leniwiec: Mam pytanko jeśli wielomian jest n−tego stopnia to może mieć co najwyżej n pierwiastków, w takim razie z pośród tych pięciu liczb w tym przypadku pasować będą tylko 3 ,ponieważ ten wielomian jest stopnia 3... Am I right btw tylko tak się upewniam

Jakub: Jeżeli wielomian jest trzeciego stopnia, to ma co najwyżej 3 pierwiastki. Następna rzecz to, czy te pierwiastki są wymierne? Jeżeli są, to znajdziemy je za pomocą tego twierdzenia. Jeżeli nie, trzeba kombinować w inny sposób (rozkładanie, wzory skróconego mnożenia, ...)

masio: mam takie zadanie W(x)=x³+x²−9x−9 i mam rozwiązać wzorem skróconego mnożenia ale nie wiem jak zacząć?

Jakub: Zobacz przykłady na stronie 1689

123: x³ + x² − 9x − 9 = x²(x+1) − 9(x+1) = (x²−9)(x+1) = (x−3)(x+3)(x+1)

zodiak: czy z tego rozszerzonego twierdzenia pierwiastkami wielomianu W(x) są −1 i ¹₂

Jakub: Zodiak pisze o wielomianie 4x³−3x+1 z poprzedniej stronie. Z początku nie wiedziałem jakiego wielomianu są to pierwiastki.

Beata: skąd wiadomo czy w wielomianie mamy zastosować powyższe twierdzenie ( p/q) czy dzielniki wyrazu ost (d) czy normalnie rozkładać na czynniki?

Jakub: Zawsze na początku próbuj rozkładać na czynniki poprzez przekształcenia np. grupowanie wyrazów. To jest metoda najkrótsza i najbardziej elegancka. Problem z nią jest taki, że nie dla wszystkich wielomianów "działa". Jak się nie uda, to − korzystasz z dzielników ostatniego wyrazu, gdy przy największej potędze masz 1 lub −1 np. x⁴−5x³+8, −x³−4x+5 − korzystasz z twierdzenia (p/q), gdy przy największej potędze masz liczbę rożną od 1 i −1 np. 2x⁴−5x³+8, −4x⁶−3x³+6x²−x−9, 8x³−x−1. Jak nie wyjdzie metodą dzielników to znaczy, że wielomian nie ma pierwiastków wymiernych. Może

	√7
mieć jednak pierwiastki niewymierne np. √3,		. Trzeba znowu wrócić do przekształceń
	5

tak jak na początku. Nie mamy innego wyboru.

Adam: Mam pytanie: Jeżeli mam wielomian postaci np: W(X)=x³+2x²−7x+4 czyli przy najwyższej potędze nie ma nic, to korzystam z pierwszego twierdzenia o pierwiastakach wymiernych tak? Zajumuje się liczbą na samym koncu i szukam jej dzielników pózniej która jest pierwiastkiem i z twierdzenie bezout itd...

Jakub: Zgadza się. Tak drobny błąd w pytaniu. Przy x³ jest 1, a nie jak napisałeś nic. Tak więc, jak przy x³ jest 1, to korzystasz z pierwszej wersji twierdzenia o pierwiastkach wymiernych.

Adam: Czyli gdy będę w takiej sytuacji że z wyrażeniem już nic niezrobie i będzie takiej postacie W(X)=x3+2x2−7x+4 to zostaje mi poszukać pierwiastka całkowitego w ostatnim wyrazie tego wyrażenia ?dobrze rozumiem .I jeszcze ten pierwiastek musi być liczba całkowitą ? A gdy będzie wyrażenie typu:W(X)=8x3+2x2−7x+4 i również nic już nim nie zrobie to jade według drugiego twierdzenia ale pierwiastki muszą byc liczbami wymiernym?Proszę o potwierdzenie Do Pana Jakuba,świetna robota,niewie Pan nawet jak mi bardzo pomaga w przygotowaniu do matury na poziomie rozszerzonym!

Jakub: Jeżeli W(x)=x³+2x²−7x+4 ma pierwiastki całkowite, to są one wśród dzielników 4. Czyli wypisujesz wszystkie dzielniki: −1, 1, −2, 2, −4, 4 i sprawdzasz, który z nich jest pierwiastkiem. Co będzie jak żaden z nich nie jest pierwiastkiem? Oznacza to, że ten wielomian nie ma pierwiastków całkowitych i trzeba szukać innych (już niecałkowitych) przez rozkładanie na czynniki. To jest trudne, ale nie ma wyboru. Jednak w zadaniach maturalnych najczęściej dają takie zadania, aby te pierwiastki całkowite były. Jak masz wielomian 8x³+2x²−7x+4 to szukasz najpierw pierwiastków całkowitych (wśród dzielników 4). Zauważ, że pierwsze twierdzenie też dotyczy tego wielomianu! W pierwszym twierdzeniu nie ma nigdzie napisane, że a=1. Przykład to nie twierdzenie. Tak więc dla W(x)=8x³+2x²−7x+4 szukasz pierwiastków całkowitych z pierwszego twierdzenia. Jak ich nie będzie to masz pecha i musisz szukać wśród ułamków (pierwiastki wymierne) z drugiego twierdzenia. Jak i tu nie znajdziesz to masz całkowitego pecha, bo musisz wrócić do metody rozkładania na czynniki i jakoś to rozłożyć. To jest jednak trudne dla wielomianów, które nie mają pierwiastków wymiernych. Nie ma jednak wyjścia. Teraz zrozumiałe?

Adam: TakDziękuje bardzo

Gustlik: Jakubie, proponuję wpisać na stronę taką ciekawą zasadę, która ułatwi szukanie pierwiastków niektórych wielomianów: Zasada nr 1 Jeżeli wielomian W(x) ma wszystkie współczynniki tego samego znaku, to pierwiastki tego wielomianu (o ile istnieją) nie mogą być liczbami dodatnimi. Czyli mogą to być to liczby ujemne lub 0. Dowód: Zasada wynika stąd, ze dla liczb dodatnich wszystkie potęgi są dodatnie. A więc jeżeli wielomian ma wszystkie współczynniki dodatnie, zatem dla każdego dodatniego x₀ każda potęga x₀^k>0, zatem każdy składnik wielomianu a_kx₀^k>0, a więc suma takich składników, czyli wartość wielomianu jest dodatnia, zatem x₀ nie jest pierwiastkiem. Analogicznie dla wielomianów o wszystkich współczynnikach ujemnych − dla każdego dodatniego x₀ każda potęga x₀^k>0, zatem każdy składnik wielomianu a_kx₀^k<0, a więc suma takich składników, czyli wartość wielomianu jest ujemna, zatem x₀ nie jest pierwiastkiem. Zasada nr 2 Jeżeli wyraz wolny wielomianu a₀ jest różny od 0, to żaden z pierwiastków (o ile istnieja) nie jest równy 0. Dowód: Niech W(x)=a_nxⁿ+a_n−1x{n−1}+...+a₂x²+a₁x+a₀ Żeby 0 było pierwiastkiem wielomianu, to W(0)=0. Obliczmy W(0)=a_n*0ⁿ+a_n−1*0ⁿ⁻¹+...+a₂*0²+a₁*0+a₀=a₀ Czyli W(0)=a₀. Jezeli a₀≠0, to W(0)≠0 → 0 nie jest pierwiastkiem. Wynika stąd, że 0 jest pierwiastkiem wtedy i tylko wtedy, gdy a₀=0, czyli wielomian "kończy się" na wyrazie zawierającym x w dowolnej potędze, np. x³+3x²+2x, x⁴−x² itp. Tę zasadę 2 stosujemy poprzez wyłączanie najniższej potęgi x przed nawias i wtedy wychodzi xⁿ=0, czyli x=0 i wielomian w nawiasie=o, a pierwiastków tego wielomianu możemy szukać innymi sposobami, np. wg zasady 1, jeżeli ma współczynniki tego samego znaku. Stosując te zasady można ułatwić sobie szukanie pierwiastków niektórych wielomianów, np. wielomian x³+6x²+11x+6 moze mieć tylko pierwiastki ujemne. Z zasady 1 wynika, że nie może mieć pierwiastków dodatnich (wszystkie współczynniki dodatnie), a z zasady 2 − nie może to być 0, bo wyraz wolny a₀=6, czyli W(0)=6. Stosując twierdzenie o pierwiastkach całkowitych i wymiernych i powyższe zasady, należy szukac pierwiastków tylko wśród ujemnych podzielników wyrazu wolnego, mogą to być liczby −1, −2, −3. Natomiast w pozostałych przypadkach należy szukać pierwiiastków wśród liczb obu znaków. Natomiast wielomian −x³−3x²−2x ma pierwiastek =0 (zasada 2), a pozostałe pierwiastki, jezeli istnieją, sa liczbami ujemnymi. Dalsze szukanie pierwiastków odbywa się już standardowo, poprzez twierdzenie Bezout i dzielenie wielomianu przez dwumian lub schemat Hornera. Tylko jest łatwiej, ponieważ nie musimy sprawdzać liczb liczb dodatnich, a więc mniej liczenia.

Gustlik: Małe sprostowanie: Stosując te zasady można ułatwić sobie szukanie pierwiastków niektórych wielomianów, np. wielomian x³+6x²+11^x+6 moze mieć tylko pierwiastki ujemne. Z zasady 1 wynika, że nie może mieć pierwiastków dodatnich (wszystkie współczynniki dodatnie), a z zasady 2 − nie może to być 0, bo wyraz wolny a0=6, czyli W(0)=6. Stosując twierdzenie o pierwiastkach całkowitych i wymiernych i powyższe zasady, należy szukac pierwiastków tylko wśród ujemnych podzielników wyrazu wolnego, mogą to być liczby −1, −2, −3, −6. Zapomniałem dodać −6, które też jest podzielnikiem 6 i może być pierwiastkiem.

Gustlik: Ja te pierwiastki znajduje nieco prościej: Najpierw wypisuje dzielniki wyrazu wolnego, czyli w opisanym przykładzie b ędą to liczby 1 i −1. Nie powtarzam tych liczb przy pierwiastkach wymiernych, bo po co? Dzielenie wyrazu wolnego przez 1 i −1 daje te same dzielniki wyrazu wolnego. Czyli dzielę dzielniki wyrazu wolnego przez dzielniki pierwszego współczynnika a, ale różne od 1 i −1. Jeżeli po skróceniu ułamka natrafię na liczbę, którą wcześniej już mialem, to od razu ją skreślam. Przyklad: W(x)=2x⁴+5x³−20x²+55x+50 Dzielniki wyrazu wolnego, czyli 50: +−1, +−2. +−5, +−10, +−25, +−50 Dzielniki współczynnika a: +−1, +−2 Dzielniki wymierne: − biorę dzielniki wyrazu wolnego przez +−2, bo jak podzielę przez +−1, to otrzymam dzielniki 50. Czyli: +−1/2, +−2/2=+−1 (skreślam, bo miałem tę liczbę), +−5/2, +−10/2=+−5 (skreślam), +−25/2, +−50/2 (skreślam) Uwzgledniam teraz wszystkie całkowite dzielniki wyrazu wolnego i nie skreślone pierwiastki wymierne, czyli: +−1, +−2. +−5, +−10, +−25, +−50, +−1/2, +−5/2, +−25/2 − te liczby mogą być pierwiastkami.

humhum: jak rozwiązać równanie : 2x⁴− 7x³+ 2x²+3x= 0

Cudi29: W ustępie "Układam z dzielników ułamki:" w dwóch ostatnich ułamkach są błędy... W licznikach powinno być −1... Przez to reszta przykładu też jest troszkę pokręcona...

Karol: wszędzie piszecie (mówię o szukaniu pierwiastków wymiernych) o tym że muszę sprawdzić która liczba (spośród dzielników wyrazu wolnego lub p/q) jest pierwiastkiem wielomianu, pytanie jak to zrobić? "po zwyczajnemu" schematem Hornera? robie włąsnie zadanie i mam wielomian stopnia 3 i 4 dzielniki wypisane, to znaczy ze maks 3 pierwiastki z tych podanych mogą pasować (wiem ze ten wielomian ma pierw wymierne). Do każdego z nich mam budować tabliczkę?

Jakub: Po prostu po kolei sprawdzasz, czy dane liczby są pierwiastkami podstawiając za x i patrząc czy wychodzi zero. Na 119 podstawiałem i za każdym razem wychodziło zero, czyli 1, 2, 0 są pierwiastkami. Jak zero nie wyjdzie, to liczba nie jest pierwiastkiem.

Karol: właśnie o to mi chodziło: czy nie ma na to szybszego sposobu niz podstawianie po kolei