ∊ ℙ ⋀ b ∊ ℙ

P.S.: W odpowiedzi do math: Zachodzi także odwrotna postać tego wzoru, tj.:

	|a*b|
NWD(a, b) =
	NWW(a*b)

przy czym a∊ℤ⋀b∊ℤ We wzorze napisanym przez math też taka sama zależność zachodzi tj.:

	|a*b|
NWW(a, b) =		jeśli a∊ℤ⋀b∊ℤ
	NWD(a*b)

Chodzi po prostu o to, żeby w wyniku nie uzyskać ujemnego NWW lub NWD

P.S.: Oczywiście nie mogło się obejść bez pomyłki w zapisie. Miałom być NWD(a, b) oraz NWW(a, b) a pojawiło się NWD(a*b) i NWW(a*b). Oczywiście nie ma tam mnożenia, nigdy! Napiszę zatem jeszce raz te wzory:

	|a*b|
NWD(a, b) =		jeśli a∊ℤ⋀b∊ℤ
	NWW(a, b)

	|a*b|
NWW(a, b) =		jeśli a∊ℤ⋀b∊ℤ
	NWD(a, b)

Ninaaa: Dzięki wielkie, lata nauki matmy a to często mnie gnębi. Super!

Gustlik: Jakubie, a nie lepiej jak masz liczbę z cyfrą jedności "5", czyli z "5" na końcu, np. 1155 dzielić przez 5, zamiast kombinować przez 3? Każda liczba z końcówką "5" dzieli się na 5, to jest PEWNIK. Ja stosuję zasadę, że najpierw wykorzystuję "pewniki", czyli jak mam liczbę parzystą, to dzielę przez 2, a jak pojawi się liczba nieparzysta z "5" na końcu to dzielę na 5, dopiero jak mam inną nieparzystą to próbuję przez 3, 7, 11, 13 itd. Po prostu podzielność przez 2 i 5 jest widoczna gołym okiem bez sprawdzania, dlatego najpierw wykorzystuję 2 i 5, a potem 3, 7, 11 itd. Iloczyn jest przemienny, więc 2*5*3 = 2*3*5. Wg mnie tak jest nieco łatwiej. Oczywiście znam zasadę sprawdzania podzielności przez 3, wiem że wystarczy sprawdzić, czy suma cyfr dzieli sie przez 3, ale po co kombinować, jak "5" na końcu to zawsze podzielność na 5? Np. 150 | 2 ← dzielę na 2, bo parzysta 75 | 5 ← dzielę na 5, bo na końcu mam 5 15 | 5 ← dzielę na 5, bo na końcu mam 5 3 | 3 1 |

Gustlik: P.S. jeśli możesz, to stosuj normalne i zrozumoałe dla wszystkich skróty do zbiorów liczb: N − naturalne C − całkowite W − wymierne NW − niewymierne R − rzeczywiste Większość osób nie wie, co to jest Z.

Jakub: Witaj Gustlik. Kolejnych dzielników liczby szukam zaczynając od 2 i zwiększając o 1 jak już przez daną liczbę nie da się dalej dzielić. W ten sposób otrzymuję uporządkowany i rosnący ciąg dzielników. Jednak nie ma żadnego powodu, aby on był tak jak u mnie rosnący i uporządkowany. Faktycznie jak liczba kończy się np. 5 to można od razu podzielić przez 5 i wynik dzielenia będzie dużo mniejszą liczbą, dla której łatwiej będzie znajdować dzielniki. Mój sposób jednak ma tę zaletę, że od razu widać skąd biorę kolejne dzielni. Po prostu sprawdzam po kolei. Twój sposób jest szybszy, ale musiałbym go jakimś opisem wyjaśnić. Wolę moje krótsze w zapisie, chociaż nie tak szybkie rozwiązanie. Dzięki jednak za komentarz. Osoby, które go przeczytają, może wybiorą Twoje rozwiązanie. Używam wypisanych przez Ciebie skrótów. Nie przypominam sobie, abym gdzieś napisał Z dla liczb całkowitych.

Gustlik: Jakubie, sorry, z tymi skrótami to było adresowane do P.S., a nie do Ciebie, bo P.S. używa tych nietypowych skrótów. Pozdrawiam.

Gustlik: Jakubie − opis jest bardzo prosty i wynika z cech podzielności liczb. Podzielność przez 2 − koncówka −0, −2, −4, −6, −8 czyli liczba musi być parzysta Podzielność przez 5 − koncówka −0, −5 Ponieważ liczby z końcówką −0 traktuję jak parzyste, to dzielę je przez 2, z tych podzielnych przez 5 pozostają więc nieparzyste z końcówką −5.

Gustlik: Jeszcze jedna ciekawa rzecz − powyzej opisany rozkład liczb na czynniki pierwsze można wykorzystać do wyłączania czynnika przed pierwiastek, a nawet do obliczania pierwiastków. Np. √48 Rozkładam 48 na czynniki: 48 | 2 24 | 2 → 2 12 | 2 6 | 2 → 2 3 | 3 → √3 → czynnik "nieskompletowany" 1 | Ponieważ stopień pierwiastka jest 2, "kompletuję" po 2 takie same czynniki, a czynniki "nieskompletowane" zostają pod pierwiastkiem i wszystko wymnażam: Czyli √48=2*2*√3=4√3 Jeżeli tych "nieskompletowanych" czynników jest więcej, to wymnażam je i "wkładam" pod pierwiastek, np. √40 40 | 2 20 | 2 → 2 10 | 2 5 | 5 → √2*5=√10 czynniki nieskompletowane 1 | Czyli √40=2*√10=2√10 Przy wyłączaniu czynnika przed pierwiastek 3, 4 i wyższego stopnia postępuję podobnie, tylko po rozłożeniu liczby na czynniki kompletuję po tyle takich samych czynników, ile wynosi stopień pierwiastka. Jeżeli mam pierwiastek stopnia 3 − kompletuję po 3 takie same czynniki, przy pierwiastku stopnia 4 − po 4 takie same czynniki. Po prostu taka zasada "jaki stopień pierwiastka, takie komplety". Podobnie jak przy pierwiastku kwadratowym czynniki "nieskompletowane" wymnażam i wkładam pod pierwiastek, tylko oczywiście tego samego stopnia, jak ten na początku. Np. ³√32 32 | 2 16 | 2 → 2 8 | 2 4 | 2 2 | 2 →³√2*2=³√4 czynniki "nieskompletowane" 1 | ³√32=2*³√4=2³√4 ⁴√162 162 | 2 →⁴√2 81 | 3 27 | 3 9 | 3 → 3 3 | 3 1 | Czyli ⁴√162=3*⁴√2=3⁴√2 To "kompletowanie" czynników wynika z prostej zasady: przy pierwiastku kwadratowym szukam kwadratów liczb, stąd muszą być po 2 takie same czynniki, bo po spierwiastkowaniu zrobi się jeden czynnik, np. √3*3=√3²=3. Przy pierwiastkach stopnia 3 kompeluje po 3, żebym miał 3 potęgi, np. ³√2*2*2=³√2³=2, po prostu żeby pierwiastek się "zniósł" z potęgą, to jego stopień musi być równy wykladnikowi tej potęgi, stąd ta zasada "jaki stopień pierwiastka, takie komplety". Opisaną powyżej metodę można stosować do obliczania pierwiastków z liczb nawet wówczas, gdy pierwiastek jest całkowity, np. √64 64 | 2 32 | 2 → 2 16 | 2 8 | 2 → 2 4 | 2 2 | 2 → 2 1 | czyli √64=2*2*2=8 Szczególnie jest to ważne przy obliczaniu pierwiastków wyższych stopni, np. stopnia 3, bo tej funkcji nie mają kalkulatory proste, a jedynie takich wolno używać na maturze. Np. ³√512 512 | 2 256 | 2 → 2 128 | 2 64 | 2 32 | 2 → 2 16 | 2 8 | 2 4 | 2 → 2 2 | 2 1 | Czyli ³√512=2*2*2=8 Jeżeli pierwiastek z danej liczby jest całkowity, to wszystkie czynniki się "skompletują" i wystarczy je wymnożyć. Podobnie możemy postąpić z pierwiastkiem stopnia 4, 5 i wyższych. Warto jednak wiedzieć, że pierwiastek stopnia 4 to "podwójny kwadratowy", czyli pierwiastek z pierwiasta: ⁴√x=√√x. Mozna go obliczyć kalkulatorem prostym wyposażonym w funkcję pierwiastka kwadratowego − wysatrzcy najpierw wprowadzić liczbę, a potem 2 razy wcisnąć klawisz √ i po kłopocie, np. ⁴√16 16 √ √ → i mamy wynik 4.

Gustlik: Małe sprostowanie − wkradł sie błąd: 16 √ √ → i mamy wynik 2.

Gustlik: Obliczę NWW bardzo ciekawą metodą pigora − jednego z naszych forumowiczów: NWW(525, 2310)=2*5*5*3*7*11=11550 525 2310 | 2 525 1155 | 5 105 231 | 5 21 231 | 3 7 77 | 7 1 11 | 11 1 1 | Taki "wielokrotny" rozkład kilku liczb naraz na czynniki polega na tym, że sprawdzam, czy co najmniej jedna z liczb w danym wierszu dzieli się np. przez 2, 5, 3, 7 itd..., jeżeli tak, to dzielę tę liczbę, natomiast liczby niepodzielne przez dany czynnik przepisuję do wiersza niżej i tak aż wszystko rozłożę, czyli do uzyskania samych "1" z lewej strony. NWW to iloczyn wszystkich uzyskanych czynników z prawej strony. W ten sposób można szybko obliczać NWW również z trzech i więcej liczb. Tu przykład rozwiązany przez pigora dla 4 liczb ( https://matematykaszkolna.pl/forum/211794.html ): 5 6 9 14 | 2 5 3 9 7 | 3 5 1 3 7 | 3 5 1 1 7 | 5 1 1 1 7 | 7 1 1 1 1 | NWW(5,6,9,14)= 2*3*3*5*7= 10*9*7= 10*63= 630

seba: nwd (54,225) wychodzi 2*3=6 dzielac 225/6 nie wychodzi pelna liczba, co zle zrobilem ?

bob: Jakie jest NWD dla liczb (362,826)

ydf,mykxr,: ykgmkynmkbhny

typowy uczen: co jeśli jest w drugiej liczbie więcej takich samych liczb pierwszych, jakie zakreślamy? np.przy NWW 30 i 48 w 48 są cztery 2,a w 30 jedna 2 to jakie zakreślamy

jan niezbędny: @seba bo NWD (54,225) wynosi 3*3=9

ignaś: nie rozumiem∏