2 zadania z wielomianów TOmek: Wkraczam już w trudniejsze zadania z wielomianów i takie 2 zadanka 1.Wielomian W(x) przy dzieleniu przez dwumian D(x)=x+3 daje resztę 6, a przy dzieleniu przez dwumian D(x)=x−2 daje resztę równą 1. Znajdz resztę z dzielenia wzielomianu w(x) przez wielomian Q(x)=(x+3)*(x−2) 2.Wielomian W(x)=ax³+bx+cx+d, gdzie a rózne od 0, ma dwa miejsca zerowe x₁=−2,x₂=3, przy czym perwiastek x₂ jest dwukrotny. Dla argumentu 1 wartość wielomianu jest równa −12 a)wyznacz wartość współczynników a,b,c,d b)dla wyznaczonych współczynników rozwiąż nierówność W(x)>(bądź równe)0

think: ad 2. znamy wszystkie pierwiastki a wielomian postaci: ax³ + bx² + cx + d = {można rozpisać jako}= a(x + 2)²(x − 3) i teraz informacja o tym, że W(1) = −12 W(1) = a*(1 + 2)²(1 − 3) = −12 a*9*(−2) = −12

	2
a =
	3

	2
teraz wymnóż		(x + 2)2(x − 3) i przyrównaj wyrazy przy odpowiednich potęgach, chyba już
	3

wiesz kiedy dwa wielomiany są równe. jak obliczysz pozostałe współczynniki to spróbuj rozwiązać W(x) > 0 ja to zrobię dla mojej sprytnej postaci:

2
	(x + 2)2(x − 3) > 0 ⇒ (x + 2)2(x − 3) > 0
3

(x+2)² jest nieujemne, a interesują nas rozwiązania dodatnie bądź równe 0, to znaczy, że x − 3 też ma być dodatnie lub równe 0. (x+2)² ≥ 0 ⇒ x∊R x − 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3 Czyli rozwiązaniem jest x∊ [3,∞) u {−2} ta −2 bierze się stąd, że dla −2 (x+2)² jest 0.

think: wiem, że miała być nierówność łagodna, po prostu w trakcie zadania zauważyłam, że słownie w treści było dodane równe 0 i stąd moje początkowe rozwiązywanie dla ostro większych od 0.

bingo: 1/ W(x)= Q(x)*(x+3)(x−2) + R(x) reszta jest stopnia co najwyżej pierwszego zatem R(x) = ax+b W(−3)= Q(x)*(−3+3)(−3+2)+ a*(−3)+b= Q(x)*0 −3a+b i W(2)= P(x)*( 2+3)( 2−2) + a*2+b= P(x)*0+2a+b zatem: W( −3) = 6 => −3a+b=6 i W( 2)= 1 => 2a+b= 1 rozwiąż ten układ równań i wyznacz a i b oraz R(x) = ax+b

think: bingo! albo jak kto woli Eureka właśnie tak to miało być

bingo: Hehe....... a gdzie "zniknął" Twój poprzedni wpis? Przy okazji pozdrów ode mnie Lucynę

think: ma się po coś te przywileje a tak poważnie to kiepsko się czuję nie dość, że czeka nas seria wykańczających upałów, których nie znoszę to jeszcze mój kot gdzieś przepadł

bingo: Znalazłam ........ czy to ten?

bingo: Nie ...... wróci, pewnie poszedł na "dziewczynki"

think: obawiam się, że nie, mój ma tylko czarne podeszwy tak to, jak to ujął syn sąsiadki, to nie kot to tygrys, zwykły tradycyjne pręgowany szarak. Znaczy zwykły z umaszczenia, bo tak to kochane kocisko.

think: on może co najwyżej pilnować haremu...

TOmek: 3 pytania: 1)czemu takie założenie "reszta jest stopnia co najwyżej pierwszego " 2) ja jak na początku robiłem te zadanie zapisałem to tak: W(x)=a*(1 + 2)²(1 − 3)−12 Może mi ktoś wytlumaczyć dlaczego jest tak: "W(x)=a*(1 + 2)²(1 − 3) = −12" 3)ax³ + bx² + cx + d = {można rozpisać jako}= a(x + 2)²(x − 3) a gdyby wielomian był postaci x³ + bx² + cx + d= {można rozpisać jako}= (x + 2)²(x − 3) tak?

bingo: 1/ Jeżeli dzielisz wielomian przez ( x−3)(x+2) , czyli przez wielomian stopnia drugiego to możesz otrzymać resztę 0 lub resztę będącą st. 0 lub resztę będącą st. 1 zatem co najwyżej stopnia pierwszego

Lucyna: Tomek co do 3 to tak mogłeś się zetknąć z tym już przy funkcji kwadratowej pamiętasz postać iloczynową funkcji kwadratowej? Tak się składa, że funkcja kwadratowa to też wielomian drugiego stopnia. co do reszty z dzielenie wielomianów. Jeżeli dzielisz jakiś wielomian przez inny to dzielisz póki potęga wielomianu dzielonego jest większy lub równa stopniowi wielomianu przez który dzielisz np: masz podzielić (x³ + 2x − 1) : x² reszta z tego dzielenia będzie wielomianem stopnia pierwszego lub wyrazem wolnym, dlatego tam pisze, że będzie conajwyżej wielomianem pierwszego stopnia. Gdybyś dzielił prze wielomian 3−go stopnia to reszta z takiego dzielenia będzie co najwyżej stopnia 2 itd.

Lucyna: dla argumentu czyli dla x = 1 wartość wielomianu czyli W(x) = −12 można to było inaczej zapisać jako W(1) + 12 =0

TOmek: A już trochę rozumiem, ten zapis mnie zmylił bo jakby w te miejsce W(x) wpisaliscie a*(1 + 2)2(1 − 3) czyli a*(1 + 2)2(1 − 3)=−12 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− "Gdybyś dzielił prze wielomian 3−go stopnia to reszta z takiego dzielenia będzie co najwyżej stopnia 2 itd." czyli wtedy musiał bym odwołując sie do zadania 1 wpisać zamiast R(x) = ax+b −>R(x)=ax²+bx+c ta?

TOmek: dzielić wielomiany juz potrafie tylko po prostu czasami nie wiem w którym miejscu jest już reszta ...[w schemacie Hornera wiem kiedy jest reszta, tylko Hornera można uzywac tylko jak x−k] gdzie k e R jak byście mieli pare przykładow wielomianów z resztą do podzielenia bo te wszystkie z "matematka pisz" zrobiłem

bingo: 125 :4 = 31 + 1 reszta 12 −−−− = 5 4 −−−− 1 −− już nie jest podzielna przez 4 , czyli jest resztą podobnie: ( x³+2x − 4) : ( x²+1)= x + R= x −4 −x³ −x −−−−−−−− = x − 4 −−− reszta st, 1 , więc nie dzieli się przez wielomian st. 2

TOmek: "co do reszty z dzielenie wielomianów. Jeżeli dzielisz jakiś wielomian przez inny to dzielisz póki potęga wielomianu dzielonego jest większa lub równa stopniowi wielomianu przez który dzielisz np: " (x³ + 2x − 1) : x²=x −x³ + 2x −−−−−−−−−− + 4x−1 dzielisz póki potęga wielomianu dzielonego (w tym przypadku) + 4x−1 jest większa lub równa stopniowi wielomianu przez który dzielisz x² Czyli wg tego + 4x−1 jest resztą bo: + 4x−1 jest − wielomianem 1 stopnia a x² jest wielomianem 2 stopnia takze więc wg powyzej reguły + 4x−1 < x² bo wielomian 1 stopnia < wielomian 2 stopnia (przez ten dzielę) wielomian który dziele jest większy lub równy stopniowi wielomianu przez który dzielisz (bym mógł dalej dzielić gdyby wielomian 2=wielomian 2(wielomian przez który dzielę) lub wielomian>wielomian 2 stopnia(wielomian przez który dzielę) Chciałem sobie to tak napisać czarno na białym, sprawdcie czy dobrze pozdrawiam

TOmek: Jeszcze takie pytanie "Gdybyś dzielił prze wielomian 3−go stopnia to reszta z takiego dzielenia będzie co najwyżej stopnia 2 itd." czyli wtedy musiał bym odwołując sie do zadania 1 wpisać zamiast R(x) = ax+b −>R(x)=ax²+bx+c ta?

bzzz: wszystko się zgadza Pozdrawiam Lucyna.

kamila: dzielenie wielomianów jest w szkole średniej czy dopiero na studiach

TOmek: szkoła srednia −> zakres rozszerzony z resztą masz wszystko brązowo − zielono − czarnowo na stronie xD

TOmek: Zrobiłem sobie te 2 zadanka jeszcze raz i tylko jednego nie rozumiem dlaczego: "ax3 + bx2 + cx + d = {można rozpisać jako}= a(x + 2)2(x − 3)" dlaczego to jest tak zapisane, czy wielomian musi mieć zawsze "a" (współczynnik kierunkowy)?/ Dlaczego to by nie miało zostać zapisane b(x + 2)2(x − 3) ?

b.: po wymnożeniu (x+2)²(x−3) (wymnóż sobie!) dostaniemy wielomian postaci x³ + (składniki niższych stopni) żeby mieć więc wielomian ze współczynnikiem a przy x³, trzeba pomnożyć go przez a (nie przez b)

TOmek: (x²+4x+4)*(x−3)=x³−3x²+4x²−12x+4x−12=x³−x²−8x−12 nie rozumiem nadal przecież jest jakby współczynnik 1x³−1x²−8x−12 ax³ + bx² + cx + d :(

think: no tak, ale −3x² + 4x² = x² a nie −x²

b.: no właśnie, jest współczynnik 1, a miał być (po lewej stronie jest) współczynnik a, dlatego trzeba POMNOŻYĆ (x²+4x+4)*(x−3) PRZEZ a, żeby współczynnik przy x³ stał się równy a jeśli dalej niejasne, może strona 1397 coś pomoże, są tam konkretne przykłady albo może inaczej, każdy wielomian stopnia 3, który ma podwójny pierwiastek −2 oraz pojedynczy 3 jest postaci W(x) = a(x+2)²(x−3) obliczajac W(1) i porownujac z −12 mozna dostac wartosc a, i koniec (postac ax³+bx²+cx+d w 2. poście od góry nie była niezbędna do rozwiązania, raczej dla wyjaśnienia − chociaż akurat zaciemniła sprawę)

think: TOmek tego nie widać, bo jak rozkładasz wielomian na czynniki to może być tak: (2x−1)(5x + 6) i będzie git więcej byś nie wyciągnął. Ale możesz zrobić takie ćwiczenie ponieważ to jest funkcja kwadratowa postaci: f(x) = 10x² + 7x − 6 policz z Δ pierwiastki i przekonasz się, że dostaniesz coś takiego:

	1		1
(x −		)(x + 1		) tylko, że jak to wymnożysz to nie wyjdzie Ci dokładnie to samo co
	2		5

f(x) musisz to pomnożyć jeszcze przez 10 i dopiero się będzie zgadzać. A 10 o dziwo tak się składa, że to jest a z naszej funkcji kwadratowej i tak jest zawsze.

TOmek: Juz czaje tylko oczywiscie musze wszystko wiedzieć na pewno, więc: te "a" jest we wszystkich typach wielomianów czy tylko ax+b, ax²+bx+c, ax³ + bx² + cx + d Jutro jeszcze raz rano usiąde i nad tym i pomysle Pozdrawiam

think: zawsze wypłynie przed nawias współczynnik, który stoi przy najwyższej potędze. Zastanowię się nad jakimś sensowniejszym uzasadnieniem tego, ale niczego nie mogę obiecać. pozdrawiam Lucyna

TOmek: a może byc takie wytlumaczenie ,ze kazdy wielomian jest funkcja więc przy najwyzszej potędze musi miec "a"−wpółczynnik kierunkowy ?xD

Basia: współczynnik kierunkowy jest pojęciem związanym z prostą, będącą wykresem funkcji liniowej nie można tego pojęcia wiązać z wielomianami

Basia: W(x)=a_nxⁿ+a_n−1xⁿ⁻¹+....+a₁x+a₀ i a_n≠0 a_nxⁿ+a_n−1xⁿ⁻¹+....+a₁x+a₀=0 ⇔

	an−1		a1		a0
an(xn+		xn−1+.........+		x+		)=0 ⇔
	an		an		an

	an−1		a1		a0
xn+		xn−1+.........+		x+		=0
	an		an		an

stąd pierwiastki wielomianów W(x) i

	an−1		a1		a0
P(x)=xn+		xn−1+.........+		x+
	an		an		an

są takie same stąd W(x)=a_n*[(x−x₁)(x−x₂)*..............*(x−x_k)*Q(x)] o to chyba chodzi think−Lucynie

TOmek: niepotrzebnie napisałem "kierunkowy" Najlepiej obrazuje mi to ten przykład −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− "f(x) = 10x² + 7x − 6 policz z Δ pierwiastki i przekonasz się, że dostaniesz coś takiego:

	1		1
(x−		)(x+1		)
	2		5

tylko, że jak to wymnożysz to nie wyjdzie Ci dokładnie to samo co f(x) musisz to pomnożyć jeszcze przez 10 i dopiero się będzie zgadzać. A 10 o dziwo tak się składa, że to jest a z naszej funkcji kwadratowej i tak jest zawsze" −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Tak na zdrowy rozum sobie to wytłumacze każdy wielomian który jest co najmniej 2 stopnia można przedstawić w postaci iloczynowej także wnioskująć każdy wielomian co najmniej 2 stopnia będę musiał pomnożyc razy te "a" prawda?

Basia: patrz post wyżej; zgada się na przykład: W(x)=2x⁴−4x²+2 = 2(x⁴−2x²+1) = 2(x²−1)² albo P(x) = 3x³−x²−x−1 = 3(x−1)(x²+²₃x+¹₃) itd.

Basia: ax+b = a(x+^b_a) ax²+bx+c = a(x−x₁)(x−x₂) jeżeli oczywiście x₁ i x₂ istnieją itd.

TOmek: P(x) = x³−x2−x−1 ale jeśli jest taka postać to wtedy te "a" = 1 ale w zadaniu które podałem w 1 poście widać czarno na białym ,ze Wielomian W(x)=ax3+bx+cx+d, gdzie a rózne od 0, ma dwa miejsc bla bla bla czyli rozumiem dziękuje bardzo.

Basia: oczywiście; właśnie tak

bzzz: no no no, doczekałam się, że moje posty są cytowane i to bynajmniej nie w celu wytknięcia błędu cóż za wzruszająca chwila Lucyna

TOmek: hehe, dlaczego Wy macie po 5 nicków? Dzisiaj sobie zrobie te wszystkie zadanka jeszcze raz i pojutrze zacznę ciągi(podobno najgorsze co moze byc)

Basia: Ależ skąd ! Znam znacznie bardziej paskudne rzeczy np. geometrię różniczkową, statystykę,.... No ale to już nie szkoła średnia. Ciągi wcale nie są straszne, przeciwnie bardzo sympatyczne.

bzzz: Tomek nie po 5 ale zaledwie 3 ten mam w pracy, w domu miałam Lucyna ale, że ciągle robiłam błędy zmieniłam przeglądarkę z internet na firefoxa i nick na think, żeby mi przypominał, że co nagle to po diable i że zanim coś komuś napiszę powinnam się zastanowić czy to jest dobrze. Zawsze byłam w gorącej wodzie kąpana i powinnam umieć panować nad tą moją cechą charakteru. Co do tego co mówią inni... nie to piękne co się wszystkim podoba, lecz to co Tobie zapadnie w serce osobiście ciągi baaardzo lubię, dla mnie to materiał równie przyjemny jak wielomiany czy funkcja kwadratowa. Jednak nie sugeruj się moją czy innych opinią, podejdź do zagadnienia bez lęku i wyrób sobie własną Pozdrawiam i biorę się do pracy Lucyna

TOmek: jeszcze muszą ogarnąc funkcje wymierną(zapomniał bym o niej) − ale podobno to szybko pójdzie Ja się bardzo cieszę ,ze są ludzie tacy jak Wy (Basia, Lucyna, bingo i wiele wiele innych)którzy z przyjemnościa pomagają, normalnie musiał bym wydawać pełno kasy na dodatkowe zajęcia z matmy a na to mnie nie stać. Niestety sprawdziły sie słowa mojej mamy "bez nauki nie ma przyszłośći" ale jak na razie z przyjemnościa podchodne do niej. Nie myslcie ,ze ktos mnie zmusza ja po prostu mam plan i chce go zrealizowac pozdrawiam

Basia: Tak trzymaj !

busik: Oczywiście rozwiązanie przedstawione w drugim poście dotyczące zadania drugiego jest błędne. Błąd pojawił się już przy zamianie postaci ogólnej funkcji na postać iloczynową.