beata: jak podzielić ten wielomian przez x−1 bo nie pamiętam jak to się robi

Jakub: Podzieliłem przecież.

Gustlik: x³−2x²−5x+6 = 0 Rozwiążę ten przykład za pomocą scchematu Hornera: Podzielników wyrazu wolnego, czyli 6, szukamy tak, jak do obliczania standardową metodą: −1, +1, −2, +2, −3, +3, −6, +6. Rysujemy prostą tabelkę, w górnym wierszu wpisuję współczynniki wielomianu, a w dolnym wierszu pod pierwszą pustą rubrykę wpisuję podzielniki (zaznaczone na zielono): Pierwszy współczynnik wielomianu przepisuję do dolnego wiersza, a następne liczę wg zasady: podzielnik * otrzymany współczynnik z dolnego wiersza + następny współczynnik z górnego wiersza, np.: Sprawdzam dla x=−1, czyli dzielę W(x) przez (x+1): (−1)*1+(−2) = −1−2 = −3, (−1)*(−3)+(−5) = 3−5 = −2, (−1)*(−2)+6 = 2+6 = 8 Reszta z dzielenia przez (x+1) wyszła 8, więc liczę wg tej samej zasady dla x=1 (trzeci wiersz): 1*1+(−2) = 1−2 = −1, 1*(−1)+(−5) = −1−5 = −6, 1*(−6)+6 = −6+6 = 0 − reszta z dzielenia wychodzi 0, −1 jest pierwiastkiem. | xxx | 1 | −2 | −5 | 6 | ← współczynniki W(x) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− |−1 | 1 | −3 | −2 | 8 | ← W(−1) = 8, więc −1 nie jest pierwiastkiem, sprawdzam dla 1: −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− | 1 | 1 | −1| −6 | 0 | <−−−− W(1) = 0, więc 1 jest pierwiastkiem (reszta z dzielenia wynosi 0). Zatem (x³−2x²−5x+6):(x−1) = x²−x−6 − liczby zaznaczone na czerwono w dolnym wierszu w środkowych rubrykach tabelki to współczynniki wielomianu będącego wynikiem, dzielenia W(x) przez (x−1), a ostatnia liczba w dolnym wierszu to reszta z dzielenia będąca jednocześnie wartością wielomianu W(1). Schemat Hornera obniża stopień wielomianu o 1, dlatego z wielomianu 3 stopnia zrobiła się funkcja kwadratowa − dzieje się tak dlatego, że dzielimy wielomian stopnia 3 przez wielomian stopnia 1, a stopień ilorazu wielomianów jest równy różnicy stopni pierwszego wielomianu (dzielnej) czyli W(x) oraz drugiego − czyli dzielnika − to wynika ze wzorów dotyczących działan na potęgach: a^m : aⁿ = a⁽m−n). Równanie można zapisać w postaci: (x−1)(x²−x−6) = 0 Z pierwszego czynnika (x−1) znalezionego schematem Hornera wiadomo, ze rozwiązaniem jest x=1. Drugi czynnik to funkcja kwadratowa, którą liczę standardowo z delty. Ciąg dalszy tak, jak napisał Jakub. Czyli Δ=25, x₁ = −2, x₂ = 3. Rozwiązania: x = 1, x = −2, x = 3.

Gustlik: Małe sprostowanie: 1*(−6)+6 = −6+6 = 0 − reszta z dzielenia wychodzi 0, 1 (a nie −1) jest pierwiastkiem. − ma być 1, a nie −1, zrobiłem kopiuj−wklej i stąd przeniósł się ten drobny błąd w opisie, nie ma natomiast błędu w obliczeniach i pozostałych opisach.

zodiak: Gustlik Twój sposób wydaje się strasznie zagmatwany w dodatku tyle czytania i treści, pomimo tego ja to rozumiem, jednak nie wszyscy muszą rozumieć dlatego sądzę, że od Pana Jakuba pomoc jest bardziej zrozumiała

zodiak: myślę, że najprostszym sposobem jeżeli ktoś nie potrafi wybrnąć z powiedzmy "stresującej sytuacji na maturze" i wpada w panikę, bo nie wie co zrobić, było by tutaj podkładanie tych dzielników 1,−1,2,−2,3,−3,6,−5 np. W(1)= i liczymy i wychodzi 0 i tak dla −2 i 3 również trochę potrwa te liczenie, ale ... w tej metodzie chyba najmniej błędów się popełnia, szkoła stanowczo za mało uczy sprytu i upraszczania dla siebie sposobu liczenia, bo "powinno się ich znać jak najwięcej", a w praktyce korzysta się z jednych i tych samych czyli ulubionych, najprostszych

Ha: dzielenie wielomianów jest na poziomie podstawowym?

Jakub: Dzielenie wielomianów nie ma na podstawie.

Gustlik: Zodiak, rozpiszę Ci dokładniej: Podzielników szukam tak, jak zrobił Jakub, czyli podzielniki wyrazu wolnego 6. Sa to liczby +−1, +−2, +−3, +−6 Wstawiam je do schematu Hornera tak długo, az otrzymam resztę 0 1 −2 −5 6 ← współczynniki W(x) 1 1 −1 −6 0 ← reszta z dzielenia Czyli W(1)=0, a W(x):(x−1)=x²−x−6 Teraz pozostaje nam rozwiązać funkcję kwadratową x²−x−6, czyli Δ, x₁, x₂. Pierwiastkami będa liczby 1 oraz ewentualnie x₁, x₂ z funkcji kwadratowej. Schemat Hornera działa tak: pierwszy współczynnik wielomianu przepisujemy do dolnego wiersza, a podzielnik mnożymy przez ostatnią w danym momencie liczbe w dolnym wierszu i do tego iloczynu dodajemy następny współczynnik z górnego wiersza. A więc 1*1+(−2)=−1 1*(−1)+(−5)=−6 1*(−6)+6=0 Tu akurat podzielnik 1 jest pierwiastkiem. Gdyby 1 nie spełniła, to bierzemy kolejny podzielnik, np. −1 i tak do skutku, az wyjdzie reszta z dzielenia (na koncu dolnego wiersza) =0. Jest to bardzo prosta i przyjemna wzrokowo metoda i jak zwykle to bywa z prostymi metodami − nielubiana przez lubiących kombinowac na okrętkę nauczycieli.

danianek23: hej ... ja tez licze z tabelki ... jest prosciej wkoncu zrozumialem te wielomiany... sa banalnie proste... gdyby nasza babka tak tlumaczyla...

Patryk: czy tą metodą mozemy rozwiazać każdy wielomian którego nie da sie rozwiązac za pomocą grupowania

Jakub: Każdy nie. Tylko takie wielomiany, które mają pierwiastki wymierne. Jeżeli wielomian ma pierwiastki np. √2, √3, √5 to ich nie znajdziesz, ponieważ to nie są liczby wymierne. W tej metodzie korzystam z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych. Tak więc, jak nie wyjdzie ci nic za pomocą tego twierdzenia, to należy wrócić do metody grupowania i dalej nią próbować kombinować. To co wyżej napisałem, to jednak trochę abstrakcyjne gadanie. Nie spotkałem się na maturze z wielomianem, w którym nie dałoby się zastosować twierdzenia o pierwiastkach wymiernych.

Olga: A skąd mam wiedzieć ile liczyć pierwiastków? Bo czasem, robiąc tabelką, liczymy 3 pierwiastki, czasem 2, a czasem 1...

Jakub: Chodzi Ci o pierwiastki czy dzielniki ostatniego wyrazu. Pierwiastki to miejsca zerowe wielomianu i rozwiązując równanie wielomianowe liczysz wszystkie pierwiastki.

Olga: Chodzi mi o pierwiastki. Gdy rozwiązuję przez rozłożenie wielomianu na czynniki liniowe to mi liczba pierwiastków sama wychodzi, ale gdy chcę rozwiązać tabelką Hornera to nie wiem ile pierwiastków ma wyjsc. Koleżanka mi mówiła, że np. jak jest x³ + 3x² + 2x + 4 to mają wyjsc trzy pierwiastki, bo największą potęgą jest 3, ale jak robię zadania to nie zawsze się to sprawdza.

Jakub: Koleżanka tylko częściowo dobrze powiedziała. Jak masz x³ + 3x² + 2x + 4 to jest to wielomian stopnia trzeciego. Oznacza to, że może on mieć MAKSYMALNIE trzy pierwiastki. Na przykład: x³−2x²−5x+6 = (x−1)(x+2)(x−3) Wielomian jest trzeciego stopnia i ma trzy pierwiastki x₁ = 1, x₂ = −2, x₃ = 3. x³+2x²+2x+1 = (x+1)(x²+x+1), bardziej już się nie da rozłożyć, bo Δ<0. Wielomian jest trzeciego stopnia i ma jeden pierwiastek x = −1. Ogólna reguła. Wielomian n−tego stopnia może mieć MAKSYMALNIE n pierwiastków.