Wykazywanie - zmora =/ Mastah: Witam, mam problem z paroma zadaniami na "wykaż" i nie dają mi spokoju. Z góry dziękuję za pomoc. 1. Znajdź wszystkie takie pary liczb naturalnych, że ich największy wspólny dzielnik wynosi 6, a ich najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa 210. 2. Liczba naturalna ma dokładnie 4 dzielnikim a ich suma jest równa 56. Znajdź tę liczbę. 3. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba n⁵ − n jest podzielna przez 30. 4. Wykaż, że jeśli p jest liczbą pierwszą większą od 3, to p² − 1 jest liczbą podzielną przez 24. 5. Wykaż, że jeżeli liczba n jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych, to liczba 5n również ma tę właśność.

Godzio: Zadanie 2 n = p₁ * p₂ lub n = p₃³ gdzie p₁,p₂,p₃ są liczbami pierwszymi (1) p₁ + p₂ + 1 + p₁p₂ = 56 ⇒ (p₁ + 1) + p₂(p₁ + 1) = (p₁ + 1)(p₂ + 1) = 56 lub (2) p₃ + p₃² + p₃³ + 1 = 56 56 = 2³ * 7 = 2² * 14 (1): (p₁ + 1)(p₂ + 1) = (13 + 1)(3 + 1) ⇒ n = 39, trzeba kombinować, spróbuj to dokończyć

Godzio: Zadanie 1 NWD(a,b) = 6 ⇒ a = 6n, b = 6k NWW(a,b) = 210 NWD(a,b) * NWW(a,b) = a * b 6 * 210 = a * b 6 * 6 * 35 = 6 * 6 * 5 * 7 = a * b ⇒ a = 6, b = 210, a = 6 * 5, b = 6 * 7, a = 6 * 7, b = 6 * 5, a = 6 * 7 * 5, b = 6

Godzio: Zadanie 3 n⁵ − n = n(n⁴ − 1) = n(n² − 1)(n² + 1) = n(n − 1)(n + 1)(n² − 4 + 5) = n(n − 1)(n + 1)(n² − 4) + 5n(n − 1)(n + 1) = (n − 2)(n − 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n − 1)(n + 1) I teraz napisz uzasadnienie

Mastah: No to podobnie robiłem ale nie rozumiem np zadania 1 zapisu : NWD(a,b) * NWW(a,b) = a * b itd. To jakaś reguła? I w zadaniu 3 rozłożyłem wielomian jednak nie wiem co napisać w uzasadnieniu, z tego co widzę jest to suma iloczynów kolejnych liczb. I trochę gubię się w przekształceniu n(n − 1)(n + 1)(n2 − 4) + 5n(n − 1)(n + 1)

Mastah: Prosiłbym o wytłumacznie i pomoc w zad 4,5

Mastah: up

Godzio: co do 1, jest taki wzór co do uzasadnienia (n − 2)(n − 1)n(n + 1)(n + 2) −− 5 kolejnych liczb całkowitych więc ich iloczyn jest podzielny przez 2,3,4,5, a więc przez 30 także 5n(n − 1)(n + 1) = 5 * iloczyn 3 kolejnych liczb naturalnych, one skolei są podzielne przez 6, a więc 5 * 6 = 30

Eta: zad. 5/ n= a²+b² , a, b€C 5n= 5a²+5b² = 4a² +b² +4ab +4b² +a² −4ab=(2a+b)² +(a−2b)² czyli też jest sumą kwadratów dwu liczb całkowitych zatem też ma tę własność co liczba "n" c.n.u.

Artur. : Etka...spojrzysz do tego zadania... https://matematykaszkolna.pl/forum/86435.html

Eta: Podałam rozwiązanie