Proszę w miarę możliwości krok po kroku . Z góry dziękuj . Majka: Potrzebuje pomocy z trzema zadaniami .

	7n2−4n
1. Zbadać monotoniczność i ograniczoność ciągu w wyrazie ogólnym an=
	3n2−n

2.Wyznaczyć macierz X z równania . [ −5 5] x = [3 −4] [−8 7] [−2 1] 3.Zastepują przyrost funkcji jej rózniczką oblicz w przybliżeniu ctg40stopni i p91{1024,03} ( tutaj jest pierwiastek 10 stopnia .Dałam 9 ponieważ 10 nie zaskakuje:( )

Jack: 1. a_n+1−a_n − policz zbadaj granicę tego ciągu przy n→∞. Jesli dla n≥1 ciąg wyjdzie monotoniczny i granica skończona, to ciąg będzie ograniczony 2. ax=b x=a⁻¹b

Majka: Dzięki ale ja tego w gole nie rozumiem . Mógł byś mi rozpisać aby te 1 . Z góry dzięki

Basia: zapisz a_n+1 wstawiając n+1 w miejsce n wykonaj działania i podaj wynik

Majka:

	7(n+1)2−4(n+1)
an+1 =		=
	3(n+1)2− (n+1)

	7n2+7−4n−4
=
	3n2+4−n+1

nie mam pojęcia co dalej zrobić . Jak byłby ktoś tak litościwy i po prost rozpisał całe zadanie , Opisują je krok po kroku .(

Majka: Postarajcie się mnie zrozumieć matematyki nie miałam jakieś 40 lat i nie jest tak łatwo sobie wszystko przypomnieć .

Basia: no to tym bardziej próbuj przy naszej pomocy pierwszy ułamek zapisałaś dobrze drugi już nie, bo (n+1)² = n²+2n+1 czyli to będzie

	7(n2+2n+1)−4n−4
an+1 =		=
	3(n2+2n+1)−n−1

7n2+14n+7−4n−4
	=
3n2+6n+3−n−1

7n2+10n+3
3n2+5n+2

ale można w prostszy sposób

	7n2−4n
an =		=
	3n2−n

n(7n−4)
	=
n(3n−1)

7n−4
3n−1

(bo n się skraca) wtedy

	7(n+1)−4
an+1 =		=
	3(n+1)−1

7n+7−4
	=
3n+3−1

7n+3
3n+2

teraz trzeba policzyć a_n+1−a_n =

7n+3		7n−4
	−		=
3n+2		3n−1

(7n+3)(3n−1)−(7n−4)(3n+2)
(3n+2)(3n−1)

spróbuj to policzyć do końca licz tylko licznik, nie wykonuj żadnych działań w mianowniku, bo nie potrzeba a nie potrzeba, bo 3n+2 i 3n−1 są dodatnie dla każdego n∊N czyli (3n+2)(3n−1)>0 dla każdego n∊N i dlatego będzie nas interesował tylko znak licznika

Majka:

(7n+3)(3n−1)−(−7n−4)(3n+2)
	=
(3n+2)(3n−1)

21n2−7n+9n−3−21n2−14n+12n−8
	=
(3n+2)(3n−1)

n2 i n się redukuje do zero to skreślam i zostaje

−3−8
	=
(3n+2)(3n−1)

−11
	=
(3n+2)(3n−1)

Dobrze ? i co dalej

Jack: Jesli rachunki są dobre, to określasz znak dla tego ułamka. Zauważ, ze licznik jest zawsze ujemny, a mianownik zawsze dodatni. To oznacza, że całość jest zawsze, tzn. dla każdego n∊N, ujemna, czyli ciąg jest malejący.

Majka: a tak ogólnie to na pewno można liczyć to dwoma sposobami ? Jak by ktoś mi napisać odpowiedź do tego zadania

Lucyna: tak ogólnie to są dwie metody liczenia monotoniczności ciągu, pierwsza to właśnie: a_n+1−a_n > 0 ciąg jest rosnący a_n+1−a_n = 0 ciąg jest stały a_n+1−a_n < 0 ciąg jest malejący lub

an+1
	> 1 ciąg rosnący
an

an+1
	= 1 ciąg stały
an

an+1
	< 1 ciąg malejący
an

odnośnie liczonego przyładu, to powinno być −3+8 i ostatecznie ciąg jest rosnący. Pomyliłaś się w znakach przy wymnażaniu, na szczęście tylko tam

Majka: To jest rozumiem monotonność ciągu jak policzyć jego ograniczenie ?

Lucyna: Ujmując to po ludzku. Jeżeli mamy ciąg liczb, to możemy określić czy taki ciąg jest rosnący, właśnie tak że od wyrazu n+1(lub po prostu wyrazu następnego) odejmiemy wyraz n−ty(czyli wyraz poprzedni), jeśli ciąg jest rosnący to oznacza że następnym wyraz jest większy od poprzedniego czyli z odejmowania większa − mniejsza, powinno nam wyjść coś dodatniego. Jeżeli ciąg jest stały, znaczy się wszystkie jego elementy są takie same, to jak odejmiemy dwie takie same liczby od siebie to otrzymamy 0, z kolei jeśli ciąg jest malejący, to jak od mniejszego odejmiemy większy otrzymamy coś ujemnego. Z dzieleniem jest podobnie, podziel coś większego przez coś mniejszego wyjdzie Ci liczba większa od jeden, podziel dwie takie same liczby przez siebie otrzymasz jeden, podziel mniejszą przez większą i wyjdzie Ci coś mniejszego od jeden.

Lucyna: no dobra, teraz wiemy, że ten ciąg jest rosnący bo już to policzyłaś, skoro jest rosnący, to jego najmniejszym wyrazem jest a₁ natomiast ograniczenie górne trzeba policzyć granicę

	7n−4
limn→∞
	3n−1

Lucyna: także podaj ile wynosi a₁ (podstawiasz za n jedynkę)

Majka: czyli to by było coś takiego

	7n−4		7x1−4		7−4		3
lim n→∞		=		=		=		= 1
	3n−1		3x1−1		3−1		3

Czyli ciąg jest ograniczony z dołu a1 a z góry 1 Zrozumiałam ?

Lucyna: odrobinę namieszałaś. Od dołu jest ograniczony przez a₁, czyli:

	7*1−4
a1 =		= ....
	3*1−1

z góry

	7n−4
limn→∞
	3n−1

jak się liczy granicę, jeśli nie ma symbolu nieoznaczonego, to dzielimy wszystkie elementy przez najwyższą potęgę n w mianowniku, u Ciebie to jest n. przykład:

	2x2 − 3x + 6		2x2		3x
limx→∞		= limx→∞ U{		−		+
	12x2 + 3		x2		x2

	3		12		3
		}{		+		} =
	x2		x2		x2

	3
jeżeli x→∞ to		→ 0 bo trójkę dzielisz przez bardzo dużą liczbę
	x2

	3x
tak samo		→0
	x2

	2x2
tylko		→ 2 bo jak skrócisz licznik i mianownik to otrzymasz dwójkę
	x2

także nasza granica to:

	2 − 0 +0
= limn→∞		→4
	12 + 0

w analogiczny sposób policz granicę w Twoim zadaniu.

Lucyna:

	2x2   3x   6   − + x2   x2   x2
limx→∞
	0,5x2   3   + x2   x2

ta linijka dziwna, coś zjadłam to tak ma wyglądać

Majka: tego to w gole nie rozumiem. Proszę krok po kroku w miarę po "chłopsku".

Lucyna: ta granica to przykład nijak nie ma się do Twojego zadania, oprócz tego, że u Ciebie granicę liczy się identycznie.

	2x2 − 3x + 6
mamy limx→∞
	0,5x2 + 3

patrzymy na mianownik 0,5x² + 3 widzimy, że najwyższa potęga to x², zatem podzielimy wszystkie wyrazy ciągu przez x²:

	2x2   3x   6   − + x2   x2   x2
limx→∞
	0,5x2   3   + x2   x2

sprawdzamy do czego dążą poszczególne ilorazy

2x2
	→ 2
x2

3x		3
	=		→ 0
x2		x

6
	→0
x2

0,5x2
	→0,5
x2

3
	}→0
x2

	2 + 0 − 0
więc mamy		→4
	0,5 + 0

Majka: Dalej nic najłatwiej by było jak byś policzyła mój przykład . A tak w gole to liczyć

	7n−4
a)lim→∞		=
	3n−1

czy

	7n2−4n
b)lim→∞
	3n2−n

Naprawdę jak widzicie nic z tego nie wiem .

Lucyna: Majka wiem, że byłoby najłatwiej, ale w ten sposób Ty się tego nie nauczysz. możesz zrobić to dla zagadnienia wyjściowego, ale wyjdzie to samo spróbuj!

Godzio: dzielisz przez najwyższą potęgę :

	7n   4   − n   n
a)
	3n   1   − n   n

4
	−> 0
n

1
	−> 0
n

	7 − 0		7
... =		=
	3 − 0		3

Poczytaj: − https://matematykaszkolna.pl/strona/306.html − https://matematykaszkolna.pl/strona/1710.html i ogólnie popatrz tu : https://matematykaszkolna.pl/strona/i14.html

Majka:

	7n−4
Czyli lim→∞ =
	3n−1

	7nn − 4n
lim→∞=
	3nn − 1n

⁷ⁿ_n→7 ⁴_n→0 ³ⁿ_n→3 ¹_n→0

	7−0
lim→∞		=73 = 213
	3−0

Dobrze ?

Lucyna: Tak

Lucyna: i w ten sposób obliczyłaś ograniczenie górne.

Lucyna: a dolne ile wynosi?

Majka: Czyli ciąg jest rosnący dla każdego n zależącego do N . Ograniczony z dołu a1=1 i z góry 2¹₃

Lucyna: masz błąd rachunkowy w liczeniu a₁ policz jeszcze raz

Majka: Dolny już liczyłam wyszło 1

	7x1−4
a1 =		=
	2x1−1

³₃ = 1

Majka: no tak

	7x1=4
a1 =		= 32 = 112
	3x1−1

Majka: Czyli ciąg jest rosnący dla każdego x należącego do Ni Ograniczony z dołu a1=1¹₂ a z góry 2¹₃. To był by koniec . SERDECZNIE WSZYSTKIM DZIĘKUJE

Lucyna: to jak, życzysz sobie abym przypomniała Ci jak się liczy macierze?

Majka: Spróbuje sama [ −5 5] x = [3 −4] [− 8 7] [−2 1 ] A B wyznaczamy macierz A⁻1 Na początku liczmy wyznacznik. det A [−5 5] [ −8 7] −5x7 − 5x−8 = −35−(−40) = 5 A⁻1=¹_detax Da^t Da=[7 −8] [5 −5] Da^t = [7 5] [−8 −5} czyli A⁻1=¹_detax Da^{t 1}₅ x [7 5] [−8 −5] czyli A⁻1 = [⁷₅ ⁵₅] [−⁸₅ −⁵₅]

Lucyna: możesz sama sprawdzić poprawność wyniku pomnóż A prze A⁻¹ jeśli wyjdzie Ci [1 0] [0 1] to jest ok

Lucyna: zapomniałaś tylko o jednym szczególe, jak liczysz Da to tam się stosuje szachownicę + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − +

Lucyna: czyli Da = [ 7 8] [−5 −5]

Majka: Nie wiem czy sie gdzieś nie pomyliłam i czy nie powinno być [⁷₅ −⁵₅] [−⁸₅ −⁵₅] Macierz X=B x A⁻1 czyli [3 −4] [⁷₅ −⁵₅] [−2 −1] x [−⁸₅ −⁵₅] mnożnym wiersze przez kolumny

	21+32		−15+20
[				]
	5		5

	−14+8		10+5
[				]
	6		5

	3
X=[8		1]
	5

	6
[−		3]
	5

Może ktoś sprawdzić czy dobrz

Majka: Czyli teraz co ma to dobrze tylko znaki po zmieniać .

Lucyna:

	7
A−1 = [		−1]
	5

	8
[		−1]
	5

A⁻¹*B {mnożenie macierzy nie jest przemienne, więc ma znaczenie z której strony się mnoży}

	7
[		−1] x [ 3 −4]
	5

	8
[		−1] [−2 −2]
	5

Majka: Da^t [7 −5] [−5 −5]

1		7		5
	x [ 7 −5 ] [		−		]
5		5		5

	8		5
[ 8 −5 ] = [		−		]
	5		5

b x a⁻1

	7		5
=[3 − 4] [		−		]
	5		5

	8		5
[−2 −1] [		−		]
	5		5

	21−32		−15+20
=[				]
	5		5

	−14−8		5+5
[				]
	5		5

	−11		5
=[				]
	5		5

	−6		10
[				]
	5		5

	1
=[ 2		1]
	5

	1
[ 1		2]
	5

Lucyna: chyba masz już dość ja zresztą też już jestem padnięta ale to się przyda, policzyłaś ba⁻¹ a masz policzyć a⁻¹b jak policzysz to zobaczysz, że ma znaczenie z której strony się mnoży. Bo akurat mnożenie nie wszystkich macierzy jest przemienne, także niestety, ale trzeba zwracać uwagę na kolejność.

Majka: Niestety dług się pisze wyliczenia i zobaczyłam co napisałaś dopiero jak wysłałam wiadomość . Zorbie to jeszcze tak jak mówisz w całości . A rano jak byś mogła sprawdzić czy dobrze to było by super

Lucyna: podaj tylko wynik Bo ja ranny ptaszek nie jestem, więc obawiam się, że mogłabym sprawdzić ale np za późno.

Lucyna: albo napisz sobie to rano na kartce a wynik ostateczny to [ 6,2 −3,6] X = [ 6,8 −4,4]

Majka:

	7		5
A−1 [		−		] X B [3 −4]
	5		5

	8		5
[		−		] {−2 1]
	5		5

	21+10		−28−5
=[				]
	5		5

	24+1		−32−5
[				}
	5		5

	2		2
=[4		6		]
	5		5

	4
[6		7{2}{5}
	5

Lucyna: ok teraz dobrze ja źle tą macierz B przepisałam nie wiem czemu, ale wszystkie działania masz tutaj już dobrze Dobrej nocy

Lucyna:

	2
zgubiłaś tylko minus w dolnym prawym rogu ma być −7
	5

Lucyna: eeee i w górnym prawym też zjadłaś minus

Majka: Bardzo dziękuje . Kolorowych snów życzę i Gratuluje cierpliwości

Lucyna: eee tam czekoladki były pod ręką jakoś dałam radę ale wzajemnie, miłej nocy Jakby co to zapraszamy ponownie, jeśli nie ja to pewnie ktoś inny się znajdzie aby pomóc

Majka: a sprawdzenie to będzie A x A⁻1

Lucyna: to sprawdzenie dotyczy tylko tego, czy dobrze policzyłaś macierz odwrotną Jeśli policzysz A⁻¹ i pomnożysz przez A i wyjdzie Ci coś innego niż [1 0] [0 1] to masz gdzieś błąd. Natomiast jeśli dobrze to spokojnie robisz dalej, masz pewność, że możesz zrobić co najwyżej błąd rachunowy przy mnożeniu przez B.

Basia: Lucyno jaki to ciąg a_n = −2ⁿ rosnący czy malejący ? a jaka jest wartość

an+1		−2n+1
	=
an		−2n

to co napisałaś na temat badania monotoniczności przez badanie ilorazu jest prawdą wyłącznie dla ciągów o wyrazach dodatnich

AS: Rozwiązanie równania z macierzami x = | −5 5 |⁻¹ * | 3 −4 | | −8 7 | | −2 1 | Obliczenia macierzy odwrotnej Wyznacznik: w = (−5)*7 − (−8)*5 = −35 + 40 = 5 Transpozycja macierzy M^T = | −5 −8 | | 5 7 | Macierz odwrotna M⁻¹ = 1/5| 7 −5 | | 8 −5 | x = 1/5* |7 −5| |3 −4| = 1/5 |31 − 33 | | 8 −5| |−2 1| |34 −37 |

Majka: Dzięki za pomoc . Dostrzegłam błędy w rachunkach .