Lubelska Matura Probna dla klas pierwszych Emily: Hejo wszystkim matematykom Drodzy forumowicze mam ogromna prosbe czy moze ktorys z Was posiada rozwiazania do zadan z tegorocznej lubelskiej matury probnej dla klas pierwszych na poziomie rozszerzonym Staralam sie wykonac te zadania jednak nie jestem pewna czy dobrze i chcialam sie sprawdzic. Bardzo prosze o pomoc

Jack: Jak je przepiszesz , coś poradzimy

Emily: ok, tylko dopiero wieczorem....dzieki za pomoc

Emily: 1.Liczba a jest średnia arytmetyczna trzech liczb, a liczba b jest srednia arytmetyczna ich kwadratow. Zapisz za pomoca a i b srednia arytmetyczna trzech par iloczynow tych liczb. 2.Niech m,n∊(nalezy) do rzeczywistych ujemnych wiec udowodnij , ze jezeli m−n=1 to prawdziwa jest nierownosc ¹_m−¹_n≥4 3.Udowodnij ze 3 srodkowe rozcinaja trojkat na szesc czesci o rownych polach 4.Trojkat ABC podzielony jest przez dwie proste rownolegle do boku AC na trzy figury o rownych polach. Oblicz na jakie czesci proste te podzielily bok AB=a 5.W prostokacie ABCD dany jest wierzcholek C (3:4) oraz AB=[4:3]. Znajdz rownania przekatnych wiedzac , ze wierzcholek A nalezy do prostej x−y=5

Emily: Bardzo prosze o pomoc, naprawde mi zalezy na sprawdzeniu tych rozwiazan

Godzio: Zaraz coś poradzimy

Godzio: Zad. 1

	x + y + z
a =
	3

	x2 + y2 + z2
b =
	3

xy + xz + yz		1   (2xy + 2yz + 2yz) 2
	=		=
3		3

1   [ (x + y + z)2 − (x2 + y2 + z2) ] 2		1   ( 9a2 − 3b ) 2
	=		=
3		3

	3a2 − b
=
	2

Godzio: Zad. 3 Trójkąty AFG i FBG mają równe pola bo ich podstawy i wysokości na nie poprowadzone są równej długości, analogicznie BDG i GDC oraz CEG i AEG,

	1
Trójkąty AFG i GDC mają równe pola ponieważ [ korzystam z P =		absinα ]
	2

	1
PAFG =		* 2x * y * sinα = xysinα
	2

	1
PGDC =		* 2y * x * sinα = xysinα
	2

[ korzystam z faktu że środkowe w trójkącie przecinają się w stosunku 2 : 1 ] Analogicznie pokazujemy, że FBG i CEG mają równe pola, i w ten sposób udowodniamy, że wszystkie pola są równe

TOmek: ciekawi mnie to 2. zadanie, cos nie chce mi wyjsc.

TOmek: 1. https://matematykaszkolna.pl/forum/97777.html 2. m,n∊ R⁻ m−n=1

1		1
	−		≥4 /*m zmieniamy znak bo "m" jest ujemne
m		n

	m
m−		≤4m /*n zmieniamy znak bo "n" jest ujemne
	n

mn−m≥4mn mn−3mn≥m −2m(m−1)−m≥0 −2m²+2m−m≥0

	1		1
−2m2+m≥0 "m" jest ujemne także wyrazenie		−		≥4 to jest spełnione dla m,n∊R−
	m		n

np: dla −1 −2*(−1)+(−1)≥0 2−1≥0 1≥0 Nie wiem czy przeszło by takie rozwiązanie, jak myslisz Godzio?

TOmek: to jest chamstwo, aby zrobić zadanie "1". Potrzebny jest wzór (a+b+c)² którego nie ma na karcie wzorów, to jest nie fair!

rumpek: TOmek: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac lub możesz skorzystać z (a+b)² = a² + 2ab + b² wstawiając za "a = a + b", a z "b = c"

ICSP: albo po prostu: (a+b+c)(a+b+c) = a² + ab + ac + ab + b² + bc + ac + bc + c² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac

Clay: Mnie natomiast intryguje 5. W sumie ciekawe zadanie zeby tylko jeszcze mi wyjsc chcialo zamiast jakis glupot.....

TOmek: zrobi ktos 2 zadanie?

Jack: Skoro AB=[4,3], to również DC=[4,3]. Stąd D=C−DC=(3,4)−[4,3]=(−1,1) Prosta prostopadła do k:x−y=5 przechodząca przez punkt C ma wzór: l:y=−x+7. Przecina ona prostą k w punkcie A(6,1) (układ równań z prostymi k i l). Punkt B=A+AB=(6,1)+[4,3]=(10,4). Teraz tylko proste wyznaczyć mają po dwa punkty...

Jack: Zad 2 m,n∊R₋ m−n=1 ⇒ n−m=−1

1		1
	−		≥4 / * mn
m		n

n−m≥4mn −1≥4mn sprzeczność (bo mn>0). Sprawdźmy, niech n=−2, m=−1 (m−n=−1+2=1): −1+¹₂≥4 sprzeczność. Polecenie chyba zostało błędnie przepisane...

rumpek: Rysujemy prostą x − y = 5 1^o. Prosta −y = −x + 5 / * (−1) y = x − 5 Przechodzi ona przez punkty (0,−5) i (5,0) Skoro punkt A leży na na proste y = x − 5 to określamy jakoś to. Rysunek jest przykładowy i o wiele pomniejszony niż w rzeczywistości. I teraz moje pytanie do dalszego rozwiązywania: Skoro A leży na prostej to musi być równa odległość A i B od osi x. No i jakby sobie oznaczyć punkt B(3, y) bo teoretycznie B musi być na tej samej linii co punkt C Co wy na to ?

Vax: 2) Znak nierówności powinien być skierowany w drugą stronę: m−n=1 ⇔ m=n+1

1		1
	−		≤ 4
m		n

n−m
	≤ 4
mn

−(m−n)
	≤ 4 /*mn
mn

−1 ≤ 4mn 4mn+1 ≥ 0 4n(n+1)+1 ≥ 0 4n²+4n+1 ≥ 0 (2n+1)² ≥ 0 Co dla dowolnej liczby rzeczywistej będzie spełnione. Pozdrawiam.

TOmek: no i pasuje : ]

rumpek: Ok, Jack był szybszy nawet wiem skąd to się wzięło chodź wektorów jeszcze nie miałem. Trzeba będzie koniecznie o nich poczytać

rumpek: Vax zrobiłem dokładnie tak samo jak ty

TOmek: to "2" zadanko ładnie spieprzyłem

Jack: co cóż, trzeba było udowodnić − to udowodniłeś

TOmek: jestem taki zajebisty, ze nawet zadanie które nie da sie udowodnic, potrafie udowodnić

rumpek: Ten rysunek do zadania 5 nieźle "zdupcyłem" bo za bardzo dosłownie wziąłem sobie zadania do serca . Ale mam tylko pytanie do jacka pewnie banalne i zapewne zapomniałem o jakieś własności prostokąta, ale zapytam: na jakiej podstawie wyznaczamy prostą prostopadłą do y = x − 5 przechodzącą przez punkt C?

Jack: Rozwiązanie Vaxa można było już wcześniej zakończyć... ... −1 ≤ 4mn ← mn>0 więc teza zachodzi. ...

Jack:

	1
1. prostopadła do prostej k:y=a1x+b1 ma współczynnik a2=−		. Stąd l:
	a1

	1
y=−		x+b2 (b2 pozostaje nieznane).
	a1

2. Mając dodatkowo punkt przez który ta prostopadła ma przechodzić wyznaczamy współczynnik b₂. Faktycznie proste, pewnie zapomniałeś

rumpek: O tym to pamiętam nieustannie Tylko zastanawia mnie to, skąd wiedziałeś że prosta na której leży punkt C jest prostopadła do prostej na której leży punkt A. Bo teoretycznie z rysunku to nie wynika

Jack: mamy prostokąt

Clay: rumpek....czyli wkoncu jak powinno wygladac rozw. zad. 5?/

rumpek: Całkiem możliwe.

rumpek: napisałem wyżej Patrz rozwiązanie Jacka

Godzio: Zad. 4 Tego chyba nikt jeszcze nie robił, P_ABC = 3P

P		x
	= (		)2
2P		x + y

√2		x
	=
2		x + y

	√2		√2
x(1 −		) =		y
	2		2

x(√2 − 1) = y

P		x
	= (		)2
3P		x + y + z

√3
	(x + x(√2 − 1) + z) = x
3

√3		√6		√3		√3
	x + x(		−		) +		z = x
3		3		3		3

√3		√6
	z = x(1 −		)
3		3

z = x(√3 − √2) x + x(√2 − 1) + x(√3 − √2) = a x(1 + √2 − 1 + √3 − √2) = a √3x = a

	√3
x =		a
	3

	√3
y =		a(√2 − 1)
	3

	√3
z =		a(√3 − √2)
	3

Przedstaw te długości w dowolnej postaci

rumpek: Się postarałem Ale do konkretów: to jest ten rysunek z rozwiązania zadania 5, zadanie zrobione przez Jacka. Wyszły punkty A(6,1); B(10,4); C(3,4); D(−1,1). Niebieska linia to prosta y = x − 5 (i na tej prostej leży punkt A − tak wynika z treści zadania). No i zostało policzone A w sposób: 1^o Znaleziono prostą prostopadłą do prostej y = x − 5 przechodzącą przez punkt C. Jest to y = −x + 7 2^o Punkt A obliczono: −x + 7 = x − 5 −2x = − 12 / (−2) x = 6 i y = 1 A(6,1) Na zadania.info znalazłem takie samo zadanie różniące się tylko danymi. Oto one: http://www.zadania.info/d494/3365079 I tam mam już punkt A obliczony wynosi on według zadania.info A(−4,−2). I teraz chcę obliczyć tym samym sposobem co Jack:

	1
Tam jest prosta: x − 2y = 0 ⇒ −2y = − x / : (−2) ⇒ y =		x
	2

I punkt C(−2,2).

	1
No to liczę prostą prostopadłą do prostej y =		x i przechodzącą przez punkt C(−2,2)
	2

a₁ * a₂ = −1

1
	* a2 = −1 / * 2
2

a₂ = −2 y = −2x + b 2 = −2 * (−2) + b 2 = 4 + b b = −2 y = −2x − 2 Rozwiązując układ równań mam:

1
	x = −2x − 2 / * 2
2

x = − 4x − 4 5x = − 4 / : 5

	4
x = −
	5

	4
y = −
	10

	4		4
A(−		, −		)
	5		10

No i doszliśmy do momentu gdzie coś nie działa w tym sposobie Co wy na to ?

Godzio: "Znaleziono prostą prostopadłą do prostej y = x − 5 przechodzącą przez punkt C" Nie rozumiem dalszej części, dlaczego ta prosta miałaby dać z prostą y = −x + 7 punkt A ?

rumpek: Mnie się pytasz? Sam tego nie rozumiem jack tak napisał w poście o godzinie 13:27

rumpek: według mnie to w ogóle nie tak jak jack pokazał tylko jak na zadania.info

Emily: Bardzo Wam dziekuje za pomoc , jestem ogromnie wdzieczna przyznam ze niektore rozwiazania zaskakuja mnie pomyslowoscia sama nie wpadlam na takie rozwiazanie

Haq: