Tosia: mam pytanie: skąd w przykładzie 1 wzięły się 2 zera w współczynnikach

Jakub: Wielomian ten można zapisać także w taki sposób: W(x) = x⁵ + 0x⁴ − 2x³ + 0x² + 5x + 4 Teraz chyba jasne skąd te zera.

angel: ale masakra

adiradi92: a jeśli w zadaniu jest polecenie wypisania współczynników, to zerowe też mysimy wypisywać czy to nie jest konieczne?

Jakub: Tak. Zerowe należy też wypisać. Jednak gdy masz wielomian np. x⁷+5, to można zamiast wypisywać 1,0,0,0,0,0,0,5 dać odpowiedź: "1 przy x⁷ i ostatni współczynnik 5".

Karol: a przykład drugi z tej strony tam też niby powinny byc dwa zera a dlaczego nie ma, nie rozumiem:(

Jakub: Dlaczego powinny być dwa zera? 2x³ + 4x² − 2 = 2x³ + 4x² + 0x −2

martyna159: z kad mam wiedziec jakie sa wspulczynniki jak to wyliczyc

Jakub: Współczynniki to liczby przy potęgach x.

lusia: "Jakub: Wielomian ten można zapisać także w taki sposób: W(x) = x⁵ + 0x⁴ − 2x3 + 0x² + 5x + 4 Teraz chyba jasne skąd te zera. " Skąd się wzięły tu 0x⁴ i 0x²

Jakub: Po prostu dopisałem. Zauważ, że 0x⁴ = 0, 0x² = 0. Dodać 0 zawsze można. Przykładowo 10 = 10+0 Dopisanie zer nie zmienia wielomianu. To dalej ten sam wielomian.

Seba: Jaki jest wzór na pochodna wielomianu stopnia 3?

Jakub: Zobacz przykład na stronie 370. Pochodnych jednak nie ma na maturze.

NOVY: widze że to stary temat, ale jeśli dopisałeś te zera i to nic nie zmienia, to po co je wypisywać? pewnie zadaje głupie pytanie, ale chciałbym wiedzieć.

Jakub: Wypisując wszystkie współczynniki wielomianu łącznie z zerami, otrzymujemy pełną informację o wielomianie. Przykładowo wielomian o współczynnikach 1, 3, 0, 0, 5 to 1x⁴ + 3x³ + 0x² + 0x + 5 = x⁴ + 3x³+5 Gdyby nie wypisywać współczynników zerowych, to dla np. 2, 3, 7 można by otrzymać przykładowo takie wielomiany: 2x² + 3x + 7, 2x⁸ + 3x² + 7, 2x¹⁰ + 3x⁹ + 7x³, itd. Jak widać, tylko wypisując wszystkie współczynniki wielomianu, jednoznacznie określamy wielomian.

izka: 0*x⁴+x³+x² jest wielomianem stopnia 4

Jakub: Nie jest stopnia czwartek tylko trzeciego. Stopień wielomianu to wykładnik największej potęgi wielomianu. W 0*x⁴+x³+x² największa potęga to x³, bo 0*x⁴=0.

anita : Nie rozumiem działań na wielomianach prosze o jakąś pomoc

Aniś: Jestem 3 klasie szkoły sredniej bede wdzięczna za pomoc,działania na wielomianach

Aniś: + wytkorzystanie funkcji iloczynowej w zadaniach

Jakub: Dzięki

Jakub: Zobacz Aniś stronę 1434.

roman: to czasami nie powinno byc w tym przykladzie y=5x−2 zapisane tak >? wielomian stopnia 1 o współczynnikach 5,0,−2 hmmmm >? pozdrawiam

Jakub: Po co to zero w środku? Może napiszę to tak: y = 5x−2 = 5x¹ − 2x⁰. Między potęgi x¹ i x⁰ nie można "wsadzić" dodatkowej potęgi, więc nie piszemy tego zera. Co innego gdybyś miał przykład: y = 5x²−2 = 5x² + 0x − 2 = 5x² + 0x¹ − 2x⁰ Współczynniki: 5, 0, −2

roman: aha ok dzięki

Schitty: mam prośbe czy zna ktos strone z której można wziac materialy na poprawke w II klasie liceum do wielomianów tak żebym zrozumial. Z góry dzieki

przemo: niewiem poco to komu przecież ja w życiu nie bede tego czegoś używal to jest chore

Jakub: Oczywiście, że nie będziesz tego używał. Uczysz się tego, aby się sprawdzić. Na takiej samej zasadzie amatorzy biorą udział w maratonach, aby udowodnić sobie, że potrafią przebiec 42 km i że są w dobrej formie. Nie po to, aby wygrywać nagrody. Jak dasz radę się tego nauczyć, to znaczy, że z innymi praktycznymi i często bardziej skomplikowanymi problemami, też sobie poradzisz. W ten sposób siebie sprawdzasz i inni sprawdzają ciebie

przemo: no tak ale z kąd mam wiedzieć w którym miejscu wstawić to 0

Jakub: Przy odczytywaniu współczynników możesz wielomiany zapisywać w ten sposób: y = x⁵ − 2x³ + 5x + 4 = x⁵ + 0x⁴ − 2x³ + 0x² + 5x + 4 Współczynniki: 1, 0 ,−2, 0, 5, 4

blondi: nie rozumiem skąd biorą się te zera Proszę o pomoc

Jakub: Przykładowo między x⁵, a −2x³ nie ma potęgi x⁴. Zawsze jednak mogę dopisać 0x⁴, ponieważ 0x⁴=0, a 0 zawsze mogę dodać, bo nic nie zmienia. Jak w ten sposób pododaję brakujące potęgi, to wyjdą mi wszystkie współczynniki, łącznie z zerami.

Martyna: weźmy pierwszy przykład : y = x⁵ − 2x³ + 5x + 4 potęgi powinny być : do 5, do 4, do 3, do 2, oraz do 1. jednak mamy potęgi : do 5, do 3, do 1. ( BRAKUJE POTĘGI 4 I 2) dlatego : 1, 0, −2, 0, 5, 4 1 dlatego że przed x⁵ nie ma żadnej cyfry. 0 dlatego, że nie mamy potęgi 4 więc 0⁴. − 2 dlatego, że −2³ 0 dlatego, że nie mamy potęgi 2 więc 0² 5 dlatego, że 5x 4 już chyba z oczywistych powodów.

Damian: Martyna kocham Cię Jak krowie na rowie ale skutecznie.

Martyna: ciesze sie

Ania : dziekuje może zdam mature dzieki wam

niunia: bez kitu wy tu tak dobrze tłumaczycie ze szok. na semestr mialam slabe 2 a dzieki wam wszystko czaje a Martyna to juz wogole wytlumaczyłaś mi perfect! dzieki

kramarz: co to jest stopień iloczynu? definicja tego

Dotka: super strona! z trzech lat szkoły nie mogłam czegos zaskoczyc, a tu prosze ...UMIEM! dziękuję bardzo twórcom i pozdrawiam

joanna: ∊ co znaczy ten znak

joanna: r∊R nie wiem jak to odczytać?

Justyncia: Jakubie,nasz zbawicielu. Ja troszku odbiegne od przedmówców,nie zapytam o konkretne zadanie,a po prostu podziekuje za wielka wyrozumialosc dla nas ludzi mniej oswieconych od Ciebie Na prawde,nie jeden dalby sobie juz spokoj z tlumaczeniem po raz tysieczny tej samej wiadomosci. Pozdrawiam(y),dziekujem(y)

student: a czy możliwe są potęgi np. x**−1 albo x**1/2 czyli że to jest 1/x albo pierwiastek stopnia drugiego z x? bo w sumie nie pamiętam żeby sie robiło takie przykłady. jak to jest z wykładnikami potęg mniejszymi od zera albo dla ułamkow czyli czy w wielomianach są działania z wykładnikami potęg wymiernych liczb?

Jakub: Nie. Wielomiany składają się z potęg, które mają w wykładnikach tylko liczby naturalne. Taka definicja .

schnapsmann: ja nie rozumiem innej rzeczy. w założeniach wypisano , że współczynnik a ≠ 0. po czym w przykładach wypisywano te współczynniki, które były = 0. gdzie jest knif?

Jakub: Tam jest a_n ≠ 0, czyli tylko współczynnik przy najwyższej potędze nie nie może być równy 0. Co to jest knif?

li: good job Jacub!

Tomasz: No dobrze, skoro nawet 8 jest wielomianem, to można powiedzieć, że każda liczba jest wielomianem (lub możemy ją przedstawić w postaci wielomianu)?

Hary:

ewa: czy 8 napewno jest wielomianem? bo nas inaczej uczyli....?

...: Chyba jest, bo: W(x)=8 =0x+8

Madzia: Witam, czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak to rozwiązać?: (x²−3xy+7y²)(x²+5y²)= ?

Ojciec Pablito : Wszystko pięknie fajnie lecz jest jeden problem nie potrafie tego ogarnąć...

Paula: Jeśli możecie to zróbcie mi to... muszę rozłożyć na czynniki wielomiany metodą grupowania wyrazów W(x)7x³+2x²−21x−6 Będę bardzo wdzięczna

Karola: po przeczytaniu Waszych komentarzy nareszcie zrozumiałam D jakieś 15,20 minut i ok DZIĘKUJĘ!

mario666: a co to znaczy ze a_n musi być różne od zera. jesli mozna to prosze podac taki przyklad w ktorym zachodzi ta zależność i nie jest to wielomian

mario666: dlaczego 8 jest wielomianem skoro przy najwyzszej potędze ma 0

Jakub: To jest zgodne z definicją wielomianu. 8 = 8x⁰.

Rafcio: Nazwisko piszemy wielką literą, panie Gada. Bo mi się korkowicze mylą.

paula: świetny materiał! bardzo pomocny

ZbiG: W definicji jest mały błąd, gdyż a₀ może równać się 0. Otrzymamy wtedy tzw. wielomian zerowy, czyli W(x)=0.

ZbiG: I jeszcze jedno. Stopień wielomianu zerowego często definiuje się jako −∞ (minus nieskończoność). Dziwne, prawda?!

ZbiG: Generalnie definicja wielomianów SKOŃCZONYCH jest zupełnie inna, ale dla potrzeb przyszłych maturzystów niech i tak zostanie. Każdy SKOŃCZONY wielomian możemy potraktować jako funkcję zmiennej rzeczywistej (x∊R). Tej definicji nie da się uogólnić np. na wielomiany nieskończone.

Mela: Jakub 18 stycznia o 17:27 napisałeś we współczynnikach 1 skąd ona się wzięła, zera już zrozumiałam

Jakub: Jak masz np. wielomian y = x⁴+7x²+x+5, to on ma współczynniki 1, 0, 7, 1, 5. Pierwszy współczynnik jest jeden ponieważ x⁴ = 1 * x⁴ = 1x⁴. Tej jedynki się nie pisze, ponieważ mnożenie przez 1 nic nie zmienia (np. 1 * 8 = 8), ale to 1 tam jest.

Mela: no ale czemu w takim razie jest tez zero i dlaczego prz kolejnzm x nie ma 0

Jakub: Może rozpiszę to dokładniej: y = x⁴ + 7x² + x + 5 = 1*x⁴ + 0*x³ + 7*x² + 1*x + 5 Teraz to jest zrozumiałe?

hanna: za skomplikowane jak dla mnie