Matura rozszerzona z "Gazetą Wyborczą" Ломоно́сов: Zadania z dzisiejszego arkusza maturalnego z matematyki, poziom rozszerzony, dołączonego do "Gazety Wyborczej" : 1. 4 pkt Rozwiąż równanie |x + 3| + |x + 1| = x + 18 2. 5 pkt Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x²−mx+m−1 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x₁, x₂ spełniające warunek: |x₁ − x₂| > 2x₁ * 2x₂ 3. 4 pkt Wykaż, że jeżeli, x + y = 4 to x³ + y³ ≥ 16 4. 4 pkt Ciąg (a,b,4) jest arytmetyczne, a ciąg (4,a,b) jest geometryczny. Oblicz a oraz b 5. 4 pkt

	π
Wykaż, że jeżeli x ≠		+ 2kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą, to
	2

	π		x		cosx
tg(		+		) =
	4		2		1 − sinx

6. 4 pkt Prosta przechodząca przez środek jednego z boków trójkąta równobocznego i tworząca z tym bokiem kąt ostry α dzieli ten trójkąt na czworokąt i trójkąt. Stosunek pola czworokąta do pola trójkąta jest równy 5 : 3. Oblicz tangens kąta α 7. 6 pkt W trapezie równoramiennym podstawy mają długości 9 i 12, a kąt między ramieniem trapezu i dłuższą podstawą ma miarę 60 stopni. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trapezie. 8. 5 pkt Bok kwadratu opisanego na okręgu o równaniu x² + y² = 5 zawiera się w prostej o równaniu x + 2y − 5 = 0. Oblicz współrzędne wierzchołków tego kwadratu. 9. 4 pkt W prostopadłościanie długości krawędzi o wspólnym wierzchołku są równe a, b, c, długość przekątnej prostopadłościanu jest równa d. Wykaż, że a + b + c ≤ d√3 10. 5 pkt Oblicz prawdopodobieństwo, że w pięciu rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry suma uzyskanych liczb oczek będzie równa 8.

Godzio: 2. x² − mx + m − 1 = 0 Δ > 0 ⇒ m² − 4m + 4 > 0 ⇒ (m − 2)² > 0 ⇒ m ≠ 2 |x₁ − x₂| > 2x₁x₂ √(x₁ − x₂)² = √(x₁ + x₂)² − 4x₁x₂ > 2x₁x₂ √m² − 4m + 4 > 2(m − 1) √(m − 2)² > 2(m − 1) |m − 2| > 2m − 2 dla m ∊ (−∞, 2) −m + 2 > 2m − 2 −3m > −4

	4		4
m <		⇒ m∊(−∞,		)
	3		3

dla m ∊ (2,∞) m − 2 > 2m − 2 0 > m ⇒ m ∊ ∅

	4
Odp: m∊(−∞,		)
	3

Godzio: Zadanie 3 x + y = 4 /³ ⇒ y = 4 − x x³ + 3x²y + 3xy² + y³ = 64 x³ + 3xy(x + y) + y³ = 64 x³ + 12xy + y³ = 64 x³ + y³ = 64 − 12xy x³ + y³ ≥ 16 64 − 12xy ≥ 16 −12xy ≥ −48 xy ≤ 4 x(4 − x) ≤ 4 4x − x² ≤ 4 x² − 4x + 4 ≥ 0 (x − 2)² ≥ 0

Godzio: Zadanie 4 a,b,4 −− arytmetyczny ⇒ 2b = a + 4

	a2
4,a,b −− geometryczny ⇒ a2 = 4b ⇒ b =
	4

	a2
2 *		= a + 4 /*2
	4

a² − 2a − 8 = 0 Δ = 4 + 32 = 36 √Δ = 6

	2 + 6
a1 =		= 4 ⇒ b = 4
	2

	2 − 6
a2 =		= −2 ⇒ b = 1
	2

1) 4,4,4 lub −2,1,4 2) 4,4,4 lub 4,−2,1

Godzio: Zadanie 5

	π		x		cosx
tg(		+		) =
	4		2		1 − sinx

	π		x		x   1 + tg   2
L = tg(		+		) =		=
	4		2		x   1 − tg   2

	sin(x/2)   1 +   cos(x/2)
=		=
	sin(x/2)   1 −   cos(x/2)

	cos(x/2) + sin(x/2)   cos(x/2)
=		=
	cos(x/2) − sin(x/2)   cos(x/2)

x   x   cos +sin   2   2		x		x
	*U{cos		−sin		}{cos
x   x   cos −sin   2   2		2		2

x		x
	−sin		}=
2		2

x   x   cos2 − sin2   2   2
	=
x   x   x   x   cos2 − 2sinx cos + sin2   2   2   2   2

cosx
	= P
1 − sinx

Arni: Zad 3. x³ + 3xy(x + y) + y3 = 64 czemu sie zrobilo potem 12?

Godzio: bo x + y = 4

Arni: a fakt. Zad5. 4 zapis od gory, Dlaczego tak zamieniles jedynke? Nie moge sie doszukac wlasnosci zadnej ktora by t ospelnila

Godzio: sprowadziłem do wspólnego mianownika

Arni: to fakt zad5. Drugi zapis , sam koniec, dlaczego tam powstal ulamek?

Arni: to fakt zad5. Drugi zapis , sam koniec, dlaczego tam powstal ulamek?

Godzio: Zadanie 7

	12 − 9		3
x =		=
	2		2

	h
tg60 =
	x

3√3
	= h
2

h² + 10,5² = d²

27		441
	+		= d2
4		4

d² = 117 d = √117 Z tw. cos: d² = 2R² − 2R²cos120

	1
117 = R2(2 − 2 * (−		) )
	2

117 = R² * 3 R² = 39 R = √39

Arni: i przy okazji zad 3; xy ≤ 4 x(4 − x) ≤ 4 skad to drugie?

Godzio:

	x		x
rozszerzyłem licznik i mianownik o cos		− sin
	2		2

Godzio: na górze napisałem y = 4 − x

Arni: chodzsi o 1+tg^x₂ / 1−tg^x₂

Arni: jeju tepy jestem w porownaniu z toba . zad 7 pierwszy zapis , jest na to jakas regula ze podzieliles przez dwa?>

Kejt: Godzio, zostaw coś dla innych

Arni: tak przy okazji , masz jakies zestawienie wszyskich wlasciwosci i twierdzen abym mogl sie na pamiec wyuczyc? moze wtedy latwiej mi to wszystkp pojdzie

Godzio: To jest tak tylko przy trapezie równoramiennym po drugiej stronie jest taki sam x więc:

	12 − 9
12 − 2x = 9 => 12 − 9 = 2x =>		= x
	2

Kejt w takim razie reszta dla Ciebie

Godzio: zestawiania własności nie mam bo raczej zapamiętuje z lekcji i później je utrwalam a trochę tego jest

Arni: d² = 2R² − 2R2cos120 a to skad?

Kejt: nie, nie, naprawdę nie trzeba zadowolę się 10.

Godzio: z twierdzenia cosinusów Pomiędzy R i R jest kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt 60^o więc ma miarę 120^o

Arni: a mozesz przytoczyc twierdzenie?

Święty: Twierdzenie cosinusów jest na stronie 543

Godzio: Zadanie 8 Z góry sorki za niedokładny rysunek Punkt przecięcia okręgu do prostej to środek boku: S_CB = (1,2) środek okręgu: S(0,0)

	1		1
|SCBS| =		a = r ⇒ √5 =		a ⇒ a = 2√5
	2		2

	1
|BS| =		a√2 i x + 2y − 5 = 0
	2

B(x,y) √x² + y² = √10 /² x² + y² = 10 i x = 5 − 2y 25 − 20y + 5y² = 10 5y² − 20y + 15 = 0 y² − 4y + 3 = 0 (y − 3)(y − 1) = 0 y = 3 v y = 1 x = −1 v x = 3 B(3,1), C(−1,3)

	1		5
prosta prostpadła do y = −		x +		przechodząca przez B ma równanie:
	2		2

y = 2x + b B(3,1) 1 = 6 + b b = −5 y = 2x − 5 Długość |AB| = 2√5 ⇒ (3 − x)² + (1 − y)² = 20 9 − 6x + x² + 4x² − 24x + 36 = 20 5x² − 30x + 25 = 0 x² − 6x + 5 = 0 (x − 5)(x − 1) = 0 x = 5 v x = 1 y = 5 v y = −3 A(1,−3) (drugi punkt jest po drugiej stronie ale on nas nie interesuje)

	1		5
Prosta równoległa do y = −		x +		przechodząca przez A:
	2		2

	1
y = −		x + b A(1,−3)
	2

	1
−3 = −		+ b
	2

b = −2,5

	1
y = −		x − 2,5
	2

prosta CD: y = 2x + b C(−1,3) 3 = −2 + b b = 5 y = 2x + 5 punkt przeciecia tych prostych to punkt D :

	1
2x + 5 = −		x − 2,5
	2

2,5x = −7,5 x = −3 y = −1 D(−3,−1) Odp: A(1,−3), B(3,1), C(−1,3), D(−3,−1) Mam nadzieję że bardzo na około nie zrobiłem

Arni: |x1 − x2| > 2x1x2 a to z czego wynika? Zad 2. Jkaby ktos mial jakas strone ze wszystkimi wlasciwosciami , wzorami i twierdzeniami to prosze zeby sie podzielil :<

Godzio: Zadanie 9 wiemy że: d = √c² + a² + b² d² = c² + a² + b² ⇒ d² = (a + b + c)² − 2ab − 2ac − 2bc d² + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)² a + b + c ≤ d√3 /² (a + b + c)² ≤ 3d² d² + 2ab + 2ac + 2bc ≤ 3d² ab + ac + bc ≤ d² ab + ac + bc ≤ c² + a² + b² /*2 a² − 2ab + b² + a² − 2ac + c² + b² − 2bc + c² ≥ 0 (a − b)² + (a − c)² + (b − c)² ≥ 0 c.n.d

Godzio: Arni to wynika z polecenia

Godzio: Dobra to teraz zostało dla chętnych banalne zadanie 1, do tego 6 i 10

Arni: Ano tez prawda. A zapis ponizej?

Godzio: A to trzeba już wpaść na pomysł jak to zapisać a jak wiadomo √a² = |a|

Godzio: Ломоно́сов, masz jakieś odpowiedzi żeby to posprawdzać?

Arni: ok. tez juz czaje. a zapis ponizej?

Kejt: 10 jest moje!

Arni: a te wzore Veta czy jak mu bylo

Godzio: zgadza sie

Arni: dla m ∊ (−∞, 2) i ten drugi przedzial skad sie wzial?

Ломоно́сов: Godzio, jedynie w zadaniu 8. , według szkicu rozwiązania w "Gazecie": A=(3,1) B=(−1,3) C=(−3,−1) D=(1,−3) Reszta jest dobrze zrobiona

Kejt: zadanie 10 możliwości zdarzenia sprzyjającego: 1. 1 1 1 1 4 2. 1 1 2 3 1 3. 1 1 2 2 2

	5!
P1=		=5
	4!*1!

	5!
P2=		=20
	3!*1!*1!

	5!
P3=		=10
	2!*3!

5+20+10=35 wszystkie możliwości: |Ω|=n^k=6⁵

	35
P=
	65

powinnam to jeszcze dalej rozpisywać?

Godzio: Z tego co widzę to rozwiązanie w 8 jest ok tylko ja mam inne oznaczenia punktów ale ich współrzędne są takie same jak u mnie

Godzio: Jak na moje oko jest ok , nigdy nie wiem kiedy używać tych permutacji bez powtórzeń

Kejt: ale się teraz podbudowałam

Godzio: Zadanie 6

	a2√3
P =		= 8x
	4

	a2√3
x =
	32

	3a2√3		1
P1 = 3x =		=		a*y*sin60
	32		2

3a√3		√3
	= y *
32		4

3a
	= y
8

	1		1		1		3		4a − 3a		1
a − y −		a =		a − y =		a −		a =		=		a
	2		2		2		8		8		8

z tw cos:

	1		1		a2
z2 =		a2 +		a2 − 2 *		* cos60
	4		64		32

po skróceniu itd.

	15a2		√15a
z2 =		⇒ z =
	64		8

Z tw. sinusuów:

y		z
	=
sinα		sin60

	y * sin60		3a   √3   * * 8 8   2		3√5
sinα =		=		=
	z		√15a		10

	55
cos2α = 1 − sin2α =
	100

	√55
cosα =
	10

	sinα		3√5		10		3		3√11
tgα =		=		*		=		=
	cosα		10		√55		√11		11

mejciej: jak rozwiązywałeś zadanie nr.6 to musiałeś się gdzieś porządnie rąbnąć, ja zrobiłem metodą 3 razy krótszą (mniejsza szansa na pomyłkę) i wyszło mi, że kąt alfa to pi/3. Przemyśl jeszcze raz swoje rozwiązanie. Wskazówka: narysuj wysokość trójkąta, której spodkiem jest punk, w którym nasza prosta przecina bok w połowie i względem wysokości odbij symetrycznie tą prostą. Następnie zastosuj wzór na pole trójkąta bok*bok*sinus kąta między nimi*1/2. Wychodzi piękne pi/3.

mejciej: P_AED=¹₂*x*^a₂*sin AED oraz: P_EDCB=P_AED+2*¹₂*x*a*^√3₂*sin(^pi₂−{AED}) oraz wiem, że: sin(^pi₂−{AED})=cos(AED); teraz to już tylko masz stosunek pól, niewiadome się skrócą, ^sin_cos=tg

mejciej: sorry, tgα=3√3, a nie √3

cvb: mam pytanie do zadania 7 czemu kąt srodkowy ma miare 120 skoro lezy na przeciwko kata 120 , bo kat przy podstawie ma 60 .

mejciej: generalnie to suma kątów przy ramieniu trapezu NA PŁASZCZYŹNIE jest równa π, w trójkącie NA PŁASZCZYŹNIE też jest równa π. Jeżeli gdzieś wychodzi inaczej, to znaczy, że jest błąd... Jeżeli będziesz się opierał na fundamentalnych twierdzeniach, to każde zadanie rozwalisz raz − dwa. Wiem, sypię banałami, ale najtrudniej zawsze jest zauważyć rzeczy oczywiste, one zazwyczaj prowadzą do najkrótszych rozwiązań

igor: mam pytanie do zadania 10 Kejt jak obliczyłaś poszczególne P1 P2 P3 z wariacji bez powtórzeń? czy mogła byś to jakos jasniej rozpisac?

Kejt: ło jeny.. teraz? to było tak dawno.. ja już nie pamiętam jak to robiłam mogę Ci to objaśnić jutro.. tylko musisz się przypomnieć.

;): |x₁ − x₂| Godziu nawet nie musiałeś liczyć tego bo gdy a = 1 to zauważamy że |x₁ − x₂| = √Δ taki mały niuanse Dopiero co wróciłem i za chwilkę również porobię te zadanka

;): Nie zauważyłem a przecież to jest stare sam to nawet robiłem hehe

Aska: nie wie ktoś może, ile jest średnio zadań na maturze rozszerzonej?

Godzio: 11

;): 11 jest przeważnie chyba i 10

Basia: Godziu W zadaniu 8 posłużyłabym się wektorami Po wyznaczeniu punktów B i C (tak jak zrobiłeś) masz BS^→=SD^→ i CS^→SA^→ A i D dostaniesz błyskawicznie

Basia: Inny dowód zadania 3 x+y = 4 (x+y)³ = 4³ x³+3x²y+3xy² + y³ = 64 x³+y³ = 64 − 3x²y−3xy² x³+y³ = 64 − 3xy(x+y) x³+y³ = 64 − 12xy x³+y³ = 64−12x(4−x) x³+y³ = 12x²−48x+64 x³+y³ = 4(3x²−12x+16) y = 3x²−12x+16 Δ=(−12)²−4*3*16 = 12*12−12*16 = 12(12−16) = −4*12 = −48

	−Δ		48
q =		=		= 4
	4a		12

stąd 3x²−12x+16≥4 stąd x³+y³ ≥ 4*4=16

Basia: niefortunnie użyta zmienna nie y = 3x²−12x+16 tylko f(x) = 3x²−12x+16

Basia: Godziu w zadaniu 4 masz wszystko dobrze oprócz odpowiedzi a=4 i b=4 ciąg arytm. 4,4,4 i ciąg geometr. 4,4,4 lub a= −2 i b=1 ciąg.arytm. −2,1,4 i ciąg geom. 4, −2, 1

Miłosz: Mam pytanie czy w zad 10 nie powinno być ^5!_3!*1!*2!

Miłosz: Chodzi mi o to P2 obliczane przez kejt gdyż p1 i p3 mi pasuje a to nie bardzo

Sasza: czy ktoś obliczy zadanie 1?

Igor: Basia mam pytanie, czy ciąg stały jest ciągiem geometrycznym? Bo mnie uczono w szkole żeby tą odpowiedź odrzucać. Jak to jest naprawdę?