trygonometria -> przekształcanie funkcji TOmek: nie rozumiem paru rzeczy: 1) https://matematykaszkolna.pl/strona/1536.html miejsce zerowe

	1
cos		x=0 / : cos
	2

1
	x=kπ /*2
2

x=2kπ a tam jest inaczej −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 2)https://matematykaszkolna.pl/strona/1525.html i https://matematykaszkolna.pl/strona/1524.html chodzi o miejsca zerowe

	π
x0=		+2kπ
	2

i

	π
x0= −		+2kπ
	2

skąd mam wiedziec kiedy jest 2kπ a kiedy samo kπ bo np: tu: https://matematykaszkolna.pl/strona/1526.html jest

	π
x0=		+kπ
	2

Edek: 1) najpierw należy się zastanowić dla jakiego argumentu (czyli x) funkcja cosinus przyjmuje wartości zerowe, czyli chodzi właśnie o miejsce zerowe: napisałeś, że cosx=0 ⇒ x=kπ, gdzie k∊Z ale spójrz teraz na wykres funkcji cosinus i po podstawiaj odpowiednio za k=...,−2,−1,0,1,2,... i zauważysz, że dla tych argumentów cos przyjmuje albo −1 albo 1 w zależności, ale nigdy 0 !

	π
Po prostu dla x=		+kπ, gdzie oczywiście k należy do liczb całkowitych
	2

teraz aby obliczyć miejsce zerowe dla dowolnego szukanego x wystarczy podstawić to do tego równanka: cosx=0

	π
x=		+kπ
	2

dla nas:

	x
cos		=0
	2

x		π
	==		+kπ /*2
2		2

x=π+2kπ

Edek: 2) hmm.... to zacznijmy to tak: zależy to w praktycznie większości przypadkach od okresu funkcji: zarówno sinx jak i cosx mają okres podstawowy 2kπ natomiast ctgx oraz tgx mają kπ Jednakże czasami właśnie te okresy się mogą rozszerzać nam lub zwężać jeśli kombinujemy coś z naszymi funkcjami. Tak jak np. w przypadku pierwszym: a) mamy funkcję podstawową sinx=0 i mamy wyznaczyć miejsca zerowe po przekształceniach funkcji f(x)=sinx+1 pierwszy krok to porównanie do zera sinx+1=0 sinx=−1 zastanówmy się teraz dla jakiego argumentu funkcja sinx przyjmuję wartość −1 (patrzymy na wykres)

	−π		3π
otrzymujemy, że dla		+2kπ lub oczywiście mogło by i być dla		+2kπ, ale jednak
	2		2

przyjęło się podawanie argumentów podst. z przedziału <−π,π> podstawiamy to do naszego równania i otrzymujemy sinx=−1

	−π
x=		+2kπ , k∊Z
	2

b) mamy g(x)=−sinx+1 korzystamy także, z wykresu podst. funkcji sinx −sinx+1=0 sinx=1

	π
znowu patrzę na wykres i otrzymuję		+2kπ, czyli
	2

	π
x=		+2kπ , k∊Z
	2

c) a to jest ten ostatni przypadek i zobaczysz dlaczego nagle zmienia się z 2kπ na kπ : h(x)=2cosx korzystamy teraz z wykresu podst. funkcji cosx 2cosx=0 cosx=0 czyli patrzymy znowu na wykres: cosx przyjmuje 0 dla :

	−3π		−π		π		3π
x= ..,		,		,		,		,..
	2		2		2		2

czyli

	π
x=		+ ... ?
	2

no właśnie co ile nam się to miejsce zerowe pojawia co kπ, czy co 2kπ ? Wystarczy podłożyć i sprawdzić: + 2kπ

	π		−7π
k=−2 →		− 4π =
	2		2

	π		−3π
k=−1 →		− 2π =
	2		2

	π		π
k=0 →		+ 0 =
	2		2

	π		5π
k=1 →		+ 2π =
	2		2

	π		9π
k=2 →		+ 4π =
	2		2

	−π		3π
coś tu nie pasuję, bo tracimy np.,		czy
	2		2

+ kπ

	π		−3π
k=−2 →		− 2π =
	2		2

	π		−π
k=−1 →		− π =
	2		2

	π		π
k=0 →		+ 0 =
	2		2

	π		3π
k=1 →		+ π =
	2		2

	π		5π
k=2 →		+ 2π =
	2		2

no i wszystko pasuje dla kπ a więc musi być:

	π
x=		+ kπ
	2

Pamiętaj, zawsze sobie pomagaj w takich zadaniach wykresem, po prostu trzeba to wyćwiczyć i będziesz śmigał aż miło

TOmek: długo się zastanawiałem na tym co napisałem, oczywiście wielkie dzieki w Twoją stronę. Juz rozumiem co to "k" jak czytac funkcja trygonometryczną. Zrobię teraz kilka zadań i mam nadzieję ,ze zrozumiem wszystko na 100% pieprzona trygonometria ⇔ nie nawidze!

Godzio: proponuje przerobić sobie podstawowe równania trygonometryczne, potem wzory redukcyjne, i przejść do trudniejszych równań w stylu

	π		π
sin(		+ x) = cos(		− x)
	3		4

jak czegoś nie będziesz wiedział to pisz, bo akurat ja trygonometrie uwielbiam

TOmek: "po prostu trzeba to wyćwiczyć i będziesz śmigał aż miło " teraz już nie mam najmniejszego problemu z okresleniem czy 2kπ czy kπ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− mam takie pozostałośći kartek co kiedys mój brat chodził na korki i znalazłem fajne 2 "wzorki" są one fajne chyba niezbędne to takich oto zadań np: rozwiąż równanie 4cos²x=4sinx+1 w przedziałe <0,2π> o to one dla sinx=a gdzie a∊ <−1,1> x₁=x₀+2kπ x₂=(π−x₀)+2kπ gdzie x₀ −> najmniejsze ∡ dodatni dla którego dana funkcja osiąga wartość a dla cosx=a a∊<−1,1> x₁=x₀+2πk x₂= − x₀+2πk mógłby mi ktoś o tych "wzorach" coś więcej powiedzieć ? −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− tg=a , ctgx=a a∊R x₁=x₀+πk

Godzio: sinx = a a∊ <−1,1> x = x_o + 2kπ v x = π − x_o + 2kπ to jest sposób na rozwiązanie prostego równania trygonometrycznego

	1		π
a to wartość odpowiadająca xo tzn jesli sinx =		to xo =		czyli 30o
	2		6

czyli rozwiązaniem równania:

	1
sinx =		to:
	2

	π		5π
x =		+ 2kπ v x =		+ 2kπ
	6		6

b.: latwiej to wyjasnic dla funkcji cos mamy znalezc wszystkie rozwiazania rownania (*) cos x = a, gdzie a ∊<−1,1> znalezlismy w jakis sposob (przez odgadniecie) jedno rozwiazanie: cos x₀ = a jak dostac pozostale? 1. poniewaz cos jest funkcja parzysta, wiec −x₀ tez jest rozwiazaniem (*) 2. poniewaz cos jest funkcja 2π−okresowa, wiec x₀ + 2kπ oraz −x₀+2kπ (k calkowite) tez beda rozwiazaniami a ze wiecej rozwiazan nie ma, to wynika np. z tego, ze na odcinku <0,π) cos jest malejacy, a na <π, 2π) rosnacy, wiec rownanie (*) ma w przedziale <0,2π) co najwyzej 2 rozwiazania... wzor dla funkcji sin wynika juz ze wzoru dla cos, bo sin(x) = cos(x−π/2)

Godzio: tak samo jest z resztą, natomiast jeśli kąt jest ujemny to wszędzie jest tak samo jak było tyle że w cosinusie zmienia się to tak: cosx = a a < 0 x = π − x₀ + 2kπ v x = −(π − x₀) + 2kπ gdzie x_o odpowiada wartości a dla a > 0 np.

	1
cosx = −
	2

	π		π
x = π −		+ 2kπ v x = − π +		+ 2kπ
	3		3

	2		2
x =		π v x = −		π + 2kπ − widać to dobrze na wykresie
	3		3

TOmek: nie mylcie mi w głowie, prosze ja tylko do matury roz.

Godzio: no to to jest matura rozszerzona

think: TOmek trygonometria jest w porządku na prawdę, może za dużo na raz Ci tu wrzucili, ale na spokojnie i ratami jak to przeczytasz na pewno dowiesz się kilku ciekawych rzeczy Pozdrawiam Lucyna

czesio: 189x−77y=686

czesio: rozwiazania calkowite rownania 189x−77y=686